专题04 点和线关系重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题04 点和线、线段重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 题型二 直线、射线、线段的联系与区别 题型三 画出直线、射线、线段 题型四 点与线的位置关系 题型五 直线、线段、射线的数量问题 题型六 直线相交的交点个数问题 题型七 线段的应用 题型八 两点确定一条直线 题型九 作线段(尺规作图) 题型十 线段的和与差 题型十一 线段中点的有关计算 题型十二 线段n等分点的有关计算 题型十三 线段之间的数量关系 题型十四 与线段有关的动点问题 题型十五 两点之间线段最短 题型十六 两点间的距离 题型十七 最短路径问题 知识点一：线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（23-24七年级上·山东淄博·期中）夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【分析】此题考查了点、线、面、体，根据点动成线分析即可，正确理解点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 【详解】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线， 故选：． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 【经典例题二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义． 【详解】解：（）两点确定一条直线，错误； （）射线是不可度量的，错误； （）线段和线段是同一条线段，正确； （）射线和射线是不同的射线，错误； （）直线和直线是同一条直线，正确； ∴错误的有个， 故选：． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（      ） A．直线比射线长 B．射线就是射线 C．延长线段就是延长线段 D．射线只有一个端点 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法，分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A．直线与射线不能比较长短，本选项错误，故不符合题意； B．射线和射线不是同一条射线，本选项错误，故不符合题意； C．延长线段就是反向延长线段，本选项错误，故不符合题意； D．射线只有一个端点，本选项正确，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义以及表示方法，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义以及表示方法． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 【答案】(1)直线， 或； (2)射线， ； (3)线段，或； (4)或． 【分析】（）根据直线概念：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹.向两个方向无限延伸； （）根据射线概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸； （）根据线段概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点； （）根据绝对值的概念即可求解． 【详解】（1）解：根据概念可知：规定了原点，正方向，单位长度的直线，直线或 故答案为：规定了原点，正方向，单位长度的直线， 或； （2）根据概念可知：射线，， 故答案为：射线， ； （3）根据概念可知：线段，或， 故答案为：线段，或； （4）设这个数为， 由题意得：， 或， 解得：或， ∴到点距离等于的点所表示的数是或． 【点睛】此题考查了直线、射线、数轴，解题的关键是要熟知直线、射线、数轴的概念． 【经典例题三 画出直线、射线、线段】 【例3】（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，    当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，    故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，线段与线段有交点，则点D可能与下列哪个点重合（    ）． A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查作图−线段、线段的定义，分别画出线段，再逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 如图可得，线段与线段、、不相交，线段与线段相交， ∴点D与点F重合， 故选：B． 2．（2024·浙江绍兴·一模）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线； (2)画射线； (3)连接和相交于点E； (4)连结并延长到F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求； （4）解：如图，线段即为所求． 【经典例题四 点与线的位置关系】 【例4】（23-24七年级上·山西太原·期末）下面说法与几何图形相符的是（    ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】B 【分析】利用点和直线的关系，结合图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、点不在直线上，故错误，不合题意； B、直线与都经过点，故正确，符合题意； C、不能表示成，故原说法错误，不合题意； D、直线和直线表示同一条直线，故原说法错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了点和直线的关系，直线的性质，注意仔细观察图形． 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 【答案】(1)点C在直线外 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、线段，点与直线的位置关系，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据直线与点的位置关系进行求解； （2）根据几何语言先连接并延长，一点为圆心，长为半径画弧交射线于点D即可． 【详解】（1）解：点C与直线的关系为：点C在直线外； （2）解：如图所示． 【经典例题五 直线、线段、射线的数量问题】 【例5】（23-24七年级上·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，根据线段条数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为（种）， 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1）、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【经典例题六 直线相交的交点个数问题】 【例6】（23-24七年级上·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 1．（23-24七年级上·湖北·开学考试）有10条不同的直线，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，则这10条直线的交点个数最多是（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】C 【分析】根据，，可知：直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点，由此即可求解此题． 【详解】解：由直线且，可得： 直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点， 则直线1，2，3，4，5，7，8，10的交点数量为：， 再加上2，3两条直线增加的交点数量为：， 所以得出交点最多就是条， 故选：C． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键在于分析得出三条平行三条相交． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，即条直线相交，最多有6个交点，即条直线相交，最多有10个交点，即条直线相交，最多有（个）交点． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【答案】(1)P在直线l外； (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线的定义即可画直线PA； （3）根据射线的定义即可画射线PB； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数． 【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外； 故答案为：P在直线l外； （2）如图1，直线PA即为所求； （3）如图1，射线PB即为所求； （4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 【经典例题七 线段的应用】 【例7】（23-24七年级上·广西崇左·期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 【答案】D 【分析】从左到右的顺序依次确定线段，车票有方向性，是线段条数的2倍. 【详解】从A开始的线段有AB，AC，AD三条；从B开始的线段有BC，BD二条； 从C开始的线段有CD一条；所以共有6条线段； 车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票数恰好是线段条数的2倍，所以需要12种车票， 故选D. 