专题03 立体图形的表面展开图重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题03 立体图形的表面展开图计算重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体展开图的认识 题型二 由展开图计算几何体的表面积 题型三 由展开图计算几何体的体积 题型四 正方体几种展开图的识别 题型五 正方体相对两面上的字 题型六 含图案的正方体的展开图 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 题型八 补一个面使图形围成正方体 知识点一：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【经典例题一 几何体展开图的认识】 【例1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了______条棱． (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． (3)小明说：已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【经典例题二 由展开图计算几何体的表面积】 【例2】（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 1．（2024七年级·全国·模拟预测）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    3．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)这个三棱柱有_____个面，有_____条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是多少？ 【经典例题三 由展开图计算几何体的体积】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 1．（23-24七年级·陕西榆林·阶段练习）下图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．56 B．40 C．28 D．20 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 （棱柱的体积＝底面积×高）．    3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示． (1)折叠后与长方体的顶点A重合的点是______； (2)如图：，，，求这个长方体包装盒的体积． 【经典例题四 正方体几种展开图的识别】 【例4】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，下列图形不属于正方体的表面展开图的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是正方体表面展开图的是__________（填写序号）； (2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出它的表面展开图． 【经典例题五 正方体相对两面上的字】 【例5】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 1．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，若相对两个面上的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【经典例题六 含图案的正方体的展开图】 【例6】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    3．（23-24七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【经典例题七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】（2024·山东·模拟预测）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 1．（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级上上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【经典例题八 补一个面使图形围成正方体】 【例8】（23-24七年级上·山东聊城·期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为_______． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ____； _______； _______ (2)求的值． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）立方体木块的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，如图，是从不同方向观察这个立方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是（   ）． A．6 B．8 C．7 D．5 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）如图是正方体的展开图，相对面的数字之和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   6．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 ． 7．（23-24七年级上·广东深圳·期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则可以剪去的小正方形的编号是 ．（只填一个编号即可） 8．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ．    9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      10．（23-24七年级上·福建三明·期末）在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列： ． 11．（23-24七年级上·全国·假期作业）将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）仔细观察下面几何体的展开图，然后解答下列问题． (1)请写出对应几何体的名称：图1_____，图2_____，图3____； (2)图1中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图1所对应几何体的体积．（π取3） 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 14．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 15．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体图形的表面展开图计算重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 几何体展开图的认识 题型二 由展开图计算几何体的表面积 题型三 由展开图计算几何体的体积 题型四 正方体几种展开图的识别 题型五 正方体相对两面上的字 题型六 含图案的正方体的展开图 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 题型八 补一个面使图形围成正方体 知识点一：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【经典例题一 几何体展开图的认识】 【例1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 1．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体等知识点，熟练掌握各种几何体的定义和特征是解题的关键． 根据几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体的方法逐项判断即可． 【详解】解：（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数），故原来的说法错误； （2）正方体有个面，条棱，要将其展开成一个平面图形，必须要有条棱连接，因此需要剪开条棱才能实现展开，故该说法正确； （3）圆锥的侧面展开图是一个扇形，故原来的说法错误； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，故该说法正确； 说法正确的有个， 故选：． 2．（2024·山东青岛·模拟预测）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了______条棱． (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． (3)小明说：已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的体积为立方厘米． 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （3）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：由图可得，小明共剪了8条棱， 故答案为：8； （2）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米． 