专题9 勾股定理与数学思想-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题九 勾股定理与数学思想 定议用时25分钟答案D30 类型①分类思想 5.(中等)如图，在△ABC中，BC=4,AC=13. 1.(中等)已知一个三角形相邻两边的长分别 AB=15,求S△AC 为13cm和15cm,第三边上的高为12cm,则 这个三角形的面积为 cm2. 2.(2022春·北京海淀区期中， 较难)在Rt△ABC中，∠BAC 90°，AB=AC=4.以AC为一边， 在△ABC外部作等腰直角三角 形ACD,则线段BD的长为 3.(较难)有一块直角三角形的 绿地，量得两直角边长分别为 20m,15m,现要将绿地扩充成等 腰三角形，且扩充部分是以20m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形 绿地的周长 6.(较难)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, BD=2,AD=8,求CD的长 类型2方程思想 4.(中等)如图，在△ABC中，BC=14,AC= 13,AB=15,求S△C 64 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 0。年60 第3章勾股定理 7.(2022秋·苏州相城区月考。 9.(较难)如图，C为线段BD上 难)11世纪的一位阿拉伯数学家 一动点，分别过点B,D作AB⊥ 曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小 BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已 溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸 知AB=5,DE=1,BD=8,设 相望，一棵棕榈树CD高是6m,另外一棵AB CD=. 高是4m,AB与CD树干间的距离是10m.每 (1)用含x的代数式表示AC+CE的长. 棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时 (2)请问AC+CE的值是否存在最小值？若存 看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻 在，请求出这个最小值：若不存在，请说明 以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E 理由. (1)这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树 (3)根据(2)中的规律和结论，代数式 根C有多远？ √x2一6x+73+√x2-16x+80的最小值为 (2)√16+x2+36+(10一x)产的最小值为 类型3数形结合思想 8.(较难)已知点A(1,1)和点B (3,2),P是y轴上的一个动点， 那么△ABP周长的最小值是 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 65m+1.AC·BC=m+1..AC·BC=2(m+1)=2m+ 30*$BE1CD.又·△ABD是等边三角形...ABD=60{ ' FBE= ABD+ DBE=60{+30{$}=90{$'$△FBE是$ 2.在Rt△ABC中,AB=m,由勾股定理,得AC+BC= 直角三角形.(2)解:由题意得CD一BC-BD一AB-2. AB=m.(AC+BC)-2AC·BC=n.'(AC+BC) CE-CD=1.在Rt△CEB中,由勾股定理得BE*}=BC*- n+2×(2n+2)=n+4m+4-(m+2),AC+BC= m+2..AD=BD...△BCD的周长为BD+CD+BC CE*-2-1-3.由翻折的性质,得AF=EF.设BF-x,则$ AD+CD+BC-AC+BC=n+2. FF-AF-2-x.在Rt△EBF中,由勾股定理得EF*-BF$+ 关键点拨解决折叠问题,抓住两个合适:一是选择一个合适 BE$,即(2-){-*+3.解得r-,即BF的长为. 的线段设为工,二是找出一个合适的直角三角形,应用勾股定理 列出方程. 关键点拨本题第(1)题已经提示△BEF是直角三角形,因此 2. 解:(1)△ACF是直角三角形.理由如下:.折叠一张三角形 第(2)题应该在这个三角形中应用勾股定理求解. 纸片ABC,使点A落在边BC上的点F处..'.DE是线段AF 6. 解:(1)BH|EF.理由如下:由折叠的性质,得BF=BF, 的垂直平分线,即DE AF ·DE//BC...BC|AF. BFE=BFE.在长方形纸片ABCD中,AD/BC. .乙AFC-90”.△ACF是直角三角形.(2)设CF=x. '$ BEF= BFE,. BFE= BEF.$BF=B$E$$$ 则BF-21一x.在Rt△ACF中,由勾股定理得AF*-AC .H为EF的中点..'BH]EF. (2)设BF一z.由(1)知 CF*-13一.,在Rt△ABF中,由勾股定理得AF*-AB BE-BF-BF-x.由折叠的性质,得A'E-AE-6-. $*=20-21-).13-=20-(21-),解得 A'B'-AB-4.在Rt△AB'E中,由勾股定理得BE*= 5..'.CF的长为5. 关键点拨(2)CF在Rt△ACF中,因此考虑先求AF的长. AF是△ABF和△ACF的公共边,利用勾股定理可求CF 为13 的长. 3.