专题2 截长补短模型-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

(SAS)..'.FH-FK,Sg=Ser.又'FM-FM,KM MN+NK-MN+GH-HM-2Cm,'△FMK△FMH (SSS).'.S=Sn..SaMy=Seu +Sn+ $$= $S=2$$M·FN=2$$2 $2 4(cm). 日积月累过线段的两个端点作过该线段中点的线的垂线,可 以构造两个全等三角形. 7. 证明:;如图,过点B作BMIAD,交AD的延长线于点M,过 点C作CN 1AD于点N,则 M=CND= ANC=90。 .AD为△ABC的中线,..BD=CD.在△BDM和△CDN (M-CND. 中,BDM=CDN..△BDM△CDN(AAS).'BM= BD-CD. 应日积月累求不规则五边形的面积,可以由已知条件中的相等 1AC-EB. .R△ACN 积的三角形面积问题。 且垂直线段构造两个全等三角形,把五边形面积转化为易求面 CN.在Rt△ACN和Rt△EBM中. CN-BM. R△EBM(HL)...CAN- BEM.又. AEF= BEM. 2. 证法1:如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE.·AD是 . /CAN-AEF,即CAE-AEF. BAC的平分线:.BAD一EAD.在△ADE和△ADB (AE-AB. 中EAD=BAD,'△ADE△ADB(SAS).DE= AD-AD. DB. AED=B=2C 又· AED= EDC+C. ..EDC-C...CE=DE...CE=BD.又'.AC=AE+ CE..'.AB+BD-AC. 证法2:如图2,延长AB到点F,使 8. 证明:(1)如图,过点E作EM|CF交CF的延长线于点M AF=AC,连接DF.·.AD是BAC的平分线,.'FAD 则 M-90*-C.BD BC.. DBF-DBC=90 AF-AC. .BE1AB..ABE-90”.EBM+ABC-180* CAD在△AFD和△ACD中.FAD-CAD..△ACD 90 -90”:C-90”'A+ ABC-180*-90-90 AD-AD. [C-M: △AFD(SAS)..C=F.又:ABC=2C. .EBM-A.在△ABC和△BEM中.A-EBM. '. ABC-2F.又' ABC=BDF+F..BDF AB-BE. F.'.BF-BD.又'AB+BF=AF...AB+BD-AC '.△ABC△BEM(AAS).'.BC-EM.BD=BC [EFM-乙DFB. '.BD=EM.在△EMF和△DBF中,M= DBF, EM-DB. '△EMF△DBF(AAS)..'.EF-DF...F是ED的中点 (2)由(1)得△ABC△BEM.△EMF△DBF...Sw S.,Smr=Sn..F是ED的中点...S-Smr= 图1 图2 3. 证明:如图,在FD上截取FG一FE,连接CG.设 DBC ECB-”,FBE-y”,则FB=FC. A=(2x)EFB GFC-DBC十ECB-(2x).在△BFE和△CFG中. [FB-FC. BFE- CFG...△BFE△CFG(SAS)...BE=CG FE一FG. FCG=FBE=y.GDC= A+ABD=(2+ ) DGC=GFC+ FCG=(2r+y).'GDC 关键点拨已知条件中有两条相等且垂直的线段,往往可以构 DGC...CG-CD...BE-CD 造全等三角形解决问题. 专题二 截长补短模型 1. (1)2 解析:由题意知.Sm形Acn=SAc+Sx=S-+ r S.-S= 1AC*。 图,延长MN到点K,使NK-GH.连接FK,FH.FM . G- FNM-90{$.'FGH- FNK-90{}在△FGH 关键点拨本题较难,难在辅助线的作法上,考虑辅助线作法 FG-FN. 时,需要从对称的角度来构造全等三角形;本题也可以把 和△FNK中, FGH- FNK...△FGH△FNK △BEF补上一块,构造一个与△FCD全等的三角形,即延长 GH-NK, FE到点P,使得FP一FD.则可以证明 BFPACFD 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D8. 4.(1)证明:如图1.延长CB到点E,使BE一AM.连接DE. CM..'.MN-AM+BN. (2)1.5 解析:.AM | MN. :△CAD△CBD..AD-BD.CDA-CDB.A= BN IMN.AMC= CNB=90*MAC+ ACM= $CBD-90$ ACD=30{$$CDA=60{$DBE-90.在 90°.又'ACB-90”.ACM+NCB-90”..MAC (AM-BE. 乙AM-CNB. △DAM 和△DBE 中,MAD= EBD,△DAM NCB.在△ACM和△CBN中.MAC=MCB...△ACM AD-BD. AC-CB △DBE(SAS)...BDE- ADM.DM=DE.MDN △CBN(AAS).'.CN-AM-2.6.CM=BN=1.1.'MN ADC-60。. ADC-CDM-MDN-CDM,即 CN-CM-2.6-1.1-1.5. ADM-NDC,.BDE=NDC. 日积月累三个直角的顶点在同一条直线上,就称为一线三等 CDA-60{,即 NDC+NDB-60”: BDE+ NDB-EDN=60”.MDN-EDN.在△MDN和 角,出现一线三等角模型后可以找出或构造全等三角形解决 DM-DE. 问题. △EDN中, 2. 解:.AEC=BAC-a.'ACE+CAE-180*- MDN-EDN...△MDN△EDN BAD+CAE-180*-. ACE- BAD.在△BAD和 DN-DV. (乙BDA-AEC. (SAS)...MN-EN.'.BE+BN-EN...AM+BN △ACE中.BAD-ACE...△BAD△ACE(AAS). MN. (2)AM+BN-MN.(3)补全图形如图2所示(不 包含线段DE),数量关系为BN一AM-MN.证明如下:在 BA-AC. BC上截取BE-AM,连接DE.