专题1 与中点有关的问题-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题● 与中点有关的问题 密议用时24分钟 答案D7 类型①倍长中线构造全等 3.(较难)如图，AB=AE,AB⊥ 1.(中等)如图，在△ABC中，D为BC的中点. AE,AD=AC,AD⊥AC,M为 (1)求证：AB+AC>2AD BC的中点.求证：DE=2AM. (2)若AB=5,AC=3,求AD长的取值范围. 4.(较难)如图，AD是△ABC的 中线，点E在BC的延长线上， 2.(中等)如图，在△ABC中，O为BC的中点， CE=AB,∠BAC=∠BCA.求 M为AB上一点，ON⊥OM交AC于点N,连 证：AE=2AD, 接MN.求证：BM+CN>MN. 16 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 0。年60 第引章全等三角形 5.(难)如图，已知AD是△ABC 7.(较难)如图，AD为△ABC的 的中线，AB=AE,AC=AF, 中线，E为AD上一点，BE=AC, ∠BAE=