解:(1)设CE-x.·AC-BC-4.AD是边BC上的中线, 关键点拨 连接BE,利用等角对等边证明BF一BF一BE '.CD-2.由翻折的性质可知,DE一AE-4-x.在Rt△ECD BE是解题的关键。 中,由勾股定理得DE-CD+CE,即(4-ci){}=2+r^,解 7. 解;(1)设DE-EG=x,则AE-8-x.在Rt△AEG中,由勾 得x-1.5.即CE的长为1.5.(2)设CE-y..AC-BC- 股定理得AG十EG-AF,即4十-(8-x),解得x= 1a.由翻折的性质可知. a.AD是边BC上的中线,.'.CD- 3...DE的长为3.(2)如图,过点G作GM1AD于点M DE-AE-a一y.在Rt△ECD中,由勾股定理得DE-CD+ AE CF",即(a-y)-()}→y,解得y-an,即CE- .SAD-}DEF M-×3x2-1. ” 方法总结在本题中,a决定了这个图形的大小,形状不会发 生改变,所以第(2)题的解题思路不会变化. 4. 解;如图,连接A'D,AD.·四边形OABC是长方形,..BC $A-4.OC=AB-3.C- B-O-90$.CD-3DB C '.CD-3,BD=1..'.CD=AB..将四边形ABDE沿DE折 思路分析(1)设DE-EG-x,则AE-8一c.在Rt△AEG 叠,点A的对称点A恰好落在边OC上..'.A'D-AD,A'E一 AE在R△ACD与Rt△DBA中CD-DA. CD-BA. 中,根据AG十EG}-AE*构建方程即可解决问题;(2)过点G .RtA'CD 作GMIAD于点M,根据三角形面积不变求出GM的长,进而 RDBA(HL)...AC=BD=1..'AO-2.在RA'OE 根据三角形面积公式计算即可. 专题九 中,由勾股定理得AO+OE一AE,:2+OF-(4- 勾股定理与数学思想 1. 84或24 解析:①第三边上的高在三角形内部,如图1. AB-15cm.AC-13cm.AD-12cm.·AD是高. '.△ABD,△ACD是直角三角形...BD=AB-AD D..B 15-12*-9(cm).同理可得CD-5cm...BC-BD+ D-14 cm.S=BC·AD-x14x12= 84(cm):②第三边上的高在三角形外部,如图2,AB 15cm.AC=13cm.AD=12cm..AD是高...△ABD. 方法总结图形折叠问题的解题步骤为:①设一个未知线段长 △ACD是直角三角形...BD-AB-AD=v15-12- 为x(一般设所求线段长为x);②用已知数或含工的代数式表 9(cm).同理可得CD-5cm...BC-BD-CD-9-5-4(cm). 示出其他线段长:③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一 .S-BC·AD-x4x12-24(cm).综上所述,这 个关于x的方程;①解这个方程,从而求出所求线段的长。 5.(1)证明:.△BCD是等边三角形,E为CD的中点...DBE= 个三角形的面积为84cm或24cm. 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D30. ## 。 图1 图2 图3 方法总结如果被研究的问题包含多种情况,不能一概而论 4. 解:如图,过点A作AD1BC于点D.设CD=x,则BD 时,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下 14-x.在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理得AD 相应的结论,这种处理问题的思维方法称为分类思想,它是一 AB-BD-AC$CD.$15-(14-)=13-,解得$$ 种重要的解题策略. =5,即CD-5.AD-AC-CD-13-5-12. 2. 4/5或8或2/10 解析:①如图1,当AD为斜边时,CD $$=BC·AD-$x14X12-84. AC-4. ACD-90”ACD- BAC-90:'AB-4. ..AB=CD,又.AEB=CED...ABE△CDE (AAS)...BE-DE,AE-EC-2,在Rt△ABE中,由勾股定 理得BE=AB+AE-④+2-2V 5,$BD-4; ②如图2.当CD为斜边时,AD=AC-4.DAC=90{. .BAC=90$.'DAC+BAC=90$+90$-180{.$B. 5. 解:如图,过点A作AD1.BC于点D.设CD=x.在 A.D三点共线..*BD-AB+AD-4+4-8;③如图3,当 Rt ADB和Rt△ADC中,由勾股定理得AD-AC-CD一 AC为斜边时,ADC-90{,AD-CD,在Rt△ACD中,由勾 AB-BD.13--15-(4+x,解得c=5.AD 股定理得AD+CD=AC=4.*AD=CD=2$ .BCA-45*$ACD-45 .BCD-90.AB-AC-4 1×4×12-24. '$BA+AC-+4-4/.BDBC+CD (4/2) +(2/2)-210.综上所述,线段BD的长为 4./5或8或2/10 6. 解:设CD-x.在Rt△ACD中:由勾股定理得AC-CD+ AD=r+8{},在Rt△BCD中,由勾股定理得BC=CD+ BD=^+2*,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC+BC AB .^+8++2-10,解得 -4.即CD的长为4.$ 7. 解;(1)由题意,得AB=4m.DC-6m,BC-10m.