专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 从不同方向看几何体 题型二 平行投影、中心投影、正投影 题型三 判断几何体的三视图 题型四 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型五 画几何体的三视图 题型六 由三视图还原几何体 题型七 已知三视图求侧面积或表面积 题型八 已知三视图求体积 题型九 已知三视图求最多或最少的小立方体的个数 题型十 平面图形形状的识别题型十一 用七巧板拼图形 知识点一：从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识点 02 平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 【经典例题一 从不同方向看几何体】 【例1】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是  ，从左面看到的形状是  ．搭这样的立体图形，最少需要（    ）个小立方体． A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）一个几何体的从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)试求出该几何体的表面积； (3)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正体． 【经典例题二 平行投影、中心投影、正投影】 【例2】（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影 C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影 1．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 2．（23-24七年级上·全国·课前预习）如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 通过观察、测量可知： （1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的 ； （2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的 ； （3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①②分别是两棵树及其影子的情形． (1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？ (2)你是用什么方法判断的？ (3)请分别画出图中表示小丽影子的线段． 【经典例题三 判断几何体的三视图】 【例3】（2024·天津河北·模拟预测）如图是一个由四个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南京·模拟预测）图中的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（    ） A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同 C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 2．（2024七年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为，则将正方形绕边所在的直线旋转一周，所得几何体的主视图、侧视图与俯视图的周长之和为 （结果保留）．    3．（23-24七年级上·全国·课后作业）分别画出图中两个几何体（其中第2个几何体是两个高不相等的圆锥组成的组合体）的三视图． 【经典例题四 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·课后作业）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    【经典例题五 画几何体的三视图】 【例5】（2024·山东菏泽·一模）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）作图题 (1)补全如图立体图形的三视图． (2)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． 请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段． 【经典例题六 由三视图还原几何体】 【例6】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，是某个几何体的三视图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 1．（2024·江苏镇江·二模）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种（三视图中没有空白部分）. 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）按照下面给出的两组视图：选取合适的材料制成相应的实物模型，写出制作流程． 【经典例题七 已知三视图求侧面积或表面积】 【例7】（2024·山东临沂·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·山东青岛·一模）如图是棱长为的正方体原材料，从中穿孔，制成三视图均为图2所示的模具，图2中正方形小孔的边长为，则该模具的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【经典例题八 已知三视图求体积】 【例8】（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图是一个圆锥的三视图，俯视图是直径为的圆，主视图和左视图都是底为，腰为的等腰三角形，这个圆锥的体积是=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 【经典例题九 已知三视图求最多或最少的小立方体的个数】 【例9】（23-24七年级上·四川成都·开学考试） （三视图）一个立体图形从正面看到的图形是，从左面看到的图形是搭一个这样的立体图形，最多需要（    ）个小正方体． A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024七年级上·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中 ， ． （2）这个几何体最少由 个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共 种情况． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（友情提示：用铅笔画图） (2)直接写出该几何体的表面积为___________； (3)如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 【经典例题十 平面图形形状的识别】 【例10】（23-24七年级·全国·假期作业）如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）．已知直径AC为4，直径BC为3，直径AB为5． （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明． 【经典例题十一 用七巧板拼图形】 【例11】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 1．