专题06 动点与角度计算60道经典题型专训（9大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题06 动点与角度计算60道经典题型专训（9大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 在图形中运动的问题 题型四 动角有关问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角n等分线的有关计算 【经典题型一 与线段动点有关问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 2．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8． （1）线段AB的长为 ； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ； ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 【答案】（1）10；（2）①t ，10－t，﹣2+t ；②MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【分析】(1)用右边的数减去左边的数，化简即可； (2)①利用路程=速度×时间计算PA，根据线段和的意义，计算PB；利用x-(-2)=t计算；②根据线段中点的意义，线段和的意义，化简计算即可. 【详解】解：（1）AB=8-（-2）=10，故应填10； （2）①0＜t＜10时， ∵速度为每秒1个单位， ∴t秒时运动路程为PA=t； ∵PA+PB=AB=10， ∴PB= 10－t， 设点P表示的数为x, 则x+2=t， ∴x=t-2, ∴点P表示的数为﹣2+t ； 故依次填t，10-t，-2+t； ②MN的长与点P的运动时间t无关． 当0＜t≤10时，PA=t，PB= 10－t ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM+PN= 当t＞10时，PA=t，PB=t－ 10 ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM－PN= 综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，熟练运用两点间距离公式，线段和的意义，线段中点的意义是解题的关键. 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （3）结合（1）、（2）进行解答； 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示，点P是线段上任意一点， cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动时间为ts．    (1)若cm： ①两点运动1s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：； (2)当s时，cm，试探索的长． 【答案】(1)①3cm；②见解析 (2)9cm或11cm 【分析】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式： （1）①先求出的长度，然后利用即可求出答案；②用t表示出的长度即可求证； （2）当时，求出的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，所以要分情况讨论； 注意分类是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，cm，cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∴cm， ②∵cm，cm， ∴cm，cm， ∴cm， ∴cm， ∴； （2）解：当时，cm，cm， ①当点D在点C的右边时，如图①所示，    ∴cm， ∴cm， ∴cm， ②当点D在点C的左边时，如图②所示，    ∴cm， ∴cm， 综上所述，的长为9cm或11cm． 5．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 7．（23-24七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 8．（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为100． (1)请计算在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请计算点C对应的数． (3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，问：多少秒后，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【答案】(1)40 (2)28 (3)50秒或70秒 【分析】本题主要考查中点坐标、两点之间的距离和分类讨论思想的应用， （1）根据两点之间的距离和中点距离即可． （2）先求的两点的相遇时间，再求得点Q运动路程，即可求得点C对应的数． （3）分为相遇前和相遇后分别求解即可． 【详解】（1）解：点M对应的数为． （2）解：它们的相遇时间是（秒）， ∴相同时间点Q运动路程为：， ， ∴点C对应的数为28． （3）解：相遇前：（秒）， 相遇后：（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 9．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【经典题型二 线段动点中求定值问题】 11．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，3 (2)①②不会发生变化， 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）当时， ∵点C的运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为2秒， ∴， ∵ ∴， ∵点D为的中点， ∴ （2）①如图， 根据题意知：，， ∵为的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴； ②不会发生变化，，理由如下： ∵ ∴ ∴线段的长度不会发生变化， 12．（23-24七年级上·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 【答案】(1)点P在线段上的离A较近的处 (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）根据的运动速度知，再由已知条件求得，所以点P在线段上离A点较近的处； （2）由题设画出图示，根据求得；然后求得，从而求得与的关系； （3）当C点停止运动时，有，故，再设，，，即可列式得出答案． 【详解】（1）根据的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∴点P在线段上的离A点较近的处； （2）如图： ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； 当点 ∵ ，且 ，，    ∴ ． 综上所述，长为或； （3）的值不变，理由： 如图2, 当点停止运动时，有， ∴ ， D点继续运动，设，，， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得； （3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 14．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 15．（23-24七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)②正确， 【分析】本题考查了两点间的距离， （1）设C，D运动的时间是秒，先表示出，进而求解即可； （2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （3）若C、D运动5秒后， 设，则．求得，当M、N分别是的中点时，的值不变． 设当C点停止后D点继续运动秒．分别表示出，继而求出，进而表示出，即可求解． 能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设C，D运动的时间是秒． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （3）②的值不变，正确，理由如下： 若C、D运动5秒后，则，， 由（1）知， 设，则． ∵， ∴， 解得， ∴， 当M、N分别是的中点时，的值不变． 设当C点停止后D点继续运动秒． 则， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 【答案】(1)①cm；②见解析 (2)的长为11cm或13cm 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①当时，cm，cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∴cm； ②∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）当时，cm，cm， 当点D在C的右边时， 如图： ， ∴cm； 当点D在C的左边时， 如图： ， ∴cm； 综上可得，AP的长为11cm或13cm．   【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键． 17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 18．（23-24七年级上·河南信阳·期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点___________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2cm的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． (2)问为何值时，点是线段的“二倍点”． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)为5或或 【分析】（1）根据“二倍点”定义即可说明； （2）根据线段，是线段的“二倍点”，即可求得的三种结果． 【详解】（1）解：根据点在线段上，其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． 一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：点是线段的“二倍点”，则分以下三种情况： ①， ，解得； ②， ，解得； ③， ，解得． 为5或或时，点是线段的“二倍点”． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是分情况讨论思想的利用． 19．（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 【答案】(1) (2)①39；②18秒、36秒和54秒 【分析】本题考查了数轴上的点与实数的关系、两点的距离等知识，熟练掌握数轴与实数的特点是解题的关键． （1）根据比例关系和中点等即可计算出答案； （2）根据点的运动规律找出对应表示的数，分情况讨论由两点的距离由题意列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 设，则 即 是的中点 （2）①点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，当运动3秒后，点分别运动了个单位长度 三点对应的数分别为，， 当两点同时向左运动3秒后，两点对应的数分别为，点向右运动运动3秒后对应的数为 点M为线段的中点，点N为线段的中点 故M对应的数为，M对应的数为 ． ②由题意可得： 当点移动秒时，此时不动，，满足题意； 点表示的数为，点表示的数为 当点在点左侧时，由题意有 解得 当点在点右侧时，由题意有 解得 综上所述：当时， 故的取值为18秒、36秒和54秒． 