专题3.5 最基本的图形——点和线（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.5 最基本的图形——点和线 教学目标 1.在生活情境中理解线段、射线、直线的概念，会用不同方法表示，知道它们的区别与联系。 2.掌握基本事实"两点确定一条直线""两点之间线段最短"，会用它们解释相关问题的几何原理。 3.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 4.了解尺规作图，能用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短。 5.理解线段中点的意义，能进行线段的和、差、倍、分运算。 教学重难点 1.重点 （1）线段、射线、直线的区别与联系 （2）"两点确定一条直线""两点之间线段最短" （3）线段中点及线段的和差倍分计算 2.难点 （1）区分线段、射线、直线的表示方法 （2）线段中点、n等分点相关的计算 （3）与线段有关的动点、探究问题 知识点01：点、线段、射线、直线的概念及表示 1.点：用点表示一个物体的位置，一个点一般用一个大写字母表示；点是最基本的几何图形，只表示位置而没有大小。 2.线段、射线、直线： 项目 线段 射线 直线 形成 无数排成行的点的聚集 把线段向一端无限延伸 把线段向两端无限延伸 端点个数 2个 1个 0个 延伸性 不能延伸 向一端无限延伸 向两端无限延伸 长度 有长度，能度量 无限长，不能度量 无限长，不能度量 3.表示方法： （1）线段：用两个大写字母（线段AB）或一个小写字母（线段a）表示； （2）射线：用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面（射线OA）； （3）直线：用两个大写字母（直线AB）或一个小写字母（直线l）表示。 4.注意：线段、射线、直线没有粗细之分；线段AB与线段BA是同一线段，直线AB与直线BA是同一直线；射线有方向，射线OA与射线AO表示不同射线。 【即学即练】 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【答案】B 【详解】解：、线段和射线都是直线的一部分，说法正确，故本选项不符合题意； 、射线和射线不是同一条射线，说法不正确，故本选项符合题意； 、线段与线段是同一条线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、直线与直线为同一条直线，说法正确，故本选项不符合题意． 知识点02：线段、直线的相关基本事实 1.线段的基本事实：两点之间线段最短。 2.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 3.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 4.注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身；经过一点的直线有无数条。 5.点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）或点在直线外（直线不经过点）。 【即学即练】 1．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【答案】B 【详解】解：打靶瞄准时，是通过准星和缺口两个点来确定射击方向（视线）， 这个现象解释了两点确定一条直线． 知识点03：线段的画法与长短的比较 1.尺规作图：利用没有刻度的直尺和圆规两种工具作几何图形的方法。 2.画一条线段等于已知线段： （1）度量法：先量出已知线段长度，再画等长线段； （2）尺规作图法：作射线AC，用圆规量取线段a，在射线AC上截取AB＝a。 3.比较两条线段长短的方法： （1）度量法（从"数"的角度）：用刻度尺分别测量长度进行比较； （2）叠合法（从"形"的角度）：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，比较另一端的位置。 【即学即练】 1．如图，已知四点，，，，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是___________． 【答案】(1) (2) (3)两点之间，线段最短 【分析】（1）根据直线(无端点，向两方无限延伸)、射线(一个端点，向一方无限延伸)、线段(两个端点，有固定长度)的定义，分别画出指定图形即可． （2）要构造，只需在的延长线上利用圆规截取和等长线段即可完成尺规作图． （3）观察、、三点的位置，通过“两点之间线段最短”的基本事实，对比折线与线段的长度得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据“两点之间，线段最短”：是连接、的线段，而是从到再到的折线，折线长度大于线段长度，故． 知识点04：线段的中点 1.定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 2.性质：若点C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB，或AB＝2AC＝2BC。 3.判定：若点C在线段AB上，且AC＝BC，则点C是线段AB的中点。 4.注意：线段的中点一定在线段上，且只有一个。 【即学即练】 1．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 知识点05：线段的n等分点与线段的和差倍分计算 1.线段的n等分点：把一条线段分成n条相等线段的点，叫做这条线段的n等分点。 2.三等分点：若M、N是线段AB的三等分点，则AM＝MN＝BN＝AB，或AB＝3AM＝3MN＝3BN。 3.四等分点：若M、N、P是线段AB的四等分点，则AM＝MN＝NP＝PB＝AB。 4.线段的计算：线段可以进行和、差、倍、分运算，即线段长度的计算。 5.线段的和：AC＝AB＋BC；线段的差：AD＝AB－BD。 