设FC xm,则BE-(10一r)m.在Rt△ABE和Rt△DEC中,由勾 图1 图2 图3 股定理得AE-AB+BE-4+(10-),DE-DC$+ 关键点拨分三种情况讨论:①当AD为斜边时,如图1,BD E=6+,:AE-DE,'+6-(10-)+4,解$ 2BE,求BE的长即可;②当CD为斜边时,如图2,BD=2AB 得x一4.答:这条鱼出现的地方离比较高的棕桐树的树根C ③当AC为斜边时,如图3,BD就是Rt△BCD的斜边 有4m远(2)10/② 解析:构造图形如图所示,AMMN 3.解;①如图1.当AD=AB时,DC-BC-15m,AD-25m. 于点M,BNIMN于点N,其中AM-6,BN-4.MN-10.P *.周长为25+25+15+15-80(m);②如图2.当AB-DB 是MN上一点.设PN-x,则PM-10-x.作点B关于MN 时,AB-DB-25m.CD-10m.AD-10 5m..周长为 的对称点D,连接AD,过点D作DC'1AM,交AM的延长 线于点C',则ND-BN-4.MC'-ND-4.C'D-MN=10. $0/5+25+25=(50+10/5)(m);③如图3,当AD-DB AC'=AM+MC'-6+4=10. .'$PB-PD,PA= 时,设DC-xm,则AD-(r+15)m..(x+15)=r+ AM+PM = 36十(10-x),PB-BN+PN= 16+..'PA+PB-PA+PD>AD,当A.P.D三点在 所述,扩充后等腰三角形绿地的周长为80m或(50+10v5)m 同一条直线上时,PA十PB的值最小,此时PA+PB= 或200m. PA+PD=AD=AC+CD-10 ②.16++ ③6+(10-x)的最小值为10/2. 图2 B 图1 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D31. 方法总结运用勾股定理求线段长的时候,常常考虑在一个直 ADI BC. . BD=CD=BC=12=6(cm).在$ 角三角形中,利用勾股定理列方程求出线段的长,这就是方程 思想. RABD中,由勾股定理得AD-AB-BD-10-- 8. 5+17解析:如图,作点A关于y轴的对称点A',连接 8(cm);'CE1 AB. . S-AB·CE-BC·AD. A'B,交y轴于点P,连接AP,此时△ABP的周长最小. .CE-BCAD_12×8-48(cm).(2)解:当CPI.AB时, ·A(1,1).A(-1,1).又:B(3,2).AB=+2 AB 10 .AB=+4=17,'ABP周长的最小值为 cm...BP= 5十17. VBC-CP-12”-(45)×-3(cm),:. BC+BP- 12-+3-0(cm).(-92-48(s),即当CP1AB时, 过点A作ADIBC于点D'AB=AC.BD=CD-BC= 1x12-6(cm).由(1),得AD=8cm.设PA=PC=r cm, 则PD-(x-6)cm.在Rt△APD中,由勾股定理得AP 方法总结求平面直角坐标系中一条线段的长,可分别过线段 两端点作坐标轴的平行线,构造一个直角三角形,利用勾股定 25 2..1-25-2-25(s);:②当CP-CA-10 cm,且点 P 理来求。 在BC上时,t-10-2-5(s);③当AP-AC时,点P与点B 9. 解:(1)AC+CE=AB+BC+CD+DE 重合,PC=BC=12cm.'1-12+2-6(s):①当CP=CA 5+(8-x)+vI十.(2)存在,如图1,当A,C,E 10cm.且点P在AB上时,如图4.过点C作CG1AB于 三点共线时,AC+CE的值最小,过点A作AF/BD交ED 的延长线于点F,连接AE,则四边形ABDF是长方形, .. F=9 0{$$DF=AB-5$AF-BD=8$'$EF=ED+DF$$$ 1+5-6.在Rt△AFE中,由勾股定理得AE-vAF+EF 8+6-10.*.AC+CE的最小值为10.(3)13 解析 ·-6r+73+ -16.r+80-(r-3)+8+ 12-+22-8-2(cm).v.1-82-2-(s).综上所述,(的值为 (r-8)+4.*求 -6x+73+-16x+80的最 或成5步或} 小值,可以转化为在x轴上找一点P(x,0),到A(3,8),B(8 4)的距离之和最小(如图2),作点A关于工轴的对称点 A'(3.一8),连接AB交x轴于点P,连接AP,此时PA十 PB的值最小,最小值为 5+12-13. -6x+73+ ## -16x十80的最小值为13. 图3 图4 A易错警示根据△ACP是等腰三角形分情况讨论:(1)PA一 图2 圈1 PC:(2)AP一AC;(3)CP-CA.通过作垂线构造直角三角形来 方法总结利用勾股定理求线段长的时候,可以以这条线段为 求解, 斜边,构造出一个两直角边已知的直角三角形,再借助勾股定 2. 解:(1).乙ACB-90{,AB一5cm,AC-4cm..'.BC 理解决问题. AB-AC-5-4-3(cm).(2)由题意,得BP 专题士 勾股定理与动点问题 37cm.①当 APB为直角时,点P与点C重合,BP-BC 1.(18cm 3cm.即-1;②当乙BAP为直角时,如图1.BP-3tcm. CP-(3t-3)cm,AC-4cm.在Rt△ACP中,AP-4+ 过点C作CE1AB于点E..AB-AC=10cm,BC-12cm. (3-3)在Rt△BAP中,AB+AP-BP,即5+4+ 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D32.