专题8 折叠与勾股定理-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题小 折叠与勾股定理 定议用时35分钟 答案D29 类型①三角形折叠问题 3.(难)如图，在Rt△ABC中， L.(较难)如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=BC=a,AD是边 ∠C=90°，把△ABC沿直线DE BC上的中线，将点A翻折使之 折叠，使△ADE与△BDE重合. 与点D重合，得到折痕EF (1)若∠CBD=20°，则∠A的度 (1)若a=4,求CE的长. 数为 (2)求票的值 (2)若AC=8,BC=6,求AD的长 (3)当AB=m(m>0),△ABC的面积为m+1 时，求△BCD的周长（用含m的代数式 表示 类型2特殊平行四边形的折叠问题 4.(2022·重庆长寿区自主招 生，较难)如图，在长方形OABC 2.(较难)如图，折叠一张三角形 中，OA=4,AB=3,点D在边BC 纸片ABC,使点A落在边BC上 上，且CD=3DB,E是边OA上 的点F处，且折痕DE∥BC,连接 一点，连接DE,将四边形ABDE沿DE折叠， AF. 若点A的对称点A'恰好落在边OC上，求OE (1)试判断△ACF的形状， 的长 (2)若AC=13,AB=20,BC=21,求CF的长. 62 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第3章勾股定理 5.(较难)如图，△ABD和 7.(难)如图，把一张长方形纸片 △BCD都是等边三角形纸片， ABCD沿EF折叠，使其对角顶 AB=2,将△ABD纸片翻折，使 点A与C重合，D与G重合，若 点A落在CD的中点E处，折痕 长方形的长BC=8,宽AB=4. 为FG,点F,G分别在边AB,AD上 (1)求DE的长. (1)求证：△FBE是直角三角形 (2)求阴影部分△GED的面积 (2)求BF的长. 6.(较难)如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠，使点B落在 边AD上的点B'处，点A落在点 A'处，H为EF的中点， (1)试判断BH与EF的位置关系，并说明 理由。 (2)若AB=4,AB'=6,试求BF的长 B 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 63AD十DE=AE.∴.△ADE为等腰直角三角形.且∠ADE= 平方向滑动了0.8m 90°，，∠DAE=45°，.∠GAD十∠EAF=∠GAF一∠DAE=2.B解析：设折断处离地面x尺.根据题意，得x2十4=(10一 90°-45=45°..'AB=AD,AG⊥BD..∠BAG=∠GAD. x)产，解得x=4.2.即竹子折断处离地面的高度为4.2尺 由平行线的性质可知，∠2=∠BAG,∴∠2=∠GAD.同理可国方法总结勾股定理是用代数关系式表达的一个几何图形的 得，∠1=∠EAF,∴.∠1+∠2=45 性质，它将代数和几何紧密联系起来，因此涉及含直角的三角形 计算问题，可设未知线段为，根据勾股定理列方程求解」 3.解：设水深x尺，则芦苇长(x十1)尺.由题意，得x十5 (x+1).解得x=12,∴x+1=13.答：水深12尺，芦苇长 13尺. 4.(3x)十102=(7x一10)解析：设经x个单位时间两人在C 处相海，AC=3x步，AB+BC=7x步，：AB=10步， 8.45°解析：如图，连接AD,设每个小正方形的边长为1. .BC=(7x一10)步，由勾股定理得(3x)+10=(7x-10). :AD=/3+1平=10，CD=+3=,10,AC= 5.解：(1)根据题意，得AB=302km,∠ABC=30°+15° /+2=20,∴.AD=CD,AD+CD=AC,.∠ADC 45,∠BAC=(90°-30)+45=105，.∠C=180°-∠ABC 90,即△ADC是等腰直角三角形，∠DAC=∠DCA=45 ∠BAC=180°-45-105°=30°.如图，过点A作AD⊥BC,垂 :AB∥DE,∴.∠BAC+∠DAC+∠ADC+∠CDE=180, 足为D.在R△ABD中，AD=BD,AD+BD=AB,.AD= ∴∠BAC+∠CDE=180°-90°-45=45 BD=30(km.在Rt△ADC中，∠C=30°.∴.AC=2AD=0km ∴.CD=、AC-AD=√60-30=30v3(km),∴.BC BD十CD=(30十30/3)km,,.