专题3 一线三等角模型-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题白 一线三等角模型 定议用时25分钟 答案D9 练模型基础 2.(较难)如图，在△ABC中， AB=AC,D,A,E三点都在直线 1.(中等)在△ABC中，∠ACB=90°，AC= m上，并且有∠BDA=∠AEC= CB,过点C作直线MN,AM⊥MN于点M, ∠BAC=a.若DE=10,BD=3, BN⊥MN于点N. 求CE的长 (1)若MN在△ABC外（如图1），求证：MN AM+BN. (2)若MN与线段AB相交（如图2），且AM 2.6,BN=1.1,则MN= 图1 图2 练模型提高 3.(较难)如图，AC=AB=BD, ∠ABD=90°，BC=8,则△BCD 的面积为 4.(较难)如图，在△ABC中， AB=AC=2,∠B=∠C=40°，点 D在线段BC上运动（点D不与 点B,C重合)，连接AD,作 ∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=115°时，∠EDC= ∠DEC= ;点D从点B向点C运 动时，∠BDA的度数逐渐变 (填 “大”或“小”) 20 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第引章全等三角形 (2)当DC的长度为多少时，△ABD≌△DCE? 【能力提升】 请说明理由。 (3)如图3，在等边三角形DEF中，A,C分别为 (3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰 边DE,DF上的动点，AE=2CD,连接AC, 三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的 以AC为边在△DEF内作等边三角形 度数；若不可以，请说明理由. ABC,连接BF,当点A从点E向点D运动 (不与点D重合)时，∠CFB的度数变化吗？ 若不变，请求出它的度数：若变化，请说明它 是怎样变化的， 440人40 B D 图1 图2 图3 5.(2022秋·盐城东台市月考，难) 【一线三等角模型】 (1)如图1，点A,B,C在一条直 线上，∠A=∠DBE=∠C,当 BD=BE时，有△ABD≌ △CEB.证明如下： ,∠A=∠DBE,∠D+∠DBA=180° ∠A,∠DBA+∠CBE=180°-∠DBE .∠D+∠DBA=∠DBA+∠CBE, ∴.∠D=∠CBE, 请将上述证明过程补充完整。 【模型运用】 (2)如图2，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4, AC=AD,求△BAD的面积. 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 214.(1)证明：如图1，延长CB到点E,使BE=AM连接DE CM..MN=AM+BN.(2)1.5解析：AM⊥MN. △CAD2△CBD,∴.AD=BD,∠CDA=∠CDB.∠A BN⊥MN,.∠AMC=∠CNB=90°，∴.∠MAC+∠ACM= ∠CBD=90°，∠ACD=30°，'.∠CDA=60°，∠DBE=90°.在 90°.又：∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NB=90°，∴∠MAC= AM=BE. ∠AC=∠CNB, △DAM和△DBE中， ∠MAD=∠EBD,∴.△DAM≌ ∠NCB.在△AM和△CBN中，∠MAC=∠CB.∴.△ACM≌ AD-BD. AC-CB. △DBE(SAS),,.∠BDE=∠ADM,DM=DE.,'∠MDN= △CBN(AAS).∴.CN=AM=2.6,CM=BN=1.1,∴.MN ∠ADC=60°，.∠ADC-∠CDM=∠MDN-∠CDM,即 CN-CM=2.6-1.1=1.5. ∠ADM=∠NDC,∴.∠BDE=∠NDC.:∠CDB= 刷日积月累三个直角的顶点在同一条直线上，就称为一线三等 ∠CDA=6O°，即∠NDC+∠NDB=60,∴.∠BDE+ 角.出现一线三等角模型后可以找出或构造全等三角形解决 ∠NDB=∠EDN=60,'.∠MDN=∠EDN.在△MDN和 问题. DM=DE. 2.解：：∠AEC=∠BAC=a,.∠ACE+∠CAE=180°-a, △EDN中，∠MDN=∠EDN,.△MDN≌△EDN DN=DN. ∠BAD+∠CAE=180°-a.∴.∠ACE=∠BAD.