20．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10,3 (2)， (3)， 【分析】（1）根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答即可； （2）根据两点间的距离公式的计算方法解答；根据线段中点的计算方法解答； （3）根据和两点间的距离公式得到，先利用中点坐标公式求出的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，则则两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为：， 故答案为：10，3； （2）解：若数轴上点，点表示的数分别为，， 若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：,， 故答案为：； 线段的中点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为：， 故答案为：； 点为的中点，点为的中点， 表示的数为：，表示的数为：， 线段的长度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清楚点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 【经典题型三 在图形中运动的问题】 21．（2024上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）22厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 22．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究： （1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸： （3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13 【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答； (2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答； (3)分两种情况，列出方程即可分别求解． 【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动， ，， 故答案为：，； （2），，动点以的速度从A点沿着运动， 当点P在上时，， 当点P在上时，， 故答案为：或； （3）当点在点的左边时，， 即 ， ， 解得， 当点在点的右侧时，， ， 解得， 故为11或13时，． 【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 23．（2024上·河北石家庄·七年级校考期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 24．（2024上·江苏盐城·七年级校考期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】 如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可； （2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题； （3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可； （4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，∵， 当时，， ，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等； 故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点， 不妨设M点离O点近，且， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵， ， ∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 25．（2024上·广东江门·七年级统考期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t． (1)______________，______________． (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值 【答案】(1)5，4 (2)平方米 (3) 【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解； （2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解； （3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴x=5，y=4， 故答案为：5，4； （2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处， ∴米， ∴平方米； （3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，， ∴， 当P左Q右时，，， ∴， ∴， 解得： 当Q左P右时，，， ∴， ∴， 解得，不符题意，舍去． 综上，满足题意的． 【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值． 【经典题型四 动角有关问题】 26．（23-24七年级上·北京·开学考试）如图，为的平分线，点与点在直线的两侧． (1)如图1，当点在一条直线上时，求和的大小（用含的式子表示）； (2)将图1中的绕点顺时针旋转，用等式表示旋转过程中 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的意义和角的和差求解即可； （2）分两种情况：当在直线上方或与直线重合时，当在直线下方时，分别计算即可． 【详解】（1）点在一条直线上， ∴， 为的平分线， ∴， ∵， ∴； （2）为的平分线， ∴， 如图2，当在直线上方或与直线重合时， ∵， ∴， ∴； 如图3，当在直线下方时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，在旋转过程中，或． 27．（23-24七年级上·四川南充·开学考试）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 28．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的锐角（）顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．平分，平分． (1)求的度数； (2)把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当转到射线上时停止，若在旋转过程中，，同时在内部有一条射线，使得，试探究在旋转过程中，射线始终是哪个角的平分线？ 【答案】(1)； (2)始终是的角平分线． 【分析】（1）由题意可知，，根据角平分线定义与角的和差关系即可求解； （2）由，，可得，根据根据角平分线定义与角的和差关系求得，，可得，进而可得平分． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； （2）∵，， ∴， 则：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， 即：， ∴平分． 综上所述，始终是的角平分线． 【点睛】考查了角平分线的定义，角的和差关系，利用角的和差关系转化角度是解决问题的关键． 29．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 【答案】(1)； (2)的度数不变化， 理由见解析； (3)（2）中的结论不变， 理由见解析． 【分析】考查了角平分线的定义，角的计算，关键是熟练掌握角平分线的定义，以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系即可求解； （2）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解； （3）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：的度数不变化， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ； （3）解：（2）中的结论不变， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ． 30．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图1，一直角三角尺的直角顶点在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点顺时针旋转，且平分，平分，如图2． (1)如图2，当时， ①求和的度数； ②求的度数． (2)在直角三角尺旋转过程中，设，若，则 ①求和的度数（用含的代数式表示）； ②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①当时，，；当时，，； ②的度数没有发生变化 【分析】本题考查了补角、角平分线的定义，数形结合是解题的关键． （1）①根据补角求得和的度数， ②根据角平分线求得、的度数，等于减去； （2）①分当时和当时两种情况求解即可； ②分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）①， 由题意得，是直角三角形， ， ， ②平分， ， 平分， ， ∴； （2）①当时， ， 是直角三角形， ， ； 当时， ， 是直角三角形， ， ； ②当时， 平分， ， 平分， ， ∴， ∴的度数没有发生变化； 当时， 平分， ， 平分， ， ∴， ∴的度数没有发生变化． 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD． （1）如图①：如果t＝4秒，求∠EOA的度数； （2）如图①：若射线OC旋转时间为t（t≤7）秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）； （3）若射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以60°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤3），请你借助图②与备用图进行分析后， （i）求此时t的值； （ii）求的值． 【答案】（1）∠EOA的度数为60°；（2）∠EOF的度数为；（3）（i）t=2；（ii） 【分析】（1）根据角分线的定义、旋转的过程即可求解； （2）根据旋转的过程和角分线的定义进行角的计算即可； （3）（i）分两种情况讨论：OB落在不同位置时进行角的计算即可；（ii）求的t的值求出度数即可得出比值． 