【即学即练】 1．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 题型01 直线、射线、线段的概念辨析 抓住端点个数与延伸性区分线段（2端点不可延伸）、射线（1端点向一端延伸）、直线（无端点向两端延伸），注意直线、射线不能度量。 【典例1】. 下列说法正确的是（     ） A．射线与射线是同一条射线 B．直线可以向两端无限延长，所以能延长直线 C．两点之间，线段最短 D．线段与线段不是同一条线段 【答案】C 【分析】根据直线，射线，线段的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、射线与射线的端点不同，方向不同，它们不是同一条射线，故本选项说法错误； B、直线本就无限延伸，不能说延长直线，故本选项说法错误； C、两点之间，线段最短，故本选项说法正确； D、线段与线段的端点相同，它们是同一条线段，故本选项说法错误． 【变式1】. 如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【变式2】. 下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 【变式3】. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． 题型02 数线段、射线、直线的条数 按顺序计数避免遗漏；直线上有n个点时线段有条，射线有2n条。 【典例2】. 数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的线段有：，共条． 【变式1】. 如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【答案】C 【分析】将车站转化为直线上的点，通过计算线段总数求解车票种数． 【详解】解：∵乘火车从北京到上海为单向行程，任意两个车站间对应一种车票，等价于求25个点构成的线段总条数， ∴车票种数为． 【变式2】. 直线l上有一个点．在直线l上，以这个点为端点的不同射线共有多少条？ 【答案】2条 【分析】根据射线的定义，以同一点为端点的射线，方向不同则为不同射线，只需确定直线上该点对应的不同方向数. 【详解】解：∵射线有1个端点，可向一端无限延伸.以直线l上的已知点为端点，在直线l上有两个相反的延伸方向，对应2条不同的射线， ∴共有2条不同的射线． 【变式3】. 如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 题型03 两点确定一条直线 理解"过两点有且只有一条直线"，用于解释生活中的现象，或求过若干点能作直线的条数。 【典例3】. 2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 【变式1】. 在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 【变式2】. 墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．请你解释其中的道理． 【答案】其中的道理是两点确定一条直线． 【分析】操作中固定了墨线的两个端点，依据直线的基本性质即可解释其中的道理． 【详解】将墨线两端固定在预先标记的两点上，绷紧后的墨线就唯一对应这两点之间的直线，弹出的痕迹就是笔直的墨线，其依据就是两点确定一条直线． 【变式3】. 要在墙上钉牢一根木条，至少要钉几颗钉子？为什么？ 【答案】 解：至少要钉2颗钉子， 将钉子看作点，木条看作直线， ∵两点确定一条直线， ∴固定木条的位置至少需要2个固定点，即2颗钉子． 【分析】先将实际物体抽象为几何图形，再依据直线“两点确定一条直线”的基本事实推导最少钉子数； 【详解】略 题型04 两点之间线段最短 理解"两点之间线段最短"，用于解释最短路径问题，或结合实际情境选择最短路程。 【典例4】. 彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 【变式1】. 如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”即可解答． 【详解】解：∵从A到B有多条道路，其中中间的直路是线段，其余道路是曲线或折线． ∴根据线段的性质：两点之间线段最短，可知：走中间的直路路程最短． 【变式2】. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】根据“两点之间，线段最短”即可求解． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间，线段最短． 【变式3】. 如图，已知点A，B，C，请按下列语句画出图形并完成解答． (1)作直线，射线，线段； (2)在射线上取一点D，使． (3)在（2）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) 解：如图，作直线，射线，线段， 直线，射线，线段即为所求． (2) 解：如图，以点为圆心，线段的长为半径作弧，与射线交于点， 线段即为所求． (3) 解：． 理由如下： ，（两点之间线段最短），即， 又 ， ． 【分析】本题主要考查了线段、直线、射线的画法，线段的尺规作图，两点之间，线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的画法画图即可； （2）根据线段的尺规作图方法作图即可； （3）根据两点之间，线段最短可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型05 两点间的距离 两点间距离是连接两点的线段长度，是一个数值；注意与线段图形本身相区分。 【典例5】. 如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 【变式1】. 