专题05 角与角的计算重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题05 角与角的计算重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 角度的四则运算 题型十二 实际问题中角度计算问题 题型十三 角平分线的有关计算 题型十四 角n等分线的有关计算 题型十五 求一个角的余角 题型十六 求一个角的补角 题型十七 与余角、补角有关的计算 题型十八 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十九 余角、补角的综合应用 知识点一：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点二：余角、补角、对顶角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【经典例题一角的概念理解】 【例1】 （23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，已知四个点、根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】（23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B．C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【经典例题三 角的分类】 【例3】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【经典例题四 钟面角】 【例4】（23-24七年级上·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）从到，分针旋转了 度． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】（23-24七年级上·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（    ） A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50° 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）根据如图的信息回答问题． (1)书店在小军家 偏 方向 米处． (2)学校在小军家正北方向600米处，记作“”米，那么少年宫在小军家正南方向800米处，记作 米．小军从学校走到少年宫，每分钟走75米，小明从少年宫走到学校，每分钟走65米， 分钟后两人相遇． 【经典例题六 与方向角有关的计算题】 【例6】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 1．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）如图，某出租车从地出发，沿着北偏东的方向前进，到达处后沿着南偏东的方向行驶来到处，此时地正处于地正东方向；则下列说法中正确的有(    ) ①在处的北偏西；  ②公路和的夹角是； ③在处的北偏西；④公路和的夹角是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．（2024七年级上·上海·专题练习）点A位于点B的北偏东方向，若将点B以点A为旋转中心旋转落在点C处，则点A在点C的 方向． 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【经典例题七 角的单位与角度制】 【例7】（23-24七年级上·山西晋城·阶段练习）将用度、分、秒的形式表示为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）可化为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东东营·期中） ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【经典例题八 角的度数大小比较】 【例8】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【经典例题九 角的比较】 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 2．（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图： (1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论； (2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论. 【经典例题十 三角板中角度计算问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）题目：“如图．在一幅直角三角板①和②中，．将①固定不动，将②的顶点与①的顶点重合．若②的一条直角边或）与边的夹角为，求②的另一条直角边与边的夹角度数．嘉嘉给出的答案为或，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得对，另一个值是 B．淇淇说得不对，答案就是或 C．嘉嘉求的结果不对，答案应是或 D．两人都不对，答案应该有4个不同值 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么 ． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【经典例题十一 角度的四则运算】 【例11】（23-24七年级上·北京海淀·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【经典例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例12】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 2．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【经典例题十三 角平分线的有关计算】 【例13】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【经典例题十四 角n等分线的有关计算】 【例14】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【经典例题十五 求一个角的余角】 【例15】（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，则的余角度数为 ． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【经典例题十六 求一个角的补角】 【例16】（23-24七年级上·河北保定·期末）一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期中）若，则的邻补角等于 ． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【经典例题十七 与余角、补角有关的计算】 【例17】（24-25七年级上·全国·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【经典例题十八 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例18】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题十九 余角、补角的综合应用】 【例19】 （23-24·山东济南·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数； (2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数． 1．（23-24·山东烟台·七年级期末）如图，，平分，反向延长射线至F．    (1)和______；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） (2)是的平分线吗？为什么？ (3)反向延长射线至G，与的度数比为2：5，求的度数． 2．（23-24·黑龙江绥化·七年级期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 3．