在△BAD和 (SAS),.MN=EN.又BE+BN=EV,∴.AM+BN= ∠BDA=∠AEC, MN.(2)AM什BN=MN.(3)补全图形如图2所示（不 △ACE中，∠BAD=∠ACE,∴.△BAD≌△ACE(AAS). BA=AC. 色含线段DE),数量关系为BN一AM=MN.证明如下：在 BC上截取BE=AM,连接DE.同理(1)可得AD=BD. ∴.CE=AD,AE=BD=3.DE=AD+AE=10,∴.AD= DE-AE=10-3=7,.CE=7. :∠CBD=∠CAD=90°，.∠DBE=∠DAM=90°.在 AM=BE, 3.16解析：如图，过点A作AELBC于点E,过点D作DF⊥ △DAM和△DBE中， ∠DAM=∠DBE,.△DAM≌ CB交CB的延长线于点F,则∠AEB=∠BFD=90°， AD=BD. ∴∠EAB+∠ABE=90.又∠ABD=90°，.∠ABE+ △DBE(SAS),∴.∠BDE=∠ADM,DM=DE.:∠CAD ∠FBD=90,.∠EAB=∠FBD.义AB=BD,△AEB≌ 90°.∴.∠CDA+∠ACD=90°.又：∠ACD+∠MDN=90° ABFD(AAS)...DF=BE..AB=AC.BC=8...BE=CE= .∠MDN=∠CDA,.∠MDN-∠ADN=∠CDA 2BC=2X8=4.∴DF=4.Sm=2BC·DF=号X ∠ADN,即∠ADM=∠CDN..∠BDE=∠CDN :∠ADC=∠BDC,·∠ADC-∠CDN=∠BDC 8×4=16 ∠BDE,即∠ADN=∠CDE,·.∠ADN+∠ADM= ∠CDE+∠CDN,即∠MDN=∠EDN.在△MDN和 DM-DE. △EDN中， ∠MDN=∠EDN,∴.△MDN≌△EDN DN-DN. (SAS),'.MN=EN.又，'BN-BE=EN,,BN-AM=MN. 题关键点拨已知条件中AB与BD相等且鲁直，如果分别过点 A,D作两条垂线，构造一线三等角的基本模型，就可以得到 △AEB≌△BFD,再利用全等三角形的性质来解决问题. 4.(1)25115小(2)解：当DC=2时，△ABD2△DCE理由 如下：：∠C=40,.∠DEC+∠EDC=140.又：∠ADE 40°，.∠ADB+∠EC=140°，..∠ADB=∠DEC又.'∠B ∠C,AB=DC=2,.△ABD≌△DCE(AAS).(3)当 ∠BDA的度数为10或80时，△ADE是等腰三角形.理由 如下：如图1，当∠BDA=110时，∠ADC=70°，∴∠EIDC= ∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°，又：∠C=40°，.∠DAC 180°-∠ADC-∠C=180°-70°-40°=70°，又：∠AED=∠C+ ∠EDC=40°+30°=70，∴.∠DAC=∠AED,∴.AD=ED, D D ∴.△ADE是等腰三角形：如图2，当∠BDA=80时，∠ADC= 图1 图2 100°，又.'∠C=40,.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180 恩关键点拨里解题意，作出相应辅助线，找出各角之问的关系 100°-40=40°，∴∠DAC=∠ADE,.EA=ED,.△ADE 是解题关健，利用全等三角形作为桥梁，建主相等关系。 是等腰三角形.综上所述，当∠BDA的度数为110或80时， 专题三一线三等角模型 △ADE是等腰三角形. 1.(1)证明：，AM⊥MN,BNLMN,.∠AMC=∠CNB=90, ∴.∠MAC+∠ACM=90°.又：∠ACB=90°，∴.∠NCB+ ∠ACM=180°-∠ACB=180°-90°=90°，∴.∠MAC= 0 I∠AMKC=∠CNB. ∠B在△AC和△CNB中，∠MAC-∠NCB.∴△A≌ 图1 图2 AC-CB. 5.(1)证明：：∠A=∠DBE,∠D+∠DBA=180°-∠A, △CNB(AAS),.AM=CV,CM=BN.又：MN=CN+ ∠DBA+∠CBE=180-∠DBE,∴.∠D+∠DBA=∠DBA+ 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D9· ∠A=∠C,8.书解析：补全字母，如下图所示，故这个单词所指的物品 ∠CBE,∴∠D=∠CBE在△ABD和△CEB中，∠D=∠(CBE, 是书. BD-EB. ∴△ABD2△CEB(AAS).(2)解：如图1，过点D作DT⊥ BK BA交BA的延长线于点T.