关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（） A．连接两点的线段就是两点之间的距离 B．连接两点的线段的长度，是两点之间的距离 C．点到点的距离是指线段的长度 D．两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的 【答案】A 【分析】本题考查两点之间距离的定义及两点之间线段最短的性质，需明确距离是线段的长度而非线段本身，据此判断各选项正误． 【详解】解：选项A的说法错误，因为两点之间的距离是指连接这两点的线段的长度，是一个具体的数值，而线段是图形，二者不是同一概念，故该选项符合题意； 选项B、C符合两点之间距离的定义，说法正确，不符合题意； 选项D符合两点之间线段最短的性质，说法正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】. 如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）由图可知的长度，根据求解即可； （2）由（1）可知，结合，两站之间的距离是，求出，再由图可知的长度，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵由图可知，，， ∴， ∴，两站之间的距离是； （2）解：∵由（1）可得， 又∵，两站之间的距离是， ∴，即， ∵由图可知，，， ∴． ∴，两站之间的距离为． 【变式3】. ___________叫做两点间的距离． 【答案】连接两点之间的线段的长度 【分析】本题考查两点间距离的定义，直接根据两点间的距离的概念填写即可． 【详解】解：两点间的距离是指连接这两点之间的线段的长度， 故答案为：连接两点之间的线段的长度． 题型06 比较线段的长短 用度量法或叠合法比较；叠合法使一端重合后比较另一端点位置即可判断大小。 【典例6】. 如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查比较线段的长短．根据题意即可得出答案． 【详解】解：如图即可得出． 故选：C． 【变式1】. 请通过直接观察，分别比较下列三组图形中线段a、b的长短．再用刻度尺量一量，看看你的观察结果是否正确． (1) (2) (3) 【答案】(1)观察：；实际：； (2)观察：；实际：； (3)观察：；实际：． 【分析】这是初中几何入门的易错体验题，目的是让我们认识到：视觉会被线段两端的附加图案、线段的摆放方向、所在图形的大小干扰，产生视觉错觉，仅凭肉眼直接观察得到的结论不一定准确，想要确定线段的真实长短，需要使用刻度尺等工具进行实际测量验证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式2】. 请测量并比较线段的长短： 如图，在梯形中，___________，___________，___________（填“”“”或“”）． 【答案】 5 【分析】本题考查了线段长度的测量与比较，解题的关键是正确使用刻度尺测量线段长度并进行大小比较． 用刻度尺分别测量线段AD和BC的长度，再比较测量结果的大小． 【详解】解：用刻度尺测量得：，； ∵ ， ∴ ． 故答案为：①；②；③． 【变式3】. 小明为了比较两条线段AB与CD的长短，将点A与点C重合，并且使两条线段在一条直线上．如果点B在C，D两点之间，那么（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查线段的长短比较，关键是掌握线段的长短比较的方法：度量比较法、重合比较法． 由比较线段长短的重合比较法，即可判断． 【详解】解：根据题意，将点与点重合 因为点在两点之间，说明点在同一直线上的顺序为 此时，线段的长度即为线段的长度 因为 所以 故选：A． 题型07尺规作线段 用直尺作射线，用圆规截取线段，按步骤作线段的和、差（顺次截取或在线段上截取）。 【典例7】. 如图，数轴上A、B、C三个点对应的数分别为，a，b． (1)判断：； (2)用圆规在数轴上作出原点O及表示数的点D．（写出必要的文字说明） 【答案】(1) (2)①以点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点B右侧，交点即为原点O； ②用圆规量取线段的长度（即）；以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正方向于点D，该点即为所求． 【分析】（1）利用数轴“左小右大”，由点A在点B左侧得到，解不等式判断a的符号； （2）先由线段长度为，以B为圆心，长为半径向右画弧作出原点O；再量取，以原点O为圆心，长为半径，在数轴正方向画弧得到点D． 【详解】（1）解：数轴上点A在点B左侧， ， （2）略 【变式1】. 作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段， 求作：线段，使． 【答案】解：如图，线段为所求； 【分析】作射线，以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交射线于点N，则，以点N为圆心，线段m的长为半径画弧，交线段于点P，则，同理作线段，则线段，即为所求． 【详解】略 【变式2】. 如图1，已知线段，O是中点． (1)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段上作； ②在图2中的直线上作． (2)若，，则 ①__________；（请把结果填在横线上） ②直接写出的长． 【答案】(1)解：①；② (2)①1；②或 【分析】（1）①以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点E，则为所求；②根据O是中点可得，以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，，则，为所求； （2）①根据线段的和差即可求解，②分当点F在线段上时和当点F在线段的延长线上时两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）①略；②略； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴当点F在线段上时，如图中点，， 当点F在线段的延长线上时，如图中点，， 综上，的长为或． 