【经典例题二 由展开图计算几何体的表面积】 【例2】（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【答案】C 【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键． 1．（2024七年级·全国·模拟预测）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)这个三棱柱有_____个面，有_____条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)； (2)作图见解析（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查认识立体图形， （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解题的关键． 【详解】（1）解：这个三棱柱有个面，共有棱：（条）， 故答案为：；； （2）解：如图所示（答案不唯一）， （3）解：， 答：这个三棱柱的侧面积． 【经典例题三 由展开图计算几何体的体积】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 1．（23-24七年级·陕西榆林·阶段练习）下图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．56 B．40 C．28 D．20 【答案】B 【分析】由图可知，设长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，由题意易求出的值，然后求体积即可． 【详解】．解：设长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 （棱柱的体积＝底面积×高）．    【答案】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，判断出被截取的几何体形状是解题的关键．根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱，确定出底面积和高求出体积，然后用正方体的体积减去三棱柱的体积即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱， 三棱柱的体积， 正方体的体积， 剩余部分的体积为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示． (1)折叠后与长方体的顶点A重合的点是______； (2)如图：，，，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)J (2) 【分析】本题主要考查长方体的展开图和体积计算， （1）根据长方体的展开和折叠图可知线段和线段重合，即可知重合点； （2）利用已知求得长方体对应的长、宽和高，结合体积公式即可求得体积． 【详解】（1）解：折叠后线段和线段重合，则点A和点J重合， 故答案为：J； （2）解：∵，， ∴， 由题意得，则， ∵， ∴， 则长方体包装盒的体积． 【经典例题四 正方体几种展开图的识别】 【例4】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，下列图形不属于正方体的表面展开图的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体展开图“一线不过四，田凹应弃之”（即不能出现同一行有多余4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）是解题的关键． 根据正方体的展开图的特点进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，从左到右，第1，2，5不属于正方体的表面展开图，第3，4，6属于正方体的表面展开图； 故选：C． 1．（2024·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，由此判定找出答案即可． 【详解】解：根据题意可得： 补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨， 共6个， 故选：D． 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”． 2．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识． 根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱．正确； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，是等边三角形，则．故③错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是正方体表面展开图的是__________（填写序号）； (2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出它的表面展开图． 【答案】(1)①②③ (2)见详解 【分析】考查了正方体展开图与拆剪，从实物出发，再从特殊的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形是解题关键． （1）根据特殊图形判断即可； （2）根据已知标记的线逐条剪开即可． 【详解】（1）解：图①②③符合正方体表面展开图的特点，图④中含有“田”，无法正方体表面展开， 故答案为：①②③； （2） 解： 【经典例题五 正方体相对两面上的字】 【例5】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 【答案】B 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“通”字一面相对的面上的字为“寨”， 故选B． 1．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，若相对两个面上的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，从不同方向看几何体、相反数的意义，根据题意可得标有“”的面与标有“”的面相对，则，标有“”的面与标有“”的面相对，标有“”的面与标有“”的面相对，据此推出，进而代值计算即可． 【详解】解：∵与标有“”相邻的面分别与标有“”的面，标有“”的面， 标有“”的面，标有“”的面，， ∴标有“”的面与标有“”的面相对， ∴， 同理可得标有“”的面与标有“”的面相对，标有“”的面与标有“”的面相对， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 所以，要添加的是“3”的相对面， ∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．如图所示： ∵正方体对面数字之和相等， ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3) (4)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： 若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3) 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． （1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”即可得出答案； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”即可得出答案； （3）先求出所折叠成长方体纸盒的底面是边长，再由体积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 【经典例题六 含图案的正方体的展开图】 【例6】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【详解】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 3．（23-24七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【答案】见解析 【分析】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解． 【详解】 解：截面的线在展开图中，如图 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 【经典例题七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例7】（2024·山东·模拟预测）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 1．（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 2．（23-24七年级上上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    【经典例题八 补一个面使图形围成正方体】 【例8】（23-24七年级上·山东聊城·期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的11种形式是解题的关键． 根据正方体六个面，展开图的11种形式，对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第一个图形：正方体是六面体，五个面不是正方体表面展开图； 第二个图形：田字格，五个面都不是正方体表面展开图； 第三个图形：田字格，不是正方体表面展开图； 第四个图形：七个面不是正方体表面展开图． 