【详解】解：（1）如图①，根据题意，得 ∠DOC＝4×20°＝80° ∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°， ∵射线OE平分∠AOC， ∴， 答：∠EOA的度数为60° （2）根据题意，得 ∠COD＝（20t）° ∴∠AOC＝（40+20t）° ∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD， ∴ ∠AOF＝20°， ∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°， 答：∠EOF的度数为． （1）（i）如图当射线OB在OE右边时， ， ∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝（20+10t－60t）°＝（﹣50t+20）°， ∵根据题意：10t+20＝（﹣50t+20）， 解得t＝（舍去）， 当射线OB在OE的左边时， ， ∠BOE＝∠AOB-∠AOE＝（50t－20）°， ∵由题意得：10t+20＝（50t－20）， 解得：t＝2 （ii）当t＝2S，∠EOF＝20°，∠BOC＝∠BOE-∠COE=40°， ∴ 【点睛】本题考查了角的计算、角的平分线，解决本题的关键是准确进行角的计算． 32．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 33．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 　 　； (2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°． ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由； ②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值． 【答案】(1)∠BOC＝∠BOE． (2)①存在，t=2.5或10或31；②40° 【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案； （2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得； ②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∠BOC＝∠BOE． 理由如下： ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， ∵OA平分∠COD， ∴∠AOD＝∠AOC， ∴∠BOC＝∠BOE， 故答案为：∠BOC＝∠BOE； （2）①存在． 理由：∵∠COE＝130°， ∴∠COD＝180°﹣130°＝50°， 当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5； 当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10； 当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31； 综上所述，t的值为2.5、10、31； ②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE， ∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°， ∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键． 34．（23-24七年级上·河北唐山·期中）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【答案】（1），2，和；（2）①，，；② 【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义： （1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解； （2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解； 熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：， ， ， ， 平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，， ， ， 的补角是， ， ， 的补角是， ， 的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 35．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【经典题型五 三角板中角度计算问题】 36．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∴的补角为； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． 37．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图 1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O 以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，求t的值． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)20或80 【分析】（1）设的反向延长线为，由已知求出的度数，继而结合求出的度数，再由两角的差求出的度数即可求得答案； （2）先求出，然后分的反向延长线平分、平分两种情况分别画出相应图形进行求解即可． 【详解】（1）解：直线平分，理由如下： 如图，设的反向延长线为， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分， 即直线是否平分； （2）∵， ∴， 如图2-1，当的反向延长线平分时， 此时， ∴旋转角， ∴秒； 如图2-2，当平分时， 此时， ∴旋转角为， ∴秒， 综上，或， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，旋转角等知识，正确理解题意，准确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 38．（23-24七年级上·江西抚州·期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不会发生变化，，理由见解析 【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可； （3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：①由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； ②由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：的值不会发生变化，，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 39．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    40．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【答案】(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 【经典题型六 几何图形中角度计算问题】 41．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 44．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 45．（23-24七年级上·湖南郴州·期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，旋转角度为，当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点P顺时针旋转，转速为/秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)①当等于165度时，两个三角形的边与边互相垂直②旋转的时间是或秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据，，求出结论即可； ②设旋转的时间为秒，由题知，，分两种情况：当转到与重合前和当转到与重合后，分别列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）①如图，此时，，    ∴， ∴， ∴当等于165度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，， 当转到与重合时，秒， 分两种情况： 当转到与重合前，时， ∴ 当，即， 解得：秒； 当转到与重合后，时， ∴ 当，即， 解得：秒； ∴当，旋转的时间是或秒． 【经典题型七 实际问题中角度计算问题】 46．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)60或80 (4)或 【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）； （2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可； （3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数； （4）分两种情况分别讨论． 【详解】（1）当时，，，①符合题意； 当时，，，②不符合题意； 当是的角平分线，，③符合题意； 故答案为①③． （2）∵，， ∴， 如下图： （3）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ∴应逆时针旋转， ∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°， ∴可取，，，， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 故答案为：60或80． （4）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ①：如图， ； ②：如图， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键． 47．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”． (1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）； ②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN； (2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒． 【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α (2)t=秒，4秒，5秒 【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可； （2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案． 