【变式3】. 如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 【答案】(1)射线如图所示： (2)如图所示：直线、点即为所求， (3)如图所示：线段、线段即为所求， (4)，两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间，线段最短解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示： 根据两点之间线段最短可得，． 题型08 线段的和差倍分计算 根据图形中各线段的和、差关系列式，结合中点、等分点性质求线段长度。 【典例8】. 如图，点P是线段的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，则可得，根据中点定义得出，则可得出，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. 已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算，关键是明确各点的位置关系，将未知线段用含长度的代数式表示，再根据已知线段长度建立方程求解． 【详解】解：如图， 设的长为． ，， ，． ． ， ，解得． 故答案为：． 【变式2】. 如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B在线段上可知，由，可得，代入计算后即可得到答案； （2）根据O是线段的中点及的长可求出的长，由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 【变式3】. 如图，线段，点C为线段的中点，点D在线段上，． (1)求的长． (2)若点E在线段上，使得，求的长． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，线段之间的数量关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用线段中点的意义求得，再结合，利用线段的和求得； （2）先利用线段差求得，再利用，求得，然后分点E在点D的右侧、点E在点D的左侧两种情况讨论，分别求得． 【详解】（1）解：∵线段，点C为线段的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点E在线段上，使得， ∴， 当点E在点D的右侧时，有， 当点E在点D的左侧时，有， ∴或． 题型09 线段中点的有关计算 利用中点性质AC＝BC＝AB建立等式，结合题目条件设参或直接求值。 【典例9】. 如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，，， ∴， ∴． 【变式1】. 已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【答案】7或13 【分析】根据点在直线上，位置有两种可能，需分情况讨论，结合中点性质计算的长度． 【详解】解：∵ 点是线段的中点， ∴ ； ∵ 点是线段的中点， ∴ ． 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ． 【变式2】. 如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 【变式3】. 操作与计算 小明同学在做家庭作业时，其中一道题的图被调皮的弟弟涂花了，题目如下： 如图①，点，，是数轴上的三个点，点表示数，且线段的长为，为的中点，则点表示的数是多少？ (1)请你帮小明在图②中找出点的位置；（要求：尺规作图，不写作法）； (2)点表示的数是__________； (3)若点是数轴上的一个点，且，则__________． 【答案】(1)解：如图，点即为求作的点， ； (2) (3)或 【分析】（1）以为圆心，的长为半径在点右侧画弧，与数轴的交点为点的位置； （2）根据点表示数，且线段的长为，由为的中点，可得点表示的数； （3）分点在点左侧、右侧两种情况分别求解； 【详解】（1）略 （2）解：线段的长为，为的中点， ， 点表示数， 点表示的数是； （3）解：当点在点左侧时， 点表示的数是， ； 当点在点右侧时， 点表示的数是， ． 题型10 线段的n等分点的有关计算 由n等分点性质（三等分、四等分等）表示各段长度，列式求解，注意多解情况。 【典例10】. 点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 【变式1】. 如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】. 如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 【变式3】. 已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 【答案】（）或；（） 【分析】（）先根据“五美点”的定义得到与的两种数量关系，再结合线段的长度和的线段和关系，分别计算出两种情况下的长度； （）先依据“五美点”定义和的条件确定和的长度；接着计算和的长度；再利用中点的性质求出的长度；最后通过线段的差求出的长度． 【详解】（）在线段上， ， 是线段的“五美点”， 或，即或， 或， 又， 或． （）点、均为线段的“五美点”，且， ， ， 为线段的中点， ， ． 一、单选题 1．朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：这里把雨看成了线，这说明了点动成线． 2．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 3．