综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是4个． 故选：D． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ____； _______； _______ (2)求的值． 【答案】(1)，1， (2)． 【分析】本题考查正方体的展开图和相反数的定义，绝对值以及有理数的加减运算． （1）分别找出a，b，c相对面上的数，根据折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，列出等式求解，即可解题； （2）将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，，， 解得：，，， 故答案为：，1，； （2）解：将a，b，c的值代入中， 有． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）立方体木块的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，如图，是从不同方向观察这个立方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是（   ）． A．6 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的展开图，想想正方体展开图的形状； 根据题目中所给的三幅图，可推断出数字1与2、4、5、6相邻，从而可知与1相对的数字是3； 根据前两幅图，结合“1对面的数字是3”，可推出：2与1、3、4、5相邻，从而可知与2相对的数字是6；据此可知与5相对的数字是4，从而可求出1和5对面的数字之和． 【详解】解：∵第一幅图中数字1相邻的数是：2和5；第二幅图中数字1相邻的数是：2和4；第三幅号图中数字1相邻的数是：4和6， ∴正方体中与数字1相邻的数是：2、4、5、6， ∴数字1对面的数字是：3； ∵第一幅图中数字2相邻的数是：1和5；第二幅图中数字2相邻的数是：1和4；且数字2与数字1对面的数字也相邻即与数字3相邻， ∴正方体中与数字2相邻的数是：1、3、4、5， ∴数字2对面的数字是：6， ∴数字5对面的数字是：4， ∴数字1和5对面的数字和是： 故选：C． 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）如图是正方体的展开图，相对面的数字之和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面，根据相对的两个面的两个数字之和为求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，和相对，和相对， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱与正方体的表面积及体积计算公式，解题的关键是正确表示出长方体的长宽及高．设圆柱的底面半径是r，圆柱的高为h，根据拼成长方体的高等于圆柱的高是h，再根据长方体的表面积和体积公式与圆柱的表面积和体积公式列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，由此即可进行比较选择． 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h， 则长方体的高等于圆柱的高是h，长方体的长为，宽为r， 圆柱的表面积为：； 圆柱的体积为：； 长方体的表面积为：； 长方体的体积为：； 所以，这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变， 故答案为：D 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两直线，且有公共点， 故选：． 6．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的展开图形、有理数的混合运算的应用，先求出5号面的面积，由图可得3、6都是长方体，且面积相等，从而得出号面的面积，最后根据长方体体积公式计算即可得解． 【详解】解：∵5号面是一个边长3厘米的正方形， ∴5号面的面积为， 由图可得3、6都是长方体，且面积相等， ∵3、5、6三面面积之和是， ∴号面的面积为， ∴这个长方体的体积是， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·广东深圳·期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则可以剪去的小正方形的编号是 ．（只填一个编号即可） 【答案】6/7 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图， 因此减去编号为6或7的小正方形均可， 故答案为：6或7． 8．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ．    【答案】36 【分析】根据高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图求得围成不同于A的另一个圆柱B的底面周长是，高是，再根据圆柱的体积等于底面积×高进行计算． 【详解】解：根据题意，得到另一个圆柱B的底面周长是，高是， 则圆柱B的体积为． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了圆柱的侧面展开图和围成圆柱的各个量之间的对应关系，熟悉圆柱的体积公式是解答本题的关键． 9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      【答案】①②/②① 【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱． ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确． ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2， 是等边三角形，则．故（3）错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，最多是11，则．故（4）错误． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键． 10．（23-24七年级上·福建三明·期末）在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图1可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则甲所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图2可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则乙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图3可得：盒子底面的长方形的边长为（厘米），（厘米），高为（厘米），则丙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·全国·假期作业）将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 【答案】柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31 【分析】本题考查了立体图形，关键在于熟练掌握立体图形的特征．根据题意，与相邻的数字有：，，8，9，所以与11相对；与相邻的数字有，，8，11，所以与9相对，则与8相对；柱体A、B每个表面的数字可得，相加求和即可． 【详解】解：根据题意得，与11相对，与9相对，与8相对， 柱体A后面的3个数字分别是：11、11、；左面的3个数字分别是8、、； 柱体B后面的3个数字分别是：、、；左面的3个数字分别是、9、9； 因此，柱体A的表面（不含底面）点数之和为， 柱体B的表面（不含底面）点数之和为， 答：柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）仔细观察下面几何体的展开图，然后解答下列问题． (1)请写出对应几何体的名称：图1_____，图2_____，图3____； (2)图1中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图1所对应几何体的体积．（π取3） 【答案】(1)圆柱，圆锥，三棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，求圆柱的体积． （1）根据图形即可解答； （2）根据圆柱的体积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，图1为圆柱，图2为圆锥，图3为三棱柱， 故答案为：圆柱，圆锥，三棱柱； （2）解：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积．熟练掌握长方体的展开图，长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体的展开图判断作答即可； （2）根据长方体的表面积为展开图的6个面的面积的和求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，这个包装盒的几何体名称为长方体． （2）解：由图可知，这个包装盒底面的边长为， 高为， ∴这个包装盒的表面积为， ∴这个包装盒的表面积为． 14．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 【答案】(1)109 (2)按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 15．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$