【点睛】本题考查了线段的定义，数线段，以及线段与生活中的车票的关系，熟练数线段，理解车票数是线段数的2倍是解题的关键. 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北邢台·期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 【答案】/ 【分析】以为圆心为半径画圆，可得：；以为圆心为半径画圆，可得：，即可得出答案． 【详解】解：以为圆心为半径画圆，可得：； 以为圆心为半径画圆，可得：； ∴, ∴图中所给出的线段中，最短的线段是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的比较大小，学会用线段的比较大小是解题的关键． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知平面上四个点，，，，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)延长线段上到点，使；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)结合图形，比较线段和线段的长短，得__________．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)< 【分析】本题考查作图图复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，点即为所求； （3）根据叠合法比较即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，可得， 故答案为：<． 【经典例题八 两点确定一条直线】 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（    ）． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】C 【分析】利用网格作图即可. 【详解】如图： 在同一直线上的三个点有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5组， 故选：C 【点睛】此题考查了直线的有关概念，在网格中找到相应的直线是解答此题的关键. 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 【答案】见解析 【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可． 【详解】乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是不可能的， 所以乙尺不是直的． 【点睛】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键． 【经典例题九 作线段(尺规作图)】 【例9】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 4 见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】解：（1）的面积等于， 故答案为：4； （2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； 分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交于点； 点，即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知三条线段长度分别为a、b、c，其中（如图所示）． (1)尺规作图，在射线上求作线段，使；（要求：不写作法，只保留作图痕迹） (2)已知，，，用一根和线段长度相等的铁丝，围成一个正方形，且将正方形绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求此几何体的体积． 【答案】(1)图见详解； (2)； 【分析】（1）本题考查作相等线段，利用圆规截取相等线段即可得到答案； （2）本题考查旋转体及圆柱的体积，根据周长求出正方形的边长，结合正方形的旋转体是圆柱求解即可得到答案 【详解】（1）解：由题意可得， 以A为圆心为半径画圆弧交直线于一点，再以该点为圆心为半径画圆弧，并重复一次，最后以交点为圆心为半径往左边画圆弧交直线于一点即为，如图所示， ； （2）解：∵，，， ∴， ∴正方形的边长为：， ∴旋转体的底面半径为：2，高为2， ∴． 【经典例题十 线段的和与差】 【例10】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差以及线段中点的定义，利用线段和差作为等量关系列方程是解决问题的关键．根据线段的差求出，由，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有A、B、C、…、S共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为 ． 【答案】3 【分析】设，则，，再得出一个端点是A的线段和一段端点是D的线段，再求出两者之差，即可． 本题考查线段的和差，图形变换的规律，根据线段的规律得出方程是解题的关键． 【详解】解：设，则，，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，在一块边长为的正方形土地上，修建两个大小相同的长方形场地（图中的阴影部分）． (1)如图所示，长方形场地的长________，宽________（均用含，的代数式表示）； (2)当，时，求两个阴影部分的面积和． 【答案】(1)，； (2)两个阴影部分的面积和为． 【分析】本题考查了列代数式，长方形的面积公式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据线段的和差可求长方形场地的长宽； （2）根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 长方形场地的长， 宽， 故答案为：，； （2）解：由题意可知，当，时， ， ∴两个阴影部分的面积和为． 【经典例题十一 线段中点的有关计算】 【例11】（23-24七年级上·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．根据题意画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案． 【详解】解：①当点在点左侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； ②当点在点右侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； 故选B． 1．（23-24七年级上·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【详解】解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段，线段，M，N分别为线段的中点． (1)求线段的长； (2)根据（1）中的计算过程和结果，设，且，其他条件都不变，直接写出的长度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，注意分类讨论： （1）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况进行讨论求解即可； （2）同法（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 综上：或； （2）解：当点在线段上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 综上：或． 【经典例题十二 线段n等分点的有关计算】 【例12】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 【答案】9或/或9 【分析】本题主要考查了线段的三等分点，线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键. 分两种情况：①点靠近点；②点靠近点.画出图形分别计算即可. 【详解】解：如图1所示： 点是的三等分点， ． 如图2所示： 点是的三等分点， ． 的长度为9或， 故答案为：9或． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 【经典例题十三 线段之间的数量关系】 【例13】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，是线段上的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和为13，线段的长度与线段的长度都是正整数，则线段的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段长短的知识，有一定难度，解题的关键是根据题意列出方程式，并探讨解的合理性．设，，则，再根据图中所有线段的长度之和为13，即可列出等式，再根据线段的长度与线段的长度都是正整数，即可求出答案． 【详解】解：设，，则， ， 即：， 得：． 因为线段的长度与线段的长度都是正整数， ∴当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 所以可知，， 即线段的长度为2． 故选：B． 1．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）已知点A，B，C在同一条直线上，若，则的长为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据题意，进行分类讨论：当A、C在点B两侧时，当A、C在点B同侧时，即可求解． 【详解】解：当A、C在点B两侧时， ∵， ∴； 当A、C在点B同侧时， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是正确理解题意，具有分类讨论的思想． 