【详解】（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ， ∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ， ∴射线PQ是∠MPN的“好好线”； ②∵射线PQ是∠MPN的“好好线” 又∵ ∠MPQ≠∠NPQ ∴此题有两种情况 Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时 ∵∠MPQ=α ∴∠QPN=α ∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α； Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时 ∵∠MPQ=α ∴∠QPN=2α ∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α 综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α． （2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°， 设运用的时间为t秒，则PM运用后有 ，， ①当时，如图： ∴， 解得：； ②当，即时，如图： ∴， 解得：； ③当，如图： ∴， 解得：； ④当，如图： ∵，， ∴， 解得：； ∵的最大值为：， ∴不符合题意，舍去； 综合上述，t=，4，5秒． 【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析． 48．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题： （1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °； （2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°) 【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或 【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算； （2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算； （3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解. 【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：； 时针每分钟转动：. 故答案为：6，0．5. （2）当与在同一直线上时， 时针转了度，即 分针转了度，即 ∴ 解得， ∴的值为． （3）①当时， ∵ ∴ ∴； ②当时， ∵ ∴ ∴； ∴综上所述，符合条件的的值为或. 【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键. 49．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）借助一副三角板，可以得到一些平面图形 （1）如图1，∠AOC＝　 　度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？ （2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数； （3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数． 【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°. 【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和； （2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可； （3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF. 【详解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°， ∴∠AOC＝75°， ∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°； 答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°； 故答案为75； （2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴x+3x+30°＝90°， ∴x＝15°， ∴∠2＝15°， 答：∠2的度数是15°； （3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°， ∵OE为∠BOM的平分线，OF为∠COM的平分线， ∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°， ∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°． 【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键. 50．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值． 情况①�若x=2，y=3时，x+y=5 情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1 情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1 情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5 所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5． 几何的学习过程中也有类似的情况： 问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？ 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种 情况①�当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=　 　 情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=　 　 通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类． 问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？ 仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果． 问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果． 【答案】（1）11，5；（2）点C表示的数为﹣4或8；（3）①当OC，OD在AB的同侧时，30°；②当OC，OD在AB的异侧时，150°. 【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算； （2）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据BC=2AB进行计算； （3）分两种情况进行讨论：①当OC，OD在AB的同侧时，②当OC，OD在AB的异侧时，分别依据角的和差关系进行计算． 【详解】解：（1）满足题意的情况有两种： ①�当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=AB+BC=8+3=11； ②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=AB﹣BC=8﹣3=5； 故答案为11，5； （2）满足题意的情况有两种： ①�当点C在点B的左侧时，如图，此时，BC=2AB=2（2+1）=6， ∴点C表示的数为2﹣6=﹣4； ②当点C在点B的右侧时，如图，BC=2AB=2（2+1）=6， ∴点C表示的数为2+6=8； 综上所述，点C表示的数为﹣4或8； （3）满足题意的情况有两种： ①当OC，OD在AB的同侧时，如图，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°； ②当OC，OD在AB的异侧时，如图，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°； 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，垂线的定义以及角的计算，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用． 【经典题型八 角平分线的有关计算】 51．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 【答案】(1)③ (2)是关于边的补线，理由见解答 (3)可以表示为或或或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可； （2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可； （3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部； ②当这个角是直角时，它的补线只有1条； ③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条； 故答案为：③； （2）解：是关于边的补线，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵不与重合， ∴是关于边的补线． （3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为钝角，且在外部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴； 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为锐角，且在外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为直角时，只能在的外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上分析可知：可以表示为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论． 52．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、． (1)如图1，当时，________，________． (2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2和图3中，与的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)， 【分析】（1）根据角平分的定义即可求解； （2）根据（1），可得，问题得解； （3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 在（1）中有：，，， ∴； （3）图2中，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∴， ∵，， ∴； 图3中，，理由如下： ∵， ∴， ∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键． 53．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm； （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON； ①若，，求∠COD的度数； ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由． （3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）． 【答案】（1）24； （2）①90°；②．理由见详解； （3）． 