（23-24·吉林长春·七年级期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．    (1)如图①，当在与之间，且时，则______度，______度． (2)如图②，当在与之间时，求与差的度数． (3)在旋转的过程中，若，求旋转角的度数． 4．（2024·河北廊坊·七年级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：）    (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 3．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 6．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，平分，，则的度数为 ． 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）钟表上的时针绕其中心旋转一周是小时，则时针经过个小时所转过的角度为 ，若时针从时开始，绕中心旋转，则它所指向的具体数字是 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2024条不同的射线，可以画出 个锐角． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度表示）； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 13．（23-24七年级上·福建福州·期末）（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 角与角的计算重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较 题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 角度的四则运算 题型十二 实际问题中角度计算问题 题型十三 角平分线的有关计算 题型十四 角n等分线的有关计算 题型十五 求一个角的余角 题型十六 求一个角的补角 题型十七 与余角、补角有关的计算 题型十八 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十九 余角、补角的综合应用 知识点一：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点二：余角、补角、对顶角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【经典例题一角的概念理解】 【例1】 （23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，已知四个点、根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接可得线段； （2）作射线，可得； （3）作直线与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：线段为所求； （2）如图所示：为所求； （3）如图所示：为所求． 【点睛】本题考查直线、线段、角的概念，熟练掌握直线、线段、角概念是解题关键． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】（23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段与角的表示方法对各图形分析判断，然后即可进行选择． 【详解】解：第1个图形，线段EF，表示正确； 第2个图形，直线MN，表示正确； 第3个图形，线段BA，表示正确； 第4个图形，应该表示为射线OA，表示错误； 第5个图形，表示为∠O，正确； 第6个图形，应该表示为∠BAC或∠CAB，表示错误． 综上，表示正确的有第1、2、3、5共4个图形． 故选B． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为； （2）图中可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是、、； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 【经典例题三 角的分类】 【例3】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据直线、线段定义画直线，连接即可； （2）根据射线的定义画射线，反向延长线段与射线相交于点即可； （3）按一定的规律依次列举出所有的情况即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所求； （2）解：如图，射线、点即为所求． （3）解：以A为顶点的锐角有： ，共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图复杂作图，直线、射线、线段、锐角，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【经典例题四 钟面角】 【例4】（23-24七年级上·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查钟面角，掌握钟面角的特征是解题的关键．求出每一大格的度数即可得到答案． 【详解】解：钟面上有个大格， 故每一格度数为：， 下午时，时针和分针对应两个半大格， 故下午时，时针和分针所夹锐角的度数是． 故选C． 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）从到，分针旋转了 度． 【答案】/度 【分析】本题考查了钟面角．分针每分钟旋转，先找到从到的分钟数，再相乘即可求解． 【详解】解：从到，分针走了10分， ， 故分针围绕钟面中心旋转了． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】（23-24七年级上·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物． 点A看点B的方向是北偏东，是以A为标准，反之B看A的方向是A相对于B的方向与位置． 【详解】解：从点B看点A的方向为北偏西，那么从点A看点B的方向为南偏东． 故选：A． 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（    ） A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50° 【答案】C 【分析】根据B在A的北偏东方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为，再根据A的位置即可得到答案． 【详解】解：B在A的北偏东40°方向， ∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西， 故选：C． 【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 【答案】北偏东54° 【分析】根据互余先计算出OA与北方向线的夹角，后描述方位即可 【详解】∵OA与北方向线的夹角为90°-36°=54°， ∴射线OA所表示的方向是北偏东54°， 故答案为：北偏东54°． 【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）根据如图的信息回答问题． (1)书店在小军家 偏 方向 米处． (2)学校在小军家正北方向600米处，记作“”米，那么少年宫在小军家正南方向800米处，记作 米．小军从学校走到少年宫，每分钟走75米，小明从少年宫走到学校，每分钟走65米， 分钟后两人相遇． 【答案】(1)南，西，，400 (2)，10 【分析】本题主要考查根据方向和距离确定物体的位置，正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，熟练掌握确定位置的方法是解题关键． （1）根据方向和距离确定物体的位置即可解答； （2）根据正负数的意义求解即可；用学校到少年宫的距离除以小军和小明和即可求出相遇的时间． 【详解】（1）由图可得，书店在小军家南偏西方向400米处； （2）学校在小军家正北方向600米处，记作“”米， 那么少年宫在小军家正南方向800米处，记作米； 学校到少年宫的距离为米 根据题意得，（分钟） ∴10分钟后两人相遇． 