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 1．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭这个几何体需用小正方体的个数最多和最少可能是（    ） A．6和5 B．8和6 C．8和5 D．7和6 2．（2024·山西太原·模拟预测）如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数至少是（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 3．（2024·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·吉林长春·三模）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）一些相同的小立方体堆在一起，从正面、上面、侧面观察的结果如图，摆成这样的立体图形至少需要 个这样的小立方体． 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 2 1 2 1 1 0 0 1 0 2 1 2 1 3 0 7．（2024七年级上·全国·专题练习）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块． 8．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为 ． 9．（23-24七年级上·广东深圳·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 12．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若从正面看的高为，从上面看到的圆的直径为，求这个几何体的表面积（结果保留）． 13．（23-24七年级上·北京·期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”： 请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．       四巧板 14．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹）    15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图是由若干个小正方体搭建而成的几何体，兴趣小组展开了下面的讨论 (1)甲同学认为：从正面和上面看到的图形形状相同； 乙同学认为：从正面和左面看到的图形形状相同； 丙同学认为：从正面、左面、上面看到的图形形状都相同； 三位同学的说法正确的是________同学． (2)丁同学提出了一个问题：假设每个小正方体的棱长为，计算该几何体的表面积（含底面积），请帮他解决． (3)某同学发现：给这个几何体再添加一个小正方体后并不影响它从正面、左面、上面看到的图形形状，你同意该同学的观点吗？若同意，请将这个小正方体补在相应位置处（涂黑），若不同意，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 从立体图形到平面图形重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 从不同方向看几何体 题型二 平行投影、中心投影、正投影 题型三 判断几何体的三视图 题型四 已知一种或两种视图，判断其他视图 题型五 画几何体的三视图 题型六 由三视图还原几何体 题型七 已知三视图求侧面积或表面积 题型八 已知三视图求体积 题型九 已知三视图求最多或最少的小立方体的个数 题型十 平面图形形状的识别 题型十一 用七巧板拼图形 知识点一：从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识点 02 平面图形的概念 1.平面图形:有些几何图形的各部分都在平面内,它们是平面图形,例如,点、线段、直线、三角形 长方形、圆等 2.立体图形与平面图形的区别与联系 区别:立体图形的各部分不都在同一平面内,平面图形的各部分都在同一平面内联系: ①立体图形的某些部分是平面图形: ②从不同的方向看立体图形,一般会得到不同形状的平面图形: ③有些立体图形是由一些平面图形围成的,将立体图形适当剪开,可以展开成平面图形 【经典例题一 从不同方向看几何体】 【例1】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是  ，从左面看到的形状是  ．搭这样的立体图形，最少需要（    ）个小立方体． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看几何体，在从上面看到的图形的相应位置标注所能摆放小正方体的个数的最小值即可． 【详解】 解：由于这个组合体从上面看到形状是  ，从左面看到的形状是  ， 在从上面看到的图形相应位置标注所摆放的小正方体的个数最少的情况为  或  或  ， 因此最少需要4个小正方体， 故选：A． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体.根据图形得到小立方体的个数，结合正面看即可得到答案. 【详解】解：由图形可得，从正面看这个几何体的形状图是：   ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）一个几何体的从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从三个方向看几何体，能够根据不同方向图形看出原几何体是解答本题的关键． 根据三个方向看出的形状图得出原几何体为圆柱，进而可求出这个几何体的体积． 【详解】解：由题意得原图形为圆柱，圆柱的高为，圆柱上下底面圆的直径是， 所以这个几何体的体积为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)试求出该几何体的表面积； (3)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正体． 【答案】(1)画图见解析 (2)104平方厘米 (3)2 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的画法和性质是正确解答的关键； （1）直接利用三视图的画法的出答案， （2）先算出一个小正方形的面积，然后计算出一共多少面数，然后即可得出答案； （3）利用左视图不变和俯视图不变，得出可以添加的位置， 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：小正方体的每个面的面积为（平方厘米）， 表面所含有的面数有：（个） 几何体表面积：（平方厘米）； （3）在俯视图上标注相应位置所能添加数量，如图所示： ∵保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变， ∴最多在左起第一列第二行第二层和中间一列的第二行第二层上各填一个， ∴最多可以再添加2个小正方体． 故答案为：2． 【经典例题二 平行投影、中心投影、正投影】 【例2】（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影 C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影 【答案】B 【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案． 【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意； B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意； C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意； D．