同理(1)可得AD一BD '.CE=AD,AE=BD-3..DE=AD+AE=10..AD :CBD-CAD=90”。.DBE= DAM-90{在 DF-AF-10-3-7..CE-7. (AM-BE: 3. 16 解析:如图:过点A作AE BC于点E.过点D作DF △DAM和△DBE 中,乙DAM-DBE..△DAM CB交CB的延长线于点F,则/AEB=BFD=90{。 AD-BD. '.EAB+ABE=90{又ABD=90,ABE+ △DBE(SAS).'. BDE- ADM.DM-DE..CAD FBD-90*.EAB=FBD.又':AB=BD..△AEB 90”..CDA十ACD=90{又:ACD+MDN=90* BFDCAAS)..'.DF=BE.AB=AC.BC-8..'BE-CE 寸BC-×8-4.1.DF-4.. SAD . MDN=CDA..MDN-ADN=CDA 1BC·DF-× ADN.即 ADM=CDN...BDE=CDN. :ADC-BDC.乙ADC-CDN-BDC 8×4-16. BDE,即ADN=CDE,.ADN十ADM CDE十CDN,即MDN=EDN.在△MDN和 DM-DE. △EDN中, MDN=EDN..△MDN△EDN DN-DN. (SAS)..,MN-EN.又'.BN-BE-EN...BN-AM-MN 关键点拨 已知条件中AB与BD相等且垂直,如果分别过点 A.D作两条垂线,构造一线三等角的基本模型,就可以得到 八AEB②八BFD,再利用全等三角形的性质来解决问题. 4.(1)25 115 小(2)解:当DC-2时,△ABD2△DCE.理由 如下:.C=40'DEC+EDC=140又.ADE 40{.ADB十EDC=140.ADB=DEC又'B C.AB-DC-2.'△ABD△DCE(AAS). (3)当 /BDA的度数为110或80时,八ADE是等腰三角形,理由 如下:如图1,当 BDA=110*时.ADC-70..EDC ADC- ADE-70-40-30”,又:C-40。/DAC 180*-ADC-C-180*-70*-40*=70{,又:AED-C+ EDC=40+30=70. DAC= AED..AD=ED. '.△ADE是等腰三角形;如图2.当BDA一80*时,ADC 图2 图1 100*,又:C-40DAC-180-ADC-C-180*- 关键点拨理解题意,作出相应辅助线,找出各角之间的关系 100*-40*-40..DAC=ADE...EA-ED,..△ADE 是解题关键,利用全等三角形作为桥梁,建立相等关系. 是等腰三角形,综上所述,当乙BDA的度数为110或80{时, 一线三等角模型 专题三 △ADE是等腰三角形 1.(1)证明:'AM MN,BN|MN..AMC- CNB=90” '.MAC十 ACM-90又: ACB=90。.NCB+ ACM-180*-ACB=180*-90*-90”,.MAC= [乙AMC-/CNB. NCB在△AMC和△CNB中. {MAC-NCB..'.AMC 图1 图2 AC-CB. $.(1)证明:.A- DBE,D+ DBA-180*-A. CNB(AAS)...AM=CN.CM=BN..'MN=CN+ DBA+CBE=180*一DBE..D+DBA=DBA+ 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D.小练夫卷得高方数学八年级上册 专题● 截长补短模型 定议用时16分钟☐答案08 练模型基础 2.(中等)已知△ABC的内角平分线AD交BC 于点D,∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC 1.（较难)请看这个例题：如图1， 在四边形ABCD中，∠BAD= ∠BCD=90°，AB=AD,若AC= 2cm,求四边形ABCD的面积. 解：延长线段CB到点E,使得BE=CD,连接 AE,我们可以证明△BAE≌△DAC,根据全等 三角形的性质，得AE=AC=2cm,∠EAB= ∠CAD,则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+ ∠BAC=∠BAD=90°，得S站形AD=S△十 S△AC=SAC十S△BE=SMAEC,这样，四边形 ABCD的面积就转化为等腰直角三角形AEC 练模型提高 的面积了， 3.(较难)如图，在△ABC中， (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形 ∠DBC=∠ECB=专∠A.求证： ABCD的面积为 cm2. BE=CD. (2)请你用上面学到的方法完成下面的习题. 如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN= 2cm,∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积. 图1 图2 18 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第引章全等三角形 4.(难)把两个全等的直角三角 变，则AM,MN,BN之间有何数量关系？ 形的斜边重合，组成一个四边形 证明你的结论 ACBD,∠CAD=∠CBD=90°， 以D为顶点作∠MDN,分别交 边AC,BC于点M,N (1)如图1，若∠ACD=30°，∠MDN=60°，求 证：AM+BN=MV.经过思考，小红得到了 图1 图2 这样的解题思路：利用补短法，延长CB到 点E,使BE=AM,连接DE,先证明 △DAM≌△DBE,再证明△MDN≌ △EDN,即可求得结论.按照小红的思路， 请写出完整的证明过程。 (2)如图2，当∠ACD+∠MDN=90°时，AM D MN,BN三条线段之间有何数量关系（直接 图3 写出你的结论，不用证明)？ (3)如图3，在(2)的条件下，若将点M,N改在 CA,BC的延长线上，补全图3，其余条件不 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 19