【经典例题六 与方向角有关的计算题】 【例6】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出，即可得到答案． 【详解】解：依题意可得，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若， ， 故的方向是北偏东． 故选C． 1．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）如图，某出租车从地出发，沿着北偏东的方向前进，到达处后沿着南偏东的方向行驶来到处，此时地正处于地正东方向；则下列说法中正确的有(    ) ①在处的北偏西；  ②公路和的夹角是； ③在处的北偏西；④公路和的夹角是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是方向角和夹角的计算．首先，需要根据题目给出的角度信息，正确理解各个方向角的含义．然后，根据平行线和夹角的性质，分析公路、以及之间的夹角．同时，需要理解北偏东或北偏西角度的具体意义，以便正确判断各点之间的方向关系． 【详解】解：如图所示，由题意可知，，， ， 即在处的北偏西，故①正确； ，， ， 即公路和的夹角是，故②正确； ， ， 即在处的北偏西，故③错误； ， 即公路和的夹角是，故④错误． 故选：A． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）点A位于点B的北偏东方向，若将点B以点A为旋转中心旋转落在点C处，则点A在点C的 方向． 【答案】北偏西或南偏东． 【分析】分两种情况：①若将点B以点A为旋转中心顺时针旋转落在点C处；②若将点B以点A为旋转中心逆时针旋转落在点C处，再根据方向角的定义解答即可． 【详解】解：①若将点B以点A为旋转中心顺时针旋转落在点C处，则点A在点C的南偏东方向上， ②若将点B以点A为旋转中心逆时针旋转落在点C处，则点A在点C的北偏西方向上， 综上所述，点A在点C的北偏西或南偏东方向， 故答案为：北偏西或南偏东． 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 【经典例题七 角的单位与角度制】 【例7】（23-24七年级上·山西晋城·阶段练习）将用度、分、秒的形式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查度、分、秒单位之间的换算，解题的关键是正确理解，，熟练掌握高级单位化为低级单位时乘以，低级单位化为高级单位时除以，即大单位变小单位用乘法，小单位变大单位用除法． 【详解】解：， ∴， 故选：． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 2．（23-24七年级上·山东东营·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算．熟练掌握度分秒的换算是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据度分秒的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查了度分秒的计算，掌握度分秒的运算法则是解答本题的关键． 【经典例题八 角的度数大小比较】 【例8】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为，即可得出答案． 【详解】由， 又因为， 所以． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握是解题关键． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵， ，， ∴，即最大， 【经典例题九 角的比较】 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】略 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】如图：连接，则，又，即． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图： (1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论； (2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论. 【答案】(1) (2)当点Q在线段上时，，当点Q在射线上时， 【分析】（1）按照作一条线段等于已知线段的作法作图即可. （2）分两种情况：①Q点在线段上，②Q点在线段上，作出图形即可比较大小. 【详解】（1）如图，点D、E即为所求，且. （2）如图，当Q点在线段OE上时，， 当点Q在射线上时，. 【点睛】本题主要考查了比较线段的大小和比较角的大小，解题的关键是根据题意正确的作出图形. 【经典例题十 三角板中角度计算问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角的和差计算，是解决问题的关键． 利用与的和减去的差即得． 【详解】∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）题目：“如图．在一幅直角三角板①和②中，．将①固定不动，将②的顶点与①的顶点重合．若②的一条直角边或）与边的夹角为，求②的另一条直角边与边的夹角度数．嘉嘉给出的答案为或，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得对，另一个值是 B．淇淇说得不对，答案就是或 C．嘉嘉求的结果不对，答案应是或 D．两人都不对，答案应该有4个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中角的计算，关键是分情况讨论． 分别画出②的一条直角边或与边的夹角为的几种情况，计算②的另一条直角边与边的夹角度数． 【详解】解：①如图， 此时与边夹角为，，，即与边的夹角度数为， ②如图， 此时与边夹角为，，，即与边的夹角度数为， ③如图， 此时与边夹角为，，即与边的夹角度数为， ④如图， 此时与边夹角为，，即与边的夹角度数为， 共4种情况， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算． 根据题意得，把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）方法同（1）即可得出结果； （3）根据（2）中结果及比例求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：；； （2），理由如下， ，， ； （3），， ． 【经典例题十一 角度的四则运算】 【例11】（23-24七年级上·北京海淀·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，根据，进行计算即可． （1）先将度分秒分别相加，分、秒满60向前进1即可； （2）先计算乘除，再计算加法，分、秒满60向前进1． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】（1）见解析  （2），，  （3）  （4）> 【分析】本题考查两点间线段最短，度分秒的换算，角度的加法和比较大小； （1）连接和交于点O，则点O即为所作； （2）利用度、分、秒的进位制是计算即可； （3）根据度、分、秒的减法运算； （4）先把化为，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所作； （2）， 故答案为：，，； （3）， 故答案为：； （4）， ∵， ∴， 故答案为：． 【经典例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例12】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 2．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度． 【答案】85 【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解． 【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向 ∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85° 故答案是：85． 