2．（23-24七年级上·山西晋城·期末）已知，是线段上一点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是解题的关键．设,那么,则,从而求得其比值． 【详解】设,那么, ∴, 故答案是：. 3．（23-24七年级上·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】(1)总长的长度为 (2)缩进部分的长为，的长为 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 【经典例题十四 与线段有关的动点问题】 【例14】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 【经典例题十五 两点之间线段最短】 【例15】（24-25七年级上·全国·单元测试）平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线及线段的知识．掌握基本定义是解题的关键． 根据射线的定义、线段的性质、直线的性质、线段的比例关系,可判断出各选项． 【详解】解：A．射线和射线是两条不同射线，故此选项错误，不符合题意； B．两点之间，线段最短，此选项正确，符合题意； C．经过三个点（不重合）最多可画一条直线，此选项错误，不符合题意； D．直线上有三个点A、B、C，若,则点C是线段的中点（此时点C位于之间），点C也可能不是的中点（此时点C位于的延长线上,如图），此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键． 根据线段的性质即可求解． 【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近， 依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)>，两点之间线段最短 (3) (4)的长为1或5． 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）根据两点之间线段最短进行判断； （3）先计算出，然后计算即可； （4）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：根据两点之间线段最短得； 故答案为：，两点之间线段最短； （3）解：， ， ， ； （4）解：当点在点左侧，， 当点在点右侧，， 综上所述，的长为1或5． 【经典例题十六 两点间的距离】 【例16】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知平面内有、、三点，，，若点、之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握两点间距离的计算方法是解题的关键．分三点在一条直线和不在一条直线两种情况得出的取值即可． 【详解】解：若、、三点在同一直线上， 则，或， 、、三点不在同一直线上由三角形三边关系得出， ， 综上，的取值为， 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分两种情况：当点C在线段的右侧时；当点C在线段的左侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点C在点B的右侧时，如图：    ∵， ∴； 当点C在点A的左侧时，如图：    ∵， ∴； 综上所述：为或， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（23-24七年级上·四川雅安·期末）如图，点是线段上的三个点，已知，则图中所有线段的和为 ． 【答案】29 【分析】本题考查了两点间距离，不重复，不遗漏的找全所有线段是解题的关键．先找全以、、、，这5个点为端点的所有线段，然后相加即可． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 【经典例题十七 最短路径问题】 【例17】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．      根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 1．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可． 【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽， 连接，与另一条河岸相交于F，作于点E， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． ∴C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”． 2．（23-24七年级上·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可； 【详解】解：过2个点可以画：； 过3个点可以画：； 过n个点可以画：； 则过10个点可以画； 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据经过一点可以作无数条直线对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据过3点的直线的条数对③进行判断；通过两点之间线段最短对④进行判断． 【详解】①经过一点可以作无数条直线，此说法正确； ②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，此说法正确； ③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，故题意说法错误； ④由两点之间线段最短可得，所以此说法正确； 所以共有3个正确． 故选：C． 5．（23-24七年级上·四川资阳·期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧， ∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P， ∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可． 【详解】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中线段共有 条． 【答案】 【分析】根据线段和直线的性质，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键； 根据图形结合线段的性质求解即可； 【详解】本图中的线段有：，，，，，，共条线段； 故答案为： 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）在直线m上取P，Q两点，使，再在直线m上取一点R，使，M，N分别是，的中点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点在线段上，点在线段外两种情况．分情况讨论点在线段上，点在线段的反向延长线上，即可求解． 【详解】解：由题意知点的位置有两种情况， ①点在线段上， ，，，分别是，的中点， ，， ， ②点在线段的反向延长线上时，由①得， ， 或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 10．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 【答案】53 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位，即可确定点B的对应的数为，根据数轴得出长，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位， ∴蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位， ∴点B的对应的数为：， ∴ ∴点C表示的数是， 故答案为：53． 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为5，点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3或7 【分析】本题考查了作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）因为点可以在线段，也可以在其延长线上，所以分两种情况讨论，分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线为所作； （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ∵，， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵，， ∴； 综上所述，的长为3或7． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，图形的旋转变换，圆锥的定义及圆的面积公式，熟练掌握圆锥的定义及圆的面积公式是解答此题的关键． （1）根据圆锥的定义可知即可得出答案； （2）根据圆锥的底面是圆，运用圆面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据圆锥的定义可知：旋转所得的几何体都是圆锥． 故答案为：圆锥； （2）绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得； （3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点， … n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分； … n条直线最多把平面分成 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． 15．