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 二、填空题 4．如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别是和 2，则线段的中点表示的数是________． 【答案】/ 【分析】运用数轴上两点间的中点公式即可求出线段的中点． 【详解】解：由题意可得，数轴上A，B两点所表示的数分别是，2， ∴线段的中点． 5．如图，点在线段的延长线上，，，点是线段的中点，则线段的长为________． 【答案】 【详解】解：∵点在线段的延长线上，，， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． 6．下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 【答案】 / 【分析】利用数轴上的点表示数和线段中点的计算可得答案． 【详解】解：由图可知，点表示的数是，点表示的数为， ∵点在线段的中点， ∴点表示的数是． 三、解答题 7．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 8．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 9．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 1．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】观察表格数据，归纳出条直线两两相交最多有个交点，令交点数为建立方程求解即可． 【详解】解：设直线的数量是，由表格规律可知，条直线两两相交最多有个交点， 根据题意得， 整理得， ∵且为正整数， ∴． 即直线的数量是． 2．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 3．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 【答案】 34 【分析】根据题目定义，长度相等且方向相同的有向线段视为同一条，即统计网格中所有可能的不同有向线段的条数．分类讨论，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为 1， 分类讨论， ①横着算：从左往右长度为1的线段1条，从右往左长度为1的线段1条，共2条； 从左往右长度为2的线段1条，从右往左长度为2的线段1条，共2条； 从左往右长度为3的线段1条，从右往左长度为3的线段1条，共2条； ②竖着算：从上往下长度为1的线段1条，从下往上长度为1的线段1条，共2条； 从上往下长度为2的线段1条，从下往上长度为2的线段1条，共2条； ③斜着算： 的网格，正方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 综上所述，共条． 4．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在点左侧或点在点右侧，作出图形，数形结合，由相关线段的和差倍分关系求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： 当点在点左侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 综上所述，的长为或． 5．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 最基本的图形——点和线 教学目标 1.在生活情境中理解线段、射线、直线的概念，会用不同方法表示，知道它们的区别与联系。 2.掌握基本事实"两点确定一条直线""两点之间线段最短"，会用它们解释相关问题的几何原理。 3.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 4.了解尺规作图，能用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短。 5.理解线段中点的意义，能进行线段的和、差、倍、分运算。 教学重难点 1.重点 （1）线段、射线、直线的区别与联系 （2）"两点确定一条直线""两点之间线段最短" （3）线段中点及线段的和差倍分计算 2.难点 （1）区分线段、射线、直线的表示方法 （2）线段中点、n等分点相关的计算 （3）与线段有关的动点、探究问题 知识点01：点、线段、射线、直线的概念及表示 1.点：用点表示一个物体的位置，一个点一般用一个 表示；点是最基本的几何图形，只表示 而没有 。 2.线段、射线、直线： 项目 线段 射线 直线 形成 无数排成行的点的聚集 把线段向一端无限延伸 把线段向两端无限延伸 端点个数 延伸性 不能延伸 向一端无限延伸 向两端无限延伸 长度 有 ，能度量 无限长，不能度量 无限长，不能度量 3.表示方法： （1）线段：用两个大写字母（线段AB）或一个小写字母（线段a）表示； （2）射线：用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面（射线OA）； （3）直线：用两个大写字母（直线AB）或一个小写字母（直线l）表示。 4.注意：线段、射线、直线没有粗细之分；线段AB与线段BA是同一线段，直线AB与直线BA是同一直线；射线有方向，射线OA与射线AO表示不同射线。 【即学即练】 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 知识点02：线段、直线的相关基本事实 1.线段的基本事实：两点之间线段 。 2.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点 。 3.两点间的距离：连接两点的线段的 ，叫做这两点间的 。 4.注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身；经过一点的直线有无数条。 