专题13 解题技巧专题：解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题13 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 目录 【考点一 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1 【考点二 利用等积法求三角形某一边上的高】 6 【考点三 利用割补法求某一图形的面积】 11 【考点四 利用方程思想解决折叠问题】 17 【考点五 利用方程思想解决实际问题】 26 【典型例题】 【考点一 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意可得，结合,，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是直角三角形，， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，4，则最大的正方形E的面积是 ． 【答案】54 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理；分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为：． 【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： ， ， ， 即最大正方形E的面积为：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式得出是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：24． 4．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ． 故答案为：12 5．（22-23八年级下·河南漯河·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【答案】(1)①；② (2)还成立，理由见解析 (3)8 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、等边三角形的性质 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：，，， 、、之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ，，，， ； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ，，，， ； ； （3）解：图中阴影部分的面积，， ． 故答案为：8． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 【考点二 利用等积法求三角形某一边上的高】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为，再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ∴，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，中，，是高，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，由题意可得，由勾股定理得出，同理得出，最后再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）中，，上的高为12，则的长为 【答案】或11 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键．由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段上、点D在线段的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可． 【详解】解：设边上的高为， 当点D在线段上时， 如图1所示： 在中，，， 根据勾股定理：； 在中，，， 根据勾股定理：； ∴； 当D在线段的延长线上时， 如图2所示： 同理可知：，， ∴； 综上所述：或11， 故答案为：或11． 3．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ． 【答案】8或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 根据题意分两种情况，画出相应的图形，从而可以解答本题． 【详解】解：∵等腰三角形为钝角三角形， ①当为腰上的高时，如图所示， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 在中，， 根据勾股定理得：； ②当为底边上的高时，如图所示， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 综上，等腰三角形的底边长为或8． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图，在中，，是边上的高，，，则______． 【方法探究】 （2）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块三角形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图3是其缩略示意图，是的中点，沿建一条步行通道，步行通道把三角形分成了两部分，其中内种植油葵，内种植豌豆．已知，，，请求出步行通道的长． 【答案】（）；（）；（）出步行通道的长为． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】（）根据勾股定理和等面积法即可求解； （）根据勾股定理即可求解； （）过作于点，再根据勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； （）解：过作于点， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 在中，， 答：出步行通道的长为米． 【考点三 利用割补法求某一图形的面积】 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高　　． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 (3)2 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ，，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）某学校将如图所示的四边形闲置地改造成综合实践种植区．已知，，，，，求该综合实践种植区的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，连接，，由的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；可以得到四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：连接， AI ，，， ． ∵， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块草地的面积为． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵正方形边长为13， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴阴影部分的面积． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 4．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1），， 故答案为： （2）的面积 故答案为：5 （3）∵ ∴是直角三角形． 5．（24-25七年级上·全国·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 (3)480 【知识点】两个有理数的乘法运算、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案； （3）利用有理数乘法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米； （3）解：∵种植草皮费用为5元/平米， ∴种植此块草皮的费用为：（元）， 故答案为：． 【考点四 利用方程思想解决折叠问题】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，．设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形，，， ． （2）解：是直角三角形，，， ． （3）解：由折叠，得． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 由折叠，得， ∴在中，． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或或． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【考点五 利用方程思想解决实际问题】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为． (1)请你帮他计算出旗杆的高度． (2)如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）． 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)见解析 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键． （1）根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度； （2）根据题意求解即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则， 在中，由勾股定理可得： ∴， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米； （2）解：建议：测量的时候每个数据多测量几遍，求其平均数．（答案不唯一）． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路； （2）设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 目录 【考点一 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1 【考点二 利用等积法求三角形某一边上的高】 3 【考点三 利用割补法求某一图形的面积】 4 【考点四 利用方程思想解决折叠问题】 5 【考点五 利用方程思想解决实际问题】 7 【典型例题】 【考点一 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，4，则最大的正方形E的面积是 ． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 4．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 5．（22-23八年级下·河南漯河·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【考点二 利用等积法求三角形某一边上的高】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，中，，是高，，，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）中，，上的高为12，则的长为 3．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图，在中，，是边上的高，，，则______． 【方法探究】 （2）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块三角形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图3是其缩略示意图，是的中点，沿建一条步行通道，步行通道把三角形分成了两部分，其中内种植油葵，内种植豌豆．已知，，，请求出步行通道的长． 【考点三 利用割补法求某一图形的面积】 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高　　． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）某学校将如图所示的四边形闲置地改造成综合实践种植区．已知，，，，，求该综合实践种植区的面积． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 4．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 5．（24-25七年级上·全国·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． 【考点四 利用方程思想解决折叠问题】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【考点五 利用方程思想解决实际问题】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    【变式训练】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为． (1)请你帮他计算出旗杆的高度． (2)如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$