正投影是平行投影，错误，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点． 1．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了投影的性质，熟练掌握相关概念与性质是解题关键． 由题意易得，某同学离光源是由近到远的过程，根据中心投影的特点，得到身影的变化特点即可解答． 【详解】解：某同学在路灯下由近及远向，离路灯越来越远，其影子应该逐渐变长． 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课前预习）如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 通过观察、测量可知： （1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的 ； （2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的 ； （3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为 ． 【答案】 形状、大小一样 形状、大小发生变化 一条线段 【解析】略 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①②分别是两棵树及其影子的情形． (1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？ (2)你是用什么方法判断的？ (3)请分别画出图中表示小丽影子的线段． 【答案】(1)图②反映了阳光下的情形，图①反映了路灯下的情形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）和（2）：物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影．然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断和说明； （3）图1先找到灯泡的位置再画小丽的影长，图2作平行线得到小丽的影长． 【详解】（1）解:题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形． （2）)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形． （3）路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为 ；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为 ． 【点睛】本题考查平行投影和中心投影的知识，解答关键是熟练掌握这两个基础概念． 【经典例题三 判断几何体的三视图】 【例3】（2024·天津河北·模拟预测）如图是一个由四个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道关于几何体三视图的题目，牢记相关的定义是解题的关键．立体图形的主视图是从前面向后面看到的视图，根据定义去判断即可得出正确答案． 【详解】 解：由题意可得：该图形的主视图为， 故选：C． 1．（2024·江苏南京·模拟预测）图中的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（    ） A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同 C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题的关键．根据题意判断出三视图即可得到答案． 【详解】解：第一个几何体三视图： 主视图，俯视图，左视图； 第二个几何体三视图： 主视图，俯视图，左视图； 故仅左视图不同， 故选C． 2．（2024七年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为，则将正方形绕边所在的直线旋转一周，所得几何体的主视图、侧视图与俯视图的周长之和为 （结果保留）．    【答案】/ 【分析】本题考查三视图，根据正方形绕边所在的直线旋转一周，得到旋转后的立体图形为圆柱，再分别得出圆柱的三视图，将三视图的各周长之和相加，即可解题． 【详解】解：根据正方形绕边所在的直线旋转一周，得到旋转后的立体图形为圆柱， 正方形的边长为， 其主视图为和侧视图为长宽的长方形， 主视图为和侧视图的周长为， 其俯视图为半径长的圆， 俯视图周长为， 主视图、侧视图与俯视图的周长之和为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）分别画出图中两个几何体（其中第2个几何体是两个高不相等的圆锥组成的组合体）的三视图． 【答案】见解析 【分析】（1）从正面看得到的图形是三角形，从左面看得到的图形是长方形，从上面看得到的图形是中间有竖线的长方形； （2）从正面和左面看是上下两个不同的等腰三角形；从上面看是一个带圆心的圆． 【详解】 解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【点睛】本题考查了作图-三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线． 【经典例题四 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·课后作业）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可． 【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示， 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意； B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意； A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    【答案】见解析 【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，4，2，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为4，2，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示：   ． 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 【经典例题五 画几何体的三视图】 【例5】（2024·山东菏泽·一模）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，把从左边看到的图形画出来是解题的关键． 从左边看该组合体，所得到的图形即为左视图． 【详解】观察该几何体可得三视图如下： 故选：A． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    【答案】详见解析 【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，    【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图.要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）作图题 (1)补全如图立体图形的三视图． (2)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． 请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图、中心投影等知识点，掌握三视图、中心投影的作图方法是解题的关键． （1）直接根据三视图的定义作图即可，注意能看到的用实线、看不到的用虚线； （2）连接，延长交于O，点为灯泡所在的位置；连接，延长交于H．线段为小亮在灯光下形成的影子． 【详解】（1）解：该立体图形的三视图补全如图： ． （2）解：如图，点为灯泡所在的位置；线段为小亮在灯光下形成的影子． ． 【经典例题六 由三视图还原几何体】 【例6】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，是某个几何体的三视图，则该几何体是（   ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱． 故选：C． 1．（2024·江苏镇江·二模）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数． 【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状， 左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是是4，右面是是3；上下两面就是2、5相对； 当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能； 故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3； 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种（三视图中没有空白部分）. 【答案】3 【分析】本题考查了三视图的应用，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】解：由俯视图得，最底层有9个小立方块， 还有个， 从主视图可知，此立方体共有3层，结合左视图可知第二层有3个小立方块， 第三层有1个小立方块，位置固定，搭法如下图： 结合图形可知共有3种搭法， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）按照下面给出的两组视图：选取合适的材料制成相应的实物模型，写出制作流程． 【答案】见解析 【详解】本题考查的是由三视图判断几何体，由三视图可得，第一个几何体是圆锥，第二个几何体是一个缺了一个角的正方体，然后利用实际物体制作解题即可． 解：（1）是圆锥，制作流程：①用刻度尺度量其底面圆的半径r，高h； ②用小刀把萝卜削成一个底面圆的半径为r，高为h的圆柱体； ③把圆柱体加工成如答图①所示的模型． （2）为正方体截去一个三棱柱，是五棱柱．制作流程： ①用刻度尺度量正方体的棱长a，被截去的三棱柱的底面为直角三角形，一条直角边长为b，另一条直角边长为c； ②用小刀将萝卜削成一个正方体，棱长为a； ③在以这个正方体为毛坯的基础上再加工，使其截去一个三棱柱，三棱柱底面上直角三角形的两直角边长分别为b和c，做成如答图②所示的模型． 【经典例题七 已知三视图求侧面积或表面积】 【例7】（2024·山东临沂·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是， ∴空心圆柱体的表面积为， 故选：． 1．（2024·山东青岛·一模）如图是棱长为的正方体原材料，从中穿孔，制成三视图均为图2所示的模具，图2中正方形小孔的边长为，则该模具的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求表面积，根据题意以及三视图可得该模具的表面积为正方体的面积减去6个面中小正方形的面积加上里面6个边长为的小正方体的4个面，即可求解． 【详解】解：该模具的表面积为 故选：C． 2．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴底面正三角形的边长为4， ∴底面正三角形面积为， ∵这个正三棱柱的表面积为， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示 （2）解：由图可知，该几何体的表面积． 【经典例题八 已知三视图求体积】 【例8】（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5， 故该几何体的体积为：， 故选：D． 1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图是一个圆锥的三视图，俯视图是直径为的圆，主视图和左视图都是底为，腰为的等腰三角形，这个圆锥的体积是=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的特点得知母线和底面直径，得出圆锥的高，代入体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图可知，圆锥的底面直径均为8cm，母线长为5cm， ∴圆锥的高=， ∴这个圆锥的体积=， 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的体积，本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三视图判断几何体，根据所给的三视图判断出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可，掌握主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽是解题的关键． 【详解】解：由主视图可知，长方体的长是，高是， 由俯视图可知，长方体的长是，宽是， ∴长方体的长、宽、高分别为：、、， ∴长方体的体积为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查了几何体的三视图、圆柱和长方体的表面积及体积，熟练掌握三视图的概念是解题关键．先根据三视图得出圆柱和长方体的数据，再根据这个组合几何体的表面积等于长方体的表面积与圆柱的侧面积之和、这个组合几何体的体积等于圆柱与长方体的体积之和计算即可得． 【详解】解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为、、，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，则圆柱的底面半径为， 所以这个组合几何体的表面积为 ， 这个组合几何体的体积为， 答：这个组合几何体的表面积为，体积为． 【经典例题九 已知三视图求最多或最少的小立方体的个数】 【例9】（23-24七年级上·四川成都·开学考试） （三视图）一个立体图形从正面看到的图形是，从左面看到的图形是搭一个这样的立体图形，最多需要（    ）个小正方体． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，根据题意得出该几何体一共分别为上下两层，下层最多有6个小正方体，上层只能有1个小正方体，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：该几何体一共分别为上下两层，下层最多有6个小正方体，上层只能有1个小正方体， ∴最多需要7个小正方体， 故选：D． 1．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是根据三视图还原堆砌图形，先从俯视图入手，结合主视图与左视图得到该堆砌图形需要的小正方体的最小数量与最多数量，从而可得答案． 【详解】解：如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最小为个， 如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最多为个， ∴C符合题意， 故选C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中 ， ． （2）这个几何体最少由 个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共 种情况． 【答案】 1 3 9 7 【分析】本题考查简单组合体的三视图 （1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值； （2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可； （3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，根据不同位置所摆放的数量不同得出答案． 【详解】解：（1）由主视图和俯视图可知，， 故答案为：1，3； （2）最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可， 因此，最少需要（个）， 故答案为：9； （3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，所有可能的情况如下： 所以能搭出满足条件的几何体共有7种，其中第7种是使用小正方体最多的，它的左视图如下： 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（友情提示：用铅笔画图） (2)直接写出该几何体的表面积为___________； (3)如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】此题考查了三视图的画法、求几何体的表面积等知识． （1）根据三视图的定义结合几何体画出即可； （2）求出几何体的表面积即可； （3）根据左视图和俯视图不变进行添加即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， （2）几何体的表面积：， 故答案为： （3）如图，最多可以再添加3个正方体， 【经典例题十 平面图形形状的识别】 【例10】（23-24七年级·全国·假期作业）如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【答案】C 【分析】分情况讨论分别去掉A、B、C三处的钉子时，组成长方形的长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：当去掉A处的钉子时：这时长方形的长为4，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉B处的钉子时：这时长方形的长为7，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉C处的钉子时：这时长方形的长为5，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面图形的认识与计算，利用分类讨论的思想是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 【答案】9 【分析】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解． 【详解】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有： ，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20， 那么满足条件的有：，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 故这样的5张长方形纸片共有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了认识平面图形，解题的关键是找到5张满足条件的纸片，其面积之和正好为20． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）．已知直径AC为4，直径BC为3，直径AB为5． （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明． 【答案】（1）π，2π，π；（2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积，理由见解析 【分析】（1）由圆的直径可得圆的半径，根据圆的面积公式求解即可； （2）可设四个月牙的面积依次为S1，S2，S3，S4，则半圆的面积可用月牙形的面积之和表示出来，由（1）又可得SAB为直径＝SAC为直径＋SBC为直径＝π，将半圆的面积代入整理可得结论； 【详解】解：（1）以AB为直径的半圆： SAB为直径＝π×（）2＝π， 以AC为直径的半圆： SAC为直径＝π×22＝2π， 以BC为直径的半圆： SBC为直径＝π×（）2＝π， （2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积． 设四个月牙的面积依次为S1，S2，S3，S4，如图， 于是，S1＋S2＝SBC为直径＝π，S3＋S4＝SBC为直径＝2π， ∴S1＋S2＋S3＋S4＝SBC为直径＋SBC为直径 SAB为直径＝S2＋S4＋S△ABC， 又由（1）可得：∴SAB为直径＝SAC为直径＋SBC为直径＝π， S1＋S2＋S3＋S4＝S2＋S4＋S△ABC ∴S1＋S3＝S△ABC， 即：两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积． 【点睛】本题主要考查圆的面积计算公式，熟练运用数形结合的思想进行图形面积之间的转化是解题的关键． 【经典例题十一 用七巧板拼图形】 【例11】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 1．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形    故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形．    1．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭这个几何体需用小正方体的个数最多和最少可能是（    ） A．6和5 B．8和6 C．8和5 D．7和6 【答案】D 【分析】本题考查了学生对不同方向看物体的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．从左面看可得：这个几何体共有2层，第一层有5个，第二层最少有1个，最多有2个，据此求解即可． 【详解】解：从左面看可得：这个几何体共有2层，第一层有5个，第二层最少有1个，最多有2个，则最多有（个），最少有（个）． 故选：D． 2．（2024·山西太原·模拟预测）如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数至少是（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个． 故选：B． 3．（2024·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可． 