5.点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）或点在直线外（直线不经过点）。 【即学即练】 1．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 知识点03：线段的画法与长短的比较 1.尺规作图：利用没有刻度的直尺和圆规两种工具作几何图形的方法。 2.画一条线段等于已知线段： （1）度量法：先量出已知 ，再画 ； （2）尺规作图法：作射线AC，用圆规量取线段a，在射线AC上截取AB＝a。 3.比较两条线段长短的方法： （1）度量法（从"数"的角度）：用刻度尺分别测量长度进行比较； （2）叠合法（从"形"的角度）：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，比较另一端的位置。 【即学即练】 1．如图，已知四点，，，，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是___________． 知识点04：线段的中点 1.定义：把一条线段分成 的点，叫做这条线段的 。 2.性质：若点C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB，或AB＝2AC＝2BC。 3.判定：若点C在线段AB上，且AC＝BC，则点C是线段AB的中点。 4.注意：线段的中点一定在线段上，且只有一个。 【即学即练】 1．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 知识点05：线段的n等分点与线段的和差倍分计算 1.线段的n等分点：把一条线段分成 的点，叫做这条线段的n等分点。 2.三等分点：若M、N是线段AB的三等分点，则AM＝MN＝BN＝AB，或AB＝3AM＝3MN＝3BN。 3.四等分点：若M、N、P是线段AB的四等分点，则AM＝MN＝NP＝PB＝AB。 4.线段的计算：线段可以进行和、差、倍、分运算，即线段长度的计算。 5.线段的和：AC＝AB＋BC；线段的差：AD＝AB－BD。 【即学即练】 1．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 直线、射线、线段的概念辨析 抓住端点个数与延伸性区分线段（2端点不可延伸）、射线（1端点向一端延伸）、直线（无端点向两端延伸），注意直线、射线不能度量。 【典例1】. 下列说法正确的是（     ） A．射线与射线是同一条射线 B．直线可以向两端无限延长，所以能延长直线 C．两点之间，线段最短 D．线段与线段不是同一条线段 【变式1】. 如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【变式2】. 下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【变式3】. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 题型02 数线段、射线、直线的条数 按顺序计数避免遗漏；直线上有n个点时线段有条，射线有2n条。 【典例2】. 数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【变式1】. 如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【变式2】. 直线l上有一个点．在直线l上，以这个点为端点的不同射线共有多少条？ 【变式3】. 如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 题型03 两点确定一条直线 理解"过两点有且只有一条直线"，用于解释生活中的现象，或求过若干点能作直线的条数。 【典例3】. 2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【变式1】. 在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直D．拉绳插秧 【变式2】. 墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．请你解释其中的道理． 【变式3】. 要在墙上钉牢一根木条，至少要钉几颗钉子？为什么？ 题型04 两点之间线段最短 理解"两点之间线段最短"，用于解释最短路径问题，或结合实际情境选择最短路程。 【典例4】. 彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【变式1】. 如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 【变式2】. 如图，这是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为，但显示两地的直线距离却是．能解释这一现象最合理的数学知识是______． 【变式3】. 如图，已知点A，B，C，请按下列语句画出图形并完成解答． (1)作直线，射线，线段； (2)在射线上取一点D，使． (3)在（2）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 题型05 两点间的距离 两点间距离是连接两点的线段长度，是一个数值；注意与线段图形本身相区分。 【典例5】. 如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【变式1】. 关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（ ） A．连接两点的线段就是两点之间的距离 B．连接两点的线段的长度，是两点之间的距离 C．点到点的距离是指线段的长度 D．两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的 【变式2】. 