辽宁号航母从A航行到C的 时间为60÷15=4(h),则长沙舰从B航行到C所用时间为 4一2=2(h).答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了 2h.(2)长沙脱的速度为(30+303)÷2=(15+ 15√3)km/h答：长沙舰的航行速度为(15十155)kmh 9.解：(1)由题意，得CD=21.:∠ABC=90°，AB=20,BC 北 15,∴.AC=√AB+C=/20+1F=25.∴.AD=AC-CD 25-2.①当∠CDB=90时.Sr=号AC·BD=号AB·BC 西B 东 即号×25BD=专×20×15，解得BD=12.∴CD 南 6.解：如图，过点E作EF⊥AC于点F,MN⊥AB于点M,交 /BC-BD=V15-12=9..1=9÷2=4.5:@当 CD于点N.由题意，得AB=25m,CD=30m,AC=35m, ∠CBD=90时，此时点D和点A重合，1=25÷2=12.5.综 EF=10m,AB∥CD,AB⊥AC,CD⊥AC,BE=DE,'.MN 上所述，当1=4.5或12.5时，△CBD是直角三角形. CD,.四边形AMEF,四边形EFCN,四边形ACNM都是长 (2)①当CD=BC时，CD=15,∴.1=15÷2=7.5：②当CD= 方形，.∴.MN=AC=35m,BM=15m,DN=20m,EN BD时，∠C=∠DBC.:'∠C+∠A=∠DBC+∠DBA= (35-EM)m在Rt△EBM中，BE=BF+EF,在 90,∴∠A=∠DBA.BD=AD,CD=AD=2AC-=12.5, R△DEN中，DE=DN+EN,'.BF+EF=DN+ ,∴.1=12.5÷2=6.25：③当BD=BC时，如图，过点B作 EN2,.152+EF=202+(35-EM)2.解得EM=20m, BF⊥AC于点F,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 .BE=√15+20=25(m),∴.BE+DE=50m答：无人机 CF=DF,:CF=√BC-BF=9,∴.CD=2CF=9X2= 从点D到点E再到点B一共飞行了50m 18,1=18÷2=9.综上所述，1的值为6.25或7.5或9. 圈方法总结三角形一边上的高将三角形分成两个直角三角形， 专题八折叠与勾股定理 运用勾股定理解决问题 1.(1)35° 解析：：'把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与 小练4勾股定理的简单应用 △BDE重合，.∠ABD=∠A.:∠C=90°，∠CBD=20, 1.解：(1)AB=2.5m,BC=0.7m,.AC=√AB-B ∴∠ABD+∠A=180°-90°-20=70°.∴.∠A=70°÷2=35. /2.5一0.7下=2.4(m).答：这个梯子的顶端距地面有 (2)解：：△ADE与△BDE重合，∴.BD=AD.设BD= 2.4m(2)梯子底部在水平方向滑动了0.8m.理由如下： AD=x,则CD=AC-AD=8-x,在Rt△BCD中，由勾股定 在Rt△A'CB'中，A'C=AC-0.4=2.4-0.4=2(m),A'B'= 理得CD+BC=BD.∴(8-x)+6=,解得r=距， 2.5m..BC=√/AB-A=√2.5-2=1.5(m), ∴.BB=BC一BC=1.5一0.7=0.8(m).答：梯子底部在水 ∴AD的长为至。 (3)解：∠C=90°，△ABC的面积为 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D29. m+1..2AC·BC=m+1,AC·BC=2(m+1)=2m+ 30°，BE⊥CD.又：△ABD是等边三角形，·∠ABD=60°， ∴.∠FBE=∠ABD+∠DBE=60°+30=90°，，△FBE是 2.在R1△ABC中，AB=m,由勾股定理，得AC+BC= 直角三角形.(2)解：由题意得CD=BC=BD=AB=2, AB=m㎡，.(AC+BC)2-2AC·BC=m2,.(AC+BC)2 m2+2×(2m+2)=m十4m十4=(m+2),,∴.AC十BC CE=2CD=1.在R△CEB中，由勾股定理得BE=BC m十2.，AD=BD,.△BCD的周长为BD+CD+BC= CE=2一12=3.由翻折的性质，得AF=EF.设BF=x,则 AD+CD+BC=AC+BC=m+2. EF=AF=2一x,在R1△EBF中，由勾股定理得EF=BF+ 关键点拨解决折叠问题，抓住两个合造：一是选择一个合造 的线段设为x,二是找出一个合造的直角三角形，应用勾殿定理 BE,即(2-x)=+3,解得r=},即BF的长为子 列出方程。 