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． （2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证． （3）由，可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴． ∴． 故答案为：24． （2）①∵和分别平分和， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ②． 理由如下： ∵和分别平分和， ∴，． ∴． ∴ ． （3）∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 54．（23-24七年级上·福建厦门·期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 【答案】(1)45 (2) (3)为或 【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可． （2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可． （3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可． 【详解】（1）平分，平分， ， （2） 平分， ， 根据图形有：， ， ， ， ， （3）当H在K左侧时 平分 平分 当K在H左侧时 平分 平分 综上所述：为或 【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置． 55．（23-24七年级上·广东佛山·期中）在内部作射线，，在的右侧，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的和差计算即可； （2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论； （3）分情况：当在外部时和当在内部时，分别画出图形，再利用角的和差计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （2）根据角的和差可得，， ， ； （3）①当在外部时，如图， 设，则，， 平分， ， 平分， ，即，即， ； ②当在内部时，如图， 设，则，， 平分， ， 平分， ，即，即， ； 综上，或． 【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况． 【经典题型九 角n等分线的有关计算】 56．（23-24七年级上·山西太原·期中）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 57．（23-24七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条． (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算； （2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围． 【详解】（1）解：，、是的两条三等分线， ， 故答案为：； （2）①当时， ， ． 当时， ， ，不符合题意， 的值是； ②当在内部时， ， ， ， ， ， 当时， ， ， ， 当在射线下方时， ， ， ， ， ， 当时， ， ， ， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论． 58．（23-24七年级上·山西大同·期末）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【答案】(1)是； (2)，，，； (3)或或． 【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是． （2）解：由题意得： ∵，射线为的“幸福线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； ④当时，则有：；； 综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，； （3）解：∵， ∴射线ON与OA重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴°，°， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即，（舍去）， ②，即，， ③，即，； ④，即，（舍去）； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴°，°， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即，（不符合题意，舍去）， ②，即，（不符合题意，舍去）； ③，即，； ④，即，不存在； 综上：或或． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 59．（23-24七年级上·广西南宁·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或 【分析】（1）根据三分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】解：（1）∵是的三分线，，， ∴， 故答案为：； （2），是的四分线，， ， 为的三分线， ①当时，， ， ②当时，， ， 综上所述，的度数为或， （3）∵射线、是的两条四分线， ∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°， 如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=, ∠BOD=80°，∠COD=20°， α=30°-20°=10°； 如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时， ∠COD=∠BOC=15°， α=30°+15°=45°； 如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时， ∠COD=∠BOC=45°， α=30°+45°=75°； 如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=, ∠COD=80°， α=30°+80°=110°； 的值为或或或 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想． 60．（23-24七年级上·山东济南·期末）已知:和是直角． （1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系； （2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数． 【答案】（1），详见解析；（2）；（3）的度数是或 【分析】（1）根据角与角之间的关系进行转换，证明； （2）利用角度之间的倍数关系，设，然后用表示、、，最后加起来就可以算出； （3）分情况讨论，射线在内部或者外部，再根据比例关系求出的度数． 【详解】解：（1） ， 证明：和是直角， ， ， ， 同理：， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：的度数是； （3）①如图，当射线在内部时， ， ， 如图，当射线在外部时， ， ， 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是找到图象中角与角之间的联系，进行列式求解，需要注意最后一问要进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 动点与角度计算60道经典题型专训（9大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 在图形中运动的问题 题型四 动角有关问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角n等分线的有关计算 【经典题型一 与线段动点有关问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 2．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8． （1）线段AB的长为 ； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ； ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示，点P是线段上任意一点， cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动时间为ts．    (1)若cm： ①两点运动1s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：； (2)当s时，cm，试探索的长． 5．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 7．（23-24七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 8．（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为100． (1)请计算在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请计算点C对应的数． (3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，问：多少秒后，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 9．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【经典题型二 线段动点中求定值问题】 11．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 12．（23-24七年级上·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 14．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 15．（23-24七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 16．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 18．（23-24七年级上·河南信阳·期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点___________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2cm的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． (2)问为何值时，点是线段的“二倍点”． 19．（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 20．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 【经典题型三 在图形中运动的问题】 21．（2024上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    22．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究： （1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸： （3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 23．