如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【变式3】. ___________叫做两点间的距离． 题型06 比较线段的长短 用度量法或叠合法比较；叠合法使一端重合后比较另一端点位置即可判断大小。 【典例6】. 如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式1】. 请通过直接观察，分别比较下列三组图形中线段a、b的长短．再用刻度尺量一量，看看你的观察结果是否正确． (1) (2) (3) 【变式2】. 请测量并比较线段的长短： 如图，在梯形中，___________，___________，___________（填“”“”或“”）． 【变式3】. 小明为了比较两条线段AB与CD的长短，将点A与点C重合，并且使两条线段在一条直线上．如果点B在C，D两点之间，那么（   ） A． B． C． D．以上都不对 题型07尺规作线段 用直尺作射线，用圆规截取线段，按步骤作线段的和、差（顺次截取或在线段上截取）。 【典例7】. 如图，数轴上A、B、C三个点对应的数分别为，a，b． (1)判断：； (2)用圆规在数轴上作出原点O及表示数的点D．（写出必要的文字说明） 【变式1】. 作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段， 求作：线段，使． 【变式2】. 如图1，已知线段，O是中点． (1)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段上作； ②在图2中的直线上作． (2)若，，则 ①__________；（请把结果填在横线上） ②直接写出的长． 【变式3】. 如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连结、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 题型08 线段的和差倍分计算 根据图形中各线段的和、差关系列式，结合中点、等分点性质求线段长度。 【典例8】. 如图，点P是线段的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. 已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【变式2】. 如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【变式3】. 如图，线段，点C为线段的中点，点D在线段上，． (1)求的长． (2)若点E在线段上，使得，求的长． 题型09 线段中点的有关计算 利用中点性质AC＝BC＝AB建立等式，结合题目条件设参或直接求值。 【典例9】. 如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【变式2】. 如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【变式3】. 操作与计算 小明同学在做家庭作业时，其中一道题的图被调皮的弟弟涂花了，题目如下： 如图①，点，，是数轴上的三个点，点表示数，且线段的长为，为的中点，则点表示的数是多少？ (1)请你帮小明在图②中找出点的位置；（要求：尺规作图，不写作法）； (2)点表示的数是__________； (3)若点是数轴上的一个点，且，则__________． 题型10 线段的n等分点的有关计算 由n等分点性质（三等分、四等分等）表示各段长度，列式求解，注意多解情况。 【典例10】. 点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】. 如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【变式2】. 如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【变式3】. 已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 一、单选题 1．朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 2．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 3．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 4．如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别是和 2，则线段的中点表示的数是________． 5．如图，点在线段的延长线上，，，点是线段的中点，则线段的长为________． 6．下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 三、解答题 7．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 8．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 9．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 1．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 2．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 3．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 4．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 5．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $