专题3.3 勾股定理（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题3.3 勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，图甲是第七届国际数学教育大会（简称～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中有多少条线段的长度为正整数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）在直角坐标系中，点A、B坐标分别为和，点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当的周长最小时，点C坐标可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 8．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（22-23八年级下·重庆涪陵·开学考试）如图，在中，，，点是边上一点，以为直角边作等腰直角，，交于点，连接，过点作交于点，交于点．则以下结论正确的有（    ）个 ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）在直角三角形中有一个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．”如图，在中，，，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正三角形、、，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，求 ． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有 次成为直角三角形． 15．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24八年级上·上海·阶段练习）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 17．（6分）（22-23八年级下·重庆巴南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 18．（6分）（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 19．（6分）（2022·广东佛山·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． （1）若，，求的长； （2）求证：； （3）求证： ． 20．（6分）（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接． （1）求的面积和线段的长； （2）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离． 21．（8分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当为几秒时，平分； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 22．（8分）（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．    （1）如图1，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，过点作延长线于点，若，，求证：； （3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，，当最小时，求的面积． 23．（9分）（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）当点Q落在边上时， ； （2）当直线经过点D时，求的长； （3）如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等量代换即可解答． 【解题过程】 解：如图：连接，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解题过程】 解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【解题过程】 解：连接AC 在中，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B 4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，图甲是第七届国际数学教育大会（简称～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中有多少条线段的长度为正整数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 本题考查了勾股定理的灵活运用，找到的规律是解题的关键． 根据题意可求得到的值分别为，，，…，，从而可计算到中长度为正整数的个数． 【解题过程】 解：∵， ， ， ， ……， ∴，， ∴到的值分别为，，，…，， 其中正整数为，，，，， ∴，，…，这些线段中有5条线段的长度为正整数． 故选：C 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【解题过程】 解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 6．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）在直角坐标系中，点A、B坐标分别为和，点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当的周长最小时，点C坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，，过点作轴于点，从而可得的周长为，根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【解题过程】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，，过点作轴于点，    则， ， ，， 的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即当的周长最小时，点坐标是， 故选：D． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【思路点拨】 本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，    点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 8．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用．①在直角三角形中，利用可以证明；②根据，可以得到对应边相等，然后证明；③在直角三角形中，利用勾股定理，推导出；④利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系；⑤在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出． 【解题过程】 解：①平分，，， ， 在和中， ， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， ，故结论①符合题意； ②， ， ，， ，故结论②符合题意； ③垂直平分， ，， 又，， ，故结论③符合题意； ④， ， ， ，故结论④不符合题意； ⑤， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ，故结论⑤符合题意． 故选：D． 9．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可判断①；证明是等腰直角三角形，得到，，可知，再结合角平分线的定义可知，然后利用三角形外角的定义，即可证明，则，可判断②；作于点，则，所以，由勾股定理可得，根据角平分线的性质可得，则，可判断③；证明，由全等三角形的性质可得，可判断④；连接，易知垂直平分，则，再证明，由勾股定理可得，则，可判断⑤． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵是边的中点， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； 作于点，如下图，则，    ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； 连接，如图， ∵是等腰直角三角形，是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误． 综上所述，说法正确的个数有3个． 故选：B． 10．（22-23八年级下·重庆涪陵·开学考试）如图，在中，，，点是边上一点，以为直角边作等腰直角，，交于点，连接，过点作交于点，交于点．则以下结论正确的有（    ）个 ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 ①证明，即可得证；②根据，，进行判断即可；③连接，根据，易得为直角三角形，得到，证明，得到，进而得到；④则： ，勾股定理求出，进而求出，过点作，求出，分别求出，进行判定即可；⑤过点作，交于点，，分别求出的长，进行判断即可． 【解题过程】 解：①∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ②∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∵不一定等于， ∴不一定等于；故②错误； ③∵，， ∴， 由①知， ∴，，， ∴， 由②知，， ∴， 即：， 连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴；故③正确． ④设 ∵，， ∴ ， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④错误； ⑤过点作，交于点， 设，则 ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴ 故⑤正确； 综上，正确的是①③⑤，共3个； 故选：B． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）在直角三角形中有一个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．”如图，在中，，，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．过点作，且使，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由勾股定理可求出，即可解决问题． 【解题过程】 解：过点作，且使，连接，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：66． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键． 作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G, ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 故答案为． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正三角形、、，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，求 ． 【思路点拨】 本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求，，，从而可得出，然后结合图形把转化为即可求解． 【解题过程】 解：如图，过点E作于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 由图可知： ． 故答案为：6． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有 次成为直角三角形． 【思路点拨】 根据点的移动规规律、勾股定理及其逆定理即可得到答案，此题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理内容是解题的关键． 【解题过程】 解：共有六次情况成为直角三角形，如图1到图6， 如图1，∵， ∴， ∴是直角三角形， 同理可证其它5个三角形都是直角三角形，即共有6次成为直角三角形， 故答案为：6 15．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知，选择适当的方法，逐一计算判断即可． 【解题过程】 解：①在中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故结论①正确； ②设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③不妨假设是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据已知条件，无法判定是等边三角形， ∴假设是错误的． 故结论③不正确． ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24八年级上·上海·阶段练习）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 【思路点拨】 方法一：用4个全等的拼成如图所示的“弦图”，由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，根据大正方形的面积建立等式即可得到答案； 方法二：用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形，由全等三角形的性质可得，，，，，用两种方法表示出梯形的面积，建立等式即可得出答案． 【解题过程】 证明：方法一：如图，用4个全等的拼成如图所示的“弦图”， ， 由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ， ； 方法二：如图，用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形， ， ， ，，，，， ， ， ， ，， ， ． 17．（6分）（22-23八年级下·重庆巴南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【思路点拨】 （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【解题过程】 （1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到14次信号． 18．（6分）（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：    ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 19．（6分）（2022·广东佛山·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． （1）若，，求的长； （2）求证：； （3）求证： ． 【思路点拨】 （1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出 ． 【解题过程】 （1）在中，，，， 由勾股定理得： ， ，， ， 即 ， 解得： ； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（6分）（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接． （1）求的面积和线段的长； （2）如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，面积计算，熟练掌握折叠，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，得到，结合判定是直角三角形，过点A作于点M，计算即可． （2）过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M，设，则，利用勾股定理，三角形面积公式计算即可． 【解题过程】 （1）∵，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴； 过点A作于点M， 则， ∴， ∴， ∴． （2）根据题意，得，，， 设，则， ∴， 解得， 故， 过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故点到的距离为． 21．（8分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当为几秒时，平分； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【思路点拨】 （1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：如图所示，过点作于点， ，，， 平分，， ． 在与中， ， ， ． 设，则 在中，， 即，解得：， 当秒时，平分； （2）如图，在边上时，， ∴此时用的时间为，为等腰三角形； 当在边上时，有三种情况： ①当，此时，运动的路程为， ∴用的时间为，故时为等腰三角形； ②当，过作斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动的路程为， 的时间为，为等腰三角形； ③当时，则， ，， ， ， ， 的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． 或或或时，为等腰三角形 （3）如图，相遇前当点在上，在上， ∴，， ∴， ； 如图，相遇后当点在上，在上， ∴，， ∴， ， 或时，直线把的周长分成相等的两部分． 22．（8分）（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．    （1）如图1，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，过点作延长线于点，若，，求证：； （3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，，当最小时，求的面积． 【思路点拨】 （1）证明，得到，求得，即可求得； （2）延长至点，使得，连接，，，证明，可得，，再证明，然后用勾股定理可求得； （3）取中点，可证，所以为定角，所以点的轨迹为一条直线，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，求得三角形的高、，利用即可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， 在中，， 又， ， ； （2）证明：延长至点，使得，连接，，，如图2，    在和中， ， ， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：取中点，连接，如图3，    ，，， ， ， 点的轨迹为直线，交于点，连接，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，则，此时，如图4所示：    过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交于点，此时最小，如图5所示：    ，，， ，， ∴， 由勾股定理得， ， ， ， ，， ，， ∴，，， 又， ， ， 过点作交于点，如图6，    同理， ． 23．（9分）（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）当点Q落在边上时， ； （2）当直线经过点D时，求的长； （3）如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$