翻关键点拨本题第(1)题已经提示△BEF是直角三角形，因此 2.解：(1)△AC℉是直角三角形.理由如下：：折叠一张三角形第(2)题应该在这个三角形中应用勾股定理求解. 纸片ABC,使点A落在边BC上的点F处DE是线段AF6.解：(I)B'H LEF.理由如下：由折叠的性质，得BF=BF, 的垂直平分线，即DE⊥AF,:DE∥BC,,.BC⊥AF ∠BFE=∠BFE.在长方形纸片ABCD中，AD∥BC, ∠AFC=90°.，∴.△ACF是直角三角形.(2)设CF=x, .∠BEF=∠BFE,.∠B'FE=∠BEF,.B'F=B'E 则BF=21一x.在R△ACF中，由勾股定理得AF=AC H为EF的中点，BH⊥EF.(2)设BF=x,由(1)知 CF=132一x,在Rt△ABF中，由勾股定理得AF⊙=AB BE=BF=BF=x.由折叠的性质，得A'E=AE=6一x, B=202一(21一x)2..132一x2=20一(21一x)2.解得x AB=AB=4.在R1△A'BE中，由勾股定理得BE= 5,.C℉的长为5. 圆关锭点拨(2)CF在R△ACF中，因此考虑先求AF的长， AB+AE,即=+(6-x),解得x=号.∴BF的长 AF是△ABF和△ACF的公共边，利用勾胶定理可求CF 的长. 为号 3.解：(I)设CE=x.:AC=BC=4,AD是边BC上的中线，关键点拨连接BE,利用苹角对等边证明BF=BF=BE= ∴.CD=2.由翻折的性质可知，DE=AE=4一x.在R△ECD BE是解题的关能. 中，由勾股定理得DE=CD+CE,即(4-x)2=2+x2,解7.解：(1)设DE-EG=x,则AE=8一x.在Rt△AEG中，由勾 得x=L.5.即CE的长为L.5.(2)设CE=y.AC=BC= 股定理得AG心十E=AE,即4十x2=(8-x),解得x= ,AD是边BC上的中线，∴.CD=2a,由翻折的性质可知， 3,∴DE的长为3.(2)如图，过点G作GM⊥AD于点M. DE=AE=a一y.在Rt△ECD中，由勾股定理得DE=(CD+ AG.GE=2AE,GMGM-AG:GE-4X3-是， AE 5 5 CE,即a-=(侵a)°+y,解得y=景a,即cE=景… Sm-DEGM=×3x号- 5 AE-5 CE 8a 3 … 5 窗方法总结在本题中，“决定了这个图形的大小，形状不会发 生改变，所以第(2)题的解题思路不会变化， 4.解：如图，连接A'D,AD.,四边形OABC是长方形，BC 0M=4.0C=AB=3.∠C=∠B=∠O=90°.CD=3DB ∴CD=3,BD=1,.CD=AB.:将四边形ABDE沿DE折 窗思路分析(1)设DE=EG=r,则AE=8-L.在Rt△AEG 叠，点A的对称点A'恰好落在边OC上，∴.A'D=AD,A'E= 中，根据AG心十EG=AE构建方程即可解决问题：(2)过点G AE在△ACD与△DA中，m.△CDe 作GMAD于，点M,根据三角形面积不变求出GM的长，进而 Rt△DBA(H),∴.A'C=BD=1,.A'O=2.在R△A'OE 根据三角形面积公式计算即可 中，由勾股定理得A'O+OE=A'E,.22十OE=(4- 专题九勾股定理与数学思想 OE),解得OE=3 1.84或24解析：①第三边上的高在三角形内部，如图1， AB=15m,AC=13m,AD=12cmAD是高， ∴.△ABD,△ACD是直角三角形，∴，BD=￥AB一AD= B /15-12=9(cm),同理可得CD=5cm,.BC=BD十 CD=14m,Sm=专BC·AD=号×14X12- 84(m):②第三边上的高在三角形外部，如图2，AB 15cm.AC=13cm.AD=12cm.:AD是高，∴.△ABD, 国方法总结图形折叠问题的解题步骤为：①设一个未知线段长 △ACD是直角三角形，∴.BD=,AB一AD=V15一12= 为x(一般设所求线段长为x):②用已知数或含x的代数式表 9(cm),同理可得CD=5cm..BC=BD一CTD=9一5=4(cm). 示出其他线段长：③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一 个关于x的方程：④解这个方程，从而求出所求线段的长. ∴Sam=2BC·AD=7×4X12=24(cm).综上所述，这 5.(1)证明：，△D是等边三角形，E为CD的中点，∴，∠DBE= 个三角形的面积为84cm或24cm. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D30·