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短求解； （2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线． 【详解】（1）解：从路线长：， 从路线长：， 从路线长：， 根据两点之间，线段最短， 可得，即， 所以，即， 故从到的最短路线长为． （2）解：从到的最短路线长为， 图中的点为线段的中点， 位置如图． 【点睛】本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 点和线、线段重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 题型二 直线、射线、线段的联系与区别 题型三 画出直线、射线、线段 题型四 点与线的位置关系 题型五 直线、线段、射线的数量问题 题型六 直线相交的交点个数问题 题型七 线段的应用 题型八 两点确定一条直线 题型九 作线段(尺规作图) 题型十 线段的和与差题型十一 线段中点的有关计算 题型十二 线段n等分点的有关计算 题型十三 线段之间的数量关系 题型十四 与线段有关的动点问题 题型十五 两点之间线段最短 题型十六 两点间的距离 题型十七 最短路径问题 知识点一：线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（23-24七年级上·山东淄博·期中）夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    3．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【经典例题二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（      ） A．直线比射线长 B．射线就是射线 C．延长线段就是延长线段 D．射线只有一个端点 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 【经典例题三 画出直线、射线、线段】 【例3】（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，线段与线段有交点，则点D可能与下列哪个点重合（    ）． A．点E B．点F C．点G D．点H 2．（2024·浙江绍兴·一模）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有_________个． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线； (2)画射线； (3)连接和相交于点E； (4)连结并延长到F，使． 【经典例题四 点与线的位置关系】 【例4】（23-24七年级上·山西太原·期末）下面说法与几何图形相符的是（    ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 3．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 【经典例题五 直线、线段、射线的数量问题】 【例5】（23-24七年级上·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 2．（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 3．（23-24七年级上·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【经典例题六 直线相交的交点个数问题】 【例6】（23-24七年级上·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 1．（23-24七年级上·湖北·开学考试）有10条不同的直线，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，则这10条直线的交点个数最多是（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【经典例题七 线段的应用】 【例7】（23-24七年级上·广西崇左·期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 2．（23-24七年级上·河北邢台·期中）图中所给出的线段中，最短的线段是 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知平面上四个点，，，，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)延长线段上到点，使；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)结合图形，比较线段和线段的长短，得__________．（填“>”或“<”或“=”） 【经典例题八 两点确定一条直线】 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（    ）． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 【经典例题九 作线段(尺规作图)】 【例9】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知三条线段长度分别为a、b、c，其中（如图所示）． (1)尺规作图，在射线上求作线段，使；（要求：不写作法，只保留作图痕迹） (2)已知，，，用一根和线段长度相等的铁丝，围成一个正方形，且将正方形绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求此几何体的体积． 【经典例题十 线段的和与差】 【例10】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有A、B、C、…、S共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，在一块边长为的正方形土地上，修建两个大小相同的长方形场地（图中的阴影部分）． (1)如图所示，长方形场地的长________，宽________（均用含，的代数式表示）； (2)当，时，求两个阴影部分的面积和． 【经典例题十一 线段中点的有关计算】 【例11】（23-24七年级上·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 1．（23-24七年级上·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段，线段，M，N分别为线段的中点． (1)求线段的长； (2)根据（1）中的计算过程和结果，设，且，其他条件都不变，直接写出的长度． 【经典例题十二 线段n等分点的有关计算】 【例12】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 2．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【经典例题十三 线段之间的数量关系】 【例13】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，是线段上的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和为13，线段的长度与线段的长度都是正整数，则线段的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）已知点A，B，C在同一条直线上，若，则的长为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（23-24七年级上·山西晋城·期末）已知，是线段上一点，且，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【经典例题十四 与线段有关的动点问题】 【例14】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十五 两点之间线段最短】 【例15】（24-25七年级上·全国·单元测试）平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 【经典例题十六 两点间的距离】 【例16】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知平面内有、、三点，，，若点、之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 2．（23-24七年级上·四川雅安·期末）如图，点是线段上的三个点，已知，则图中所有线段的和为 ． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【经典例题十七 最短路径问题】 【例17】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 1．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·四川资阳·期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）． A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中线段共有 条． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）在直线m上取P，Q两点，使，再在直线m上取一点R，使，M，N分别是，的中点，则 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 10．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为5，点在直线上，且，求的长． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 15．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$