（2024上·河北石家庄·七年级校考期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 24．（2024上·江苏盐城·七年级校考期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】 如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 25．（2024上·广东江门·七年级统考期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t． (1)______________，______________． (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值 【经典题型四 动角有关问题】 26．（23-24七年级上·北京·开学考试）如图，为的平分线，点与点在直线的两侧． (1)如图1，当点在一条直线上时，求和的大小（用含的式子表示）； (2)将图1中的绕点顺时针旋转，用等式表示旋转过程中 与的数量关系，并说明理由． 27．（23-24七年级上·四川南充·开学考试）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 28．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的锐角（）顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．平分，平分． (1)求的度数； (2)把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当转到射线上时停止，若在旋转过程中，，同时在内部有一条射线，使得，试探究在旋转过程中，射线始终是哪个角的平分线？ 29．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 30．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图1，一直角三角尺的直角顶点在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点顺时针旋转，且平分，平分，如图2． (1)如图2，当时， ①求和的度数； ②求的度数． (2)在直角三角尺旋转过程中，设，若，则 ①求和的度数（用含的代数式表示）； ②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 31．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD． （1）如图①：如果t＝4秒，求∠EOA的度数； （2）如图①：若射线OC旋转时间为t（t≤7）秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）； （3）若射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以60°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤3），请你借助图②与备用图进行分析后， （i）求此时t的值； （ii）求的值． 32．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 33．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 　 　； (2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°． ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由； ②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值． 34．（23-24七年级上·河北唐山·期中）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 35．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【经典题型五 三角板中角度计算问题】 36．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 37．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图 1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O 以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，求t的值． 38．（23-24七年级上·江西抚州·期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 39．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【经典题型六 几何图形中角度计算问题】 41．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 44．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 45．（23-24七年级上·湖南郴州·期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，旋转角度为，当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点P顺时针旋转，转速为/秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【经典题型七 实际问题中角度计算问题】 46．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 47．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”． (1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）； ②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN； (2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒． 48．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题： （1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °； （2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°) 49．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）借助一副三角板，可以得到一些平面图形 （1）如图1，∠AOC＝　 　度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？ （2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数； （3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数． 50．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值． 情况①�若x=2，y=3时，x+y=5 情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1 情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1 情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5 所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5． 几何的学习过程中也有类似的情况： 问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？ 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种 情况①�当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=　 　 情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=　 　 通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类． 问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？ 仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果． 问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果． 【经典题型八 角平分线的有关计算】 51．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 52．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、． (1)如图1，当时，________，________． (2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2和图3中，与的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 53．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm； （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON； ①若，，求∠COD的度数； ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由． （3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）． 54．（23-24七年级上·福建厦门·期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 55．（23-24七年级上·广东佛山·期中）在内部作射线，，在的右侧，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【经典题型九 角n等分线的有关计算】 56．（23-24七年级上·山西太原·期中）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 57．（23-24七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条． (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 58．（23-24七年级上·山西大同·期末）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 59．（23-24七年级上·广西南宁·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 60．（23-24七年级上·山东济南·期末）已知:和是直角． （1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系； （2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$