同理(1)可证△ATD2△CBA (AAS)∴DT=AB=4,56=2AB·DT=2X4X 9.60°解析：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则 ∠2十∠3=90.：∠3=30，∴·∠2=60°.由反弹的性质可 4=8.(3)解：∠CFB=30°不变.理由如下：如图2，在CF 知，∠1=60°， 上取一点N,使得FVN=DC,,△ABC和△DEF都是等边10.B解析：如图，第6次碰到长方形的边时，小球回到出发点 三角形，.∠D=∠ACB=60,DE=DF,CA=CB.AE P.2023÷6=337…1..当点P第2023次碰到长方 2CD.CD-FN..DE-AE-DF-2CD-DF-CD-FN. 形的边时为第338个循环组的第1次反弹，.第2023次碰 即AD=CN.又，'∠ACN=∠ACB+∠BCN=∠D+ 到长方形的边时的点为图中的点Q, ∠CAD,∴.∠BCN=∠CAD.在△CNB和△ADC中， CN-=AD. ∠BCN=∠CAD,.△CNB2△ADC(SAS),,∴.BN=CD, CB=AC. ∠BNC=∠D=6o.又，NF=CD,∴.BN=NF,∴.∠NBF= ∠NFB.:∠BNC=∠NBF+∠NFB=6O',∴.∠NFB= ∠NBF=30°，.∠CFB=30. D 1L.解：如图所示（答案不唯一）. 图1 图2 图1 图2 恩关键点拨第(3)题中，在CF上取一点N,使得FN=DC,从 而构造一线三等角模型， 第2章轴对称图形 小练1轴对称与轴对称图形 图3 图4 1.D解析：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部 酮方法总结根据轴对称图形的定义，首先多角度地画出图形， 分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线 然后在画图过程中体会轴对称图形的特点，在观察中感受，在实 叫作对称轴.根据定义，只有D选项符合题意. 践中环索，大胆去想象、去设计 方法总结轴对称图形的判断可以根据定义采取折叠的方法， 小练2轴对称的性质 看折痕两旁的部分能否完全重合，也可以通过观察进行排除。 1,C解析：，点P关于直线OA的对称点为Q,关于直线OB 2.③解析：观察各图形可知，只有③不是轴对称图形. 的对称点为T,.OQ=OP=OT,∠AOP=∠AOQ.∠BOP= 3.A解析：A选项中的图形有5条对称轴：B选项中的图形有 ∠BOT.:∠AOB=a,∴.∠QT=2a.∴.∠OTQ=∠OQT= 3条对称轴：C选项中的图形没有对称轴：D选项中的图形有 4条对称轴.综上所述，对称轴条数最多的是A选项中的图形， 2(180°-2a)=90°-a,故①正确：当a=30时，∠Q0T 4.C解析：如图，该图形有6条对称轴. 60°，OQ=OT=OP=m,∴.△OTQ是等边三角形，∴.QT= OQ=m,由对称的性质，得MP=MQ,NP=NT,,.△PMN 的周长为PM+MN+PN=QM+MN+NT=QT=m,故② 正确：，'OQ=OT=m,,.0QT≤2m(当∠AOB=a=90°时， QT-2m),故③错误：由对称的性质，得∠OQM=∠OPM, ∠OV=∠(OPN,∴.∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OQM+ ∠OTV=180°-2a,故④正确.综上所述，正确的结论是① ②④. 2.908解析：过点O作OH⊥NM交NM的延长线于点H, 5.D解析：由题意可知，实际手表表盘的时针指向10和11之 间，分针指向7和8之间，故只有D选项符合题意。 连接OP.S=号MN·OH=12,MN=6,OH=4. 6.2解析：作图如图所示，由图可知，与计时器上的数字“5”关 如图，当点P在线段MN上时，则∠AOP=∠AOP, 于直线AB对称的图形是计时器上的数字“2” ∠BOP=∠BOP,OP=OP1=OP,又.∠AOB=45°， ∴.∠P1OP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°：当点P 在线段NM的延长线上时，则∠P,OP=2(∠BOP ∠AOP)=2∠AOB=90:当点P在线段MN的延长线上 7.21:05解析：将显示的像中的数字逆序排列并将每一个数 时，则∠POP=2(∠AOP-∠BOP)=2∠AOB=90.综上 字左右脚转，得到时间为21：05. 所述，△OPP始终是等腰直角三角形.根据垂线段最短，可 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D10