专题10 勾股定理与动点问题-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

图方法总结运用勾殿定理求线段长的时候，常常考虑在一个直 ADL BC..∴.BD=CD=号C=号×12=6(em.在 角三角形中，利用勾胶定理列方程求出线段的长，这就是方程 思想 R△ABD中，由勾股定理得AD=AB一BD=/IO一 8.5十√17解析：如图，作点A关于y轴的对称点A',连接 8(cm;'CE⊥AB.∴5r=号AB·CE=号BC·AD, A'B,交y轴于点P,连接AP,此时△ABP的周长最小. A(1,1),∴.A'(-1,1),又B(3,2),.AB=/+2= CE-BC:AD_12X8=超(m.(2)解：当CP⊥AB时， AB 10 5 5,A'B=/十平=17，，△ABP周长的最小值为 如图2，则∠BPC=90.由(I)得CP=8em,∴BP 5+、17. /CPE-12:-()(cm).C+Bp 12+9-9(m4=曾÷2=(s.即当CPLAB时。 1的值为.(3)解：分情况讨论.①当PA=PC时，如图3。 -5-4-3-2-10 过点A作AD.LBC于点D:AB=AC.BD=CD-号BC 2 3 之×12=6(cm.由1，得AD=8am设PA=PC=rcm 则PD=(x一6)cm.在R△APD中，由勾股定理得AP 酮方法总结求平而直角坐标系中一条线段的长，可分别过线段 AD+DP,即F=8+(-6,解得x=罗，PC= 两端点作坐标轴的平行线，构造一个直角三角形，利用勾股定 理来求 m-答÷2=爱e:@当cP-CA=10cm,且点P 25 9.解：(1)AC+CE=AB+BC+√CD+DE= 在BC上时，1=10÷2=5(s):③当AP=AC时，点P与点B 重合，PC=BC=12cm,∴.1=12÷2=6(s):④当CP=CA= 5+(8-x)尸+v+x.(2)存在.如图1，当A,C,E 10cm,且点P在AB上时，如图4，过点C作CG⊥AB于 三点共线时，AC十CE的值最小，过点A作AF∥BD交ED 的延长线于点F,连接AE,则四边形ABDF是长方形， 点G,则∠GA=90.AG=PG.由1)得CG=8。 5m,∴AG ∴.∠F=90°，DF=AB=5,AF=BD=8,∴.EF=ED+DF 1十5=6.在R1△AFE中，由勾股定理得AE=vAF+EF /A10-()(cm).:.PA-2AG- √⑧+6=10，.AC+CE的最小值为10.(3)13解析： m,∴Bp=AB-PA=10-S=号(am.BC+BP= 28 5 ,√F-6r+73十Vx-16.x+80=√(x-3)+8+ √/(x-8)+4,∴.求/-6x+73+√-16.x+80的最 12+号-号(am,∴=号÷2-号(s.综上所述1的值为 5 5 小值，可以转化为在x轴上找一点P(x,0),到A(3,8),B(8, 4)的距离之和最小（如图2），作点A关于x轴的对称点 曾或5或6或号 A'(3,一8)，连接A'B交x轴于点P,连接AP,此时PA+ PB的值最小，最小值为/5+12=13，∴.√x一6x+73+ √一16r+80的最小值为13. 图2 图3 图4 易错警示根据△ACP是等腰三角形分情况讨论：(1)PA 图1 图2 PC:(2)AP=AC:(3)CP=CA.通过作垂线构造直角三角形来 图方法总结利用勾股定理求线段长的时候，可以以这条线段为求解， 斜边，构造出一个两直角边已知的直角三角形，再借助勾股定2.解：(1)”∠ACB=90°，AB=5cm,AC=4cm,∴.BC= 理解决问題 /AB-AC区=/5-F=3(cm).(2)由题意，得BP= 专题十勾股定理与动点问题 31cm.①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC= 1L()8cm智cm解析：如图1，过点A作AD1BC于点D, 3cm,即1=1：②当∠BAP为直角时，如图1，BP=31cm, CP=(31-3)cm,AC=4m.在Rt△ACP中，AP=4+ 过点C作CE⊥AB于点E.,AB=AC=10cm,BC=12cm, (3-3)3.在Rt△BAP中，AB十AP=BP,即5十4+ 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D32· (31-3)2=(3),解得1=5.综上所述，当△ABP为直角三 角形时，1的值为1或 ,(3)①当BA=BP时，如图2.则 31=5,1=号：②当AB=AP时，如图3.BP=2BC=6cm 则3t=6,.1=2:③当BP=AP时.如图4，AP=BP 31m,CP=(31一3)m,AC=4cm.在Rt△ACP中，由勾服 图3 图4 定理，得AP=AC+CP,∴(3)=4+(31-3)，解得1=圜思路分析(3)中动点P始终在BO上，动，点F是直线BC上 综上所述，当△4BP为等履三角形时1的值为号或2 一点，要分点F在线段BC上与点F在线段BC的延长线上讨 论，都有结论△AOP≌△PCQ(SAS),由全等三角形的对应边相 或 等即可求出（的值. 4.(1)证明：△ABC是等边三角形，.∠ABQ=∠CAP=60, AB=CA.:点P,Q同时出发且速度相同，AP=BQ.在 AB-CA. △ABQ和△CAP中，∠ABQ=∠CAP,.△ABQ≌△CAP BQ-AP. (SAS).(2)解：∠CMQ的大小不发生变化.理由如下： ,'△ABQ≌△CAP,,.∠BAQ=∠ACP,,.∠CMQ= ∠QAC+∠ACP=∠Q4C+∠BAQ=∠BAC=0,(3)解：设 点P,Q运动xs时，△PBQ是直角三角形.由题意，得AP= BQ-xm,则PB=(4-x)m.当∠PQB=90时，，'∠B 图3 图4 国方法总结动点问题中的分类讨论，抓住运动中的关键点，动 60.∠BPQ-30.∴BP=2BQ.即4-x=2x,解得x=专 中求静，即把动态中的问题转化为静态问题来求解. 当∠BPQ=90°时，：∠B=60,∴.∠BQP=30°，∴.BQ= 3.解：(1)，在△ABC中，AD为高，∠ODB=90°.，△BDO≌ △ADC..∠OBD=∠CAD.:∠BD=∠AOE.∴.∠AEO= 2BP,即x=24-),解得x=号.综上所述，当点P,Q运动 ∠ODB=90°，.∠BEC=180°-∠AO=90°.(2)存在1的 音或号s时，△PBQ是直角三角形，(4)解：△ABC 4 值，使得△BOQ的面积为24.理由如下：，'△BDO≌△ADC, 是等边三角形，∴.AB=BC=CA,∠ABC=∠ACB=60°， ∴B0=AC=12.CE=号AE,AE=8,CE=4由(I)可 .∠PBC=∠QCA=120.·点P,Q的速度相同，.AP= 知，∠BEC=90°，.BE⊥AC.分两种情况：①当0<t<1时， BQ.∴.AP-AB=BQ-BC,即BP=CQ.在△BCP和△CAQ (BP=CQ. 点Q在线段AE上，如图1,5m四=2B0·QE=7×12× 中.∠PBC=∠QCA,∴.△CP≌△CAQ(SAS),∴∠BPC BC=CA. (8-8)=24,解得1=号：②当>1时，点Q在射线BC上， ∠CQA.:∠MCQ=∠BCP..∠CMQ=∠PBC=120°. Sn0=号0·QE-号×12×(8-8)=24，解得1=号，此 圈思路分析(2)由于点P,Q的运动，题中的图形在变化，但不 管怎么变，∠CMQ给终等于60：(3)讨论△PBQ是直角三角 时点Q与点C重合，如图2.综上所述，存在1的值，使得形，可设法用含x的代敏式表示出△PBQ的边BP和BQ,分两 △B0Q的面积为21,1的值为号或号.(3)：△BD02 种情况讨论哪条边是斜边，根据30°角所对的直角边等于边 的一半，列出方程求解即可。 △ADC,.∴∠BOD=∠ACD.①当点F在线段BC的延长线 第4章实数 上时，如图3.：∠BOD=∠ACD,∴∠AOP=∠QCF.:'AO CF,.当OP=CQ时.△AOP≌△FCQ(SAS).此时，2t= 小练1平方根 12-8,解得=号，②当点F在线段5C上时，如图么1.A解析：一号没有平方根，故A选项符合题意：（一是）广 :∠BOD=∠ACD,∴.∠AOP=∠FCQ.:AO=CF,.当 9 ·有平方根，故B选项不符合题意：一2=2，有平方根故 OP=CQ时，△AOP≌△FCQ(SAS),此时，21=8t一12，解得 C选项不符合题意：0的平方根是0，故D选项不符合题意 =2.综上所述，当△AOP与△FCQ全等时.1的值为号 2.D解析：一3=一9，负数没有平方根，故A选项错误：0的 或2. 平方根是0，只有一个，故B选项错误：9的平方根是士3，故 C选项错误：一1是1的平方根，故D选项正确： 园日积明累正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根 3.B解析：a2=4,=9,.a=士2，b=士3.义ab<0, .a=2,b=-3或a=-2,b=3,则a-b的值为2-(-3)= ( 5或-2-3=-5. 图思路分析由已知得a=士2，b=士3，由ab<0,再分类讨论求 图 图2 a一b的值即可. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D33·小练大卷得高分 数学八年级上册 专题 勾股定理与动点问题 24分钟 建议用时 D32 类型 单动点问题 2.(较难)如图,在Rt/ABC中 1. (中等)如图,在△ABC中,AB=AC= ACB=90{*,AB-5 cm,AC 10cm,BC=12cm,动点P从点C出发,按C→ 4cm,动点P从点B出发沿射线 B→A→C的路径运动,且速度为2cm/s.设出 BC以3cm/s的速度运动,设运 发时间为(s. 动的时间为ts. ;边AB上的高为 (1)边BC上的高为 (1)求边BC的长 (2)当八ABP为直角三角形时,求的值 (2)当CP|AB时,求的值 (3)当△ABP为等腰三角形时,请直接写出所 (3)若△ACP是等腰三角形,求出所有满足条 有满足条件的的值 件的的值 66 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略 第3章 勾股定理 类型2 双动点问题 4.(难)如图1,已知等边三角形 3.(2023秋·湖南邵阳期末,较 ABC的边长为4cm,P,Q分别是 难)如图,在△ABC中,AD为高 边AB,BC上的动点,点P,Q分 AC=12.E为AC上的一点 别从点A,B同时出发,且它们的 速度都为1cm/s.连接AQ.CP交于点M (1)求证:△ABQ△CAP O.若△BDO△ADC (2)在整个运动过程中,CMQ的大小会发生 (1)求 BEC的度数 变化吗?若变化,请说明理由;若不变,请求 (2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以8个 出它的度数 单位长度/s的速度运动,设点Q的运动时 (3)连接PQ,当点P,Q运动多长时间时; 间为ts,是否存在t,使得八BOQ的面积为 △PBQ是直角三角形? 24?若存在,请求出?的值;若不存在,请说 (4)如图2,若点P,Q在运动到终点后继续在射 明理由. 线AB,BC上运动,直线AQ.CP交于点M. (3)在(2)的条件下,动点P从点0出发沿线段 求CMQ的度数 OB以2个单位长度s的速度向终点B运 动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B 时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为 Is.F是直线BC上一点,且CF=AO.当 △AOP与△FCQ全等时,求:的值 图1 图2 粗心与计算 错题记录 概念与分析 方法与策略