【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边， ∴， ∵5的边长等于2的直角边的一半， ∴，，A正确； ∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为 ∴3与4同底等高，， ∵4与6是两个全等的三角形，∴， ∴，B正确； ∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边， ∴，C错误； ∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边， ∴， ∵， ∴，D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块塑料板的形状与大小是解题的关键，另外本题渗透利用了七巧板的思想，熟练掌握七巧板也很关键． 4．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 5．（2024·吉林长春·三模）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案． 【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形， 从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，如图， 故选：D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）一些相同的小立方体堆在一起，从正面、上面、侧面观察的结果如图，摆成这样的立体图形至少需要 个这样的小立方体． 【答案】10 【分析】本题考查从不同方向看，抓住不同方向看到的特征是解题的关键． 从正面可以发现小立方体最高处为三层，最长处为三块小立方体；从左面可以发现小立方体最高处为三层，最宽处为三块小立方体；据此求解． 【详解】解：从上面可以发现如下图所示三个地方没有小立方体，用数字0表示，其余地方最少一个立方体； 0 1 0 1 1 1 1 1 0 从正面可以发现如下图所示，数字2竖向必须有两个立方体； 0 1 0 2 1 2 1 1 0 从左面可以发现如下图所示数字3处必须有三个立方体： 0 1 0 2 1 2 1 3 0 即可发现最少立方体数为块， 故答案为：10． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块． 【答案】 9 14 【分析】本题考查了几何体三视图，通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解． 【详解】解：由俯视图和左视图可得：最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块， 所以最少有个小立方块； 最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块， 所以最多有个小立方块． 故答案为：9；14． 8．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体和求几何体的侧面积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键． 由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体，再根据圆柱体侧面积的公式计算即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体， 所以该几何体的侧面积为． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·广东深圳·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可． 【详解】由图形可知：图1是由大正方形中，这七部分组成的，图2是由这六部分组成的， ∴图2的面积等于图1的面积减去正方形A的面积， ∵，小等腰直角三角板M的面积为， 即：图2的面积； 故答案为：7． 10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米． 则有， 解得 树高是（米． 故答案为米． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 【答案】见解析，＝ 【分析】本题考查三视图，根据三视图还原几何体为长方体中间扣掉半个圆柱体，补全左视图和俯视图，再利用长方体的体积减去半个圆柱体的体积，求出几何体的体积即可． 【详解】解：补全三视图如图： 由图可知： 12．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若从正面看的高为，从上面看到的圆的直径为，求这个几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，几何体的表面积问题． （1）根据该几何体的从正面看与从左面看是矩形， 从上面看是圆可以确定该几何体是圆柱； （2）根据告诉的几何体的尺寸该几何体的底面积和侧面积，再相加即可确定该几何体的表面积． 【详解】（1）解：根据几何体从三个方向看所得到的形状图可知，该几何体是圆柱； （2）解：从正面看的长为，从上面看的圆的直径为， 该圆柱的底面直径为，高为， 该几何体的底面积为， 该几何体的侧面积为， 该几何体的表面积为． 13．（23-24七年级上·北京·期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”： 请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．       四巧板 【答案】见解析 【分析】根据要求动手操作，画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： 【点睛】本题考查直角梯形，四巧板，图形的拼剪等知识，解题的关键是学会动手操作，培养动手能力． 14．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查画三视图和中心投影的特点与应用． （1）从正面看有三列，小立方块分别有，2，2，3个，从左面看有三列，小立方块分别有，1，3，2个，从而可得出主视图和左视图． （2）根据楼和旗杆的物高与影子得到光源所在；根据光源和树的物高得影子长． 【详解】解：（1）主视图和左视图如下图所示：    （2）点P为灯泡的位置，树底到点B即为物高得影子长．    15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图是由若干个小正方体搭建而成的几何体，兴趣小组展开了下面的讨论 (1)甲同学认为：从正面和上面看到的图形形状相同； 乙同学认为：从正面和左面看到的图形形状相同； 丙同学认为：从正面、左面、上面看到的图形形状都相同； 三位同学的说法正确的是________同学． (2)丁同学提出了一个问题：假设每个小正方体的棱长为，计算该几何体的表面积（含底面积），请帮他解决． (3)某同学发现：给这个几何体再添加一个小正方体后并不影响它从正面、左面、上面看到的图形形状，你同意该同学的观点吗？若同意，请将这个小正方体补在相应位置处（涂黑），若不同意，请说明理由． 【答案】(1)乙 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的形状图、几何体的表面积等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）分别画出几何体从不同方向看到的形状图即可求解； （2）根据题意数出几何体露在外面的小正方形的个数即可求解； （3）根据题意补出正方体所在位置即可． 【详解】（1）解：几何体从不同方向看到的形状图如下图所示： 所以从正面和左面看到的图形形状相同， 所以三位同学的说法正确的是乙同学， 故答案为：乙； （2）解：根据题意得：上下底面一共露出来个小正方形，前后两个面一共露出来个小正方形，左右两个面一共露出来个小正方形， 所以几何体的表面积为：（）； （3）解：如图所示：    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$