【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【经典例题十三 角平分线的有关计算】 【例13】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由已知可得，，根据角平分线的定义得，即可得解．掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【答案】(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 【经典例题十四 角n等分线的有关计算】 【例14】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ． 【答案】60°/60度 【分析】设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，由∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝200°求出x，进而求解． 【详解】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD， 设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x， ∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°， ∴x＝20°， ∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十五 求一个角的余角】 【例15】（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，由得，分别代入各选项，计算后再进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∵的余角为，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴表示的余角，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴可以表示的余角，故选项C正确，不符合题意； ∵ ， ∴不是的余角，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，则的余角度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角的计算，根据“和为的两角互余”进行计算即可． 【详解】解：， 的余角度数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 【经典例题十六 求一个角的补角】 【例16】（23-24七年级上·河北保定·期末）一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平角的定义判断即可． 【详解】根据平角的定义判定  中，符合题意，   中，不符合题意；   中，不符合题意；   中无法确定两个角的关系，不符合题意； 故选Ａ． 【点睛】本题考查了互补的定义，正确理解定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平角的定义求得∠COB，在根据角平分线的定义求∠AOB即可. 【详解】∵∠DOB+∠COB=180°， ∴∠COB= 180° -∠DOB =180° -110°= 70°， 因为射线平分， ∴∠AOB= COB=35°， 故选：B 【点睛】此题考查了平角的定义和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解答此题的关键. 2．（23-24七年级上·云南昭通·期中）若，则的邻补角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．根据邻补角的定义解决此题． 【详解】解：的邻补角等于 故答案为． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，补角的定义． （1）先由即可求出，再根据补角的定义即可解答； （2）由角平分线的定义可求得，，进而根据角的和可求得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的补角为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴． 【经典例题十七 与余角、补角有关的计算】 【例17】（24-25七年级上·全国·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 【详解】解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角、线段的中点等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据几何图形的构成、余角与补角、线段的中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.点是构成图形的基本元素，正确，故此选项不符合题意； B.一个锐角的补角是钝角，一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； C.若，则与互为余角，正确故此选项不符合题意； D.若且A、C、B在一条直线上时，点C才是线段的中点，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 【经典例题十八 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例18】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 本题主要考查余角和补角，互为余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【详解】∵， ∴， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， 即与互余， 故B选项正确； ∵，， ∴， 即与互补， 故C选项正确； 无法判断与是否互余， 例如当时， ， ， 不互余， 故D选项错误； 故选：D． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中与互补的角有，共3个； 故选C． 【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 【经典例题十九 余角、补角的综合应用】 【例19】 （23-24·山东济南·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数； (2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再结合垂直的定义运用平角的定义列式计算即可； （2）由可设，则；再结合、运用平角的性质可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， ． （2）解：∵， 设，则， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了考余角和补角、角平分线的定义、三角板等知识点，明确题意、弄清角之间的关系是解答本题的关键． 1．（23-24·山东烟台·七年级期末）如图，，平分，反向延长射线至F．    (1)和______；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） (2)是的平分线吗？为什么？ (3)反向延长射线至G，与的度数比为2：5，求的度数． 【答案】(1)互补 (2)是的平分线，详见解析 (3) 【分析】（1）根据得到，进而得到和互补； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念得到，，进而证明即可； （3）设，，则，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合平角的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴和互补； （2）是的平分线． 证明：平分， ∴ ， ∴，， ∴， ∴ 是的平分线； （3）设，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了几何图形中的角度和差计算，角平分线的证明及性质，正确理解图形中角度的位置及数量关系是解题的关键． 2．（23-24·黑龙江绥化·七年级期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 【答案】(1)或 (2)的度数为 (3) 【分析】（1）直接根据已知利用求出即可； （2）利用角平分线的性质和（1）中所求得出答案即可； （3）根据角平分线的性质，，进而求出即可． 【详解】（1）如图所示，或′即为所求，     当在内部时，， 当在外部时，， 故答案为：或； （2）平分，平分， ，， 的度数为：； （3）如图，    ，， ， 、平分，， ，， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键． 3．（23-24·吉林长春·七年级期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．    (1)如图①，当在与之间，且时，则______度，______度． (2)如图②，当在与之间时，求与差的度数． (3)在旋转的过程中，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)70，40 (2) (3)旋转角的度数为或 【分析】（1）根据已知条件求出度数即可； （2）根据和已知条件求出答案即可； （3）根据，分两种情况：当在与之间时，当在与之间时计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在与之间，，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：旋转角为， 当在与之间时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当在与之间时， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，旋转角的度数为或． 【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解题的关键． 4．（2024·河北廊坊·七年级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：）    (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据，可求出的度数，根据角互余的关系即可求解； （2）根据题意可得的度数，根据平分，可求出的度数，再根据角互余的关系即可求解； （3）根据，，运用等量代换的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵直角三角板的一边放在射线上，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角度的和差倍分，角平分线的性质，互余、互补的计算，旋转等知识的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度分，即，1分秒，即”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算． 【详解】 解：A、，计算正确，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项不符题意． C、，计算正确，故本选项不符合题意． D、，计算错误，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 3．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 【答案】B 【分析】本题考查了图形与位置的关系，结合方位和角度画出路线图是解题关键．先根据题意画出图形，再根据方向和距离进行解答即可． 【详解】解：根据题意画出小明的行走路线图如下： 由图可知，学校在小明家的南方，距小明家200米． 故选：B． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查补角与余角的定义，熟练掌握补角和余角的定义是解决本题的关键．由射线是平角的平分线，得，选项D不符合题意．根据同角的余角相等，得，，选项A不符合题意．同理可得，选项B不符合题意， C中两角互余不能推断相等，选项C符合题意． 【详解】解：D、∵射线是平角的平分线， ．故选项D不合题意． A、． 又， ． 故选项A不符合题意． B、，， ． 故选项B不符合题意． C、， ∴． 无法证明． 故选项C符合题意． 故选：C． 5．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角，根据余角和补角的定义及性质进行判断即可． 【详解】①，则①不符合题意． ②与都有一个相同的余角，那么，则②符合题意． ③与都有一个相同的补角，那么，则③符合题意． ④，则④不符合题意． 综上，②③符合题意． 故选：B． 6．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互余角和互补角的概念及其性质，解题的关键在于理解并应用互余角和互补角的定义． 由题意得：，，进而即可得到与的数量关系． 【详解】与互余，与互补， ，， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，平分，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，先由角平分线的定义得出，再分两种情况：如答图①，当在的同侧时，如答图②，当在的异侧时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴． 分两种情况：如答图①，当在的同侧时， ， 此时； 如答图②，当在的异侧时， ， 此时． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 8．（23-24七年级上·全国·单元测试）钟表上的时针绕其中心旋转一周是小时，则时针经过个小时所转过的角度为 ，若时针从时开始，绕中心旋转，则它所指向的具体数字是 ． 【答案】 /120度 5 【分析】本题考查了钟面角，钟表的指针运动，是典型的旋转问题，其旋转中心就是钟表圆盘的中心位置；钟表内，每一大格所对应的圆心角是，时针经过4小时整，需要旋转4大格，即可求得时针旋转的度数；绕中心旋转，则用即可． 【详解】解：时针经过个小时所转过的角度为， 时针从时开始，绕中心旋转，则它所指向的具体数字， 故答案为：，5． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2024条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2024条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度表示）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法以及单位之间的进率是正确解答的关键． （1）将化成，再进行减法计算即可； （2）先计算乘法，再算加减，利用度、分、秒的换算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ 【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可； （2）用量角器测量比较即可． 【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法， 可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α． （2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°， 把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ． 【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键． 13．（23-24七年级上·福建福州·期末）（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键．本题考查了线段的中点及三等分点，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差及中点和三等分点，可得答案； （2）根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 是的中点， ， 则：， 又是的三等分点靠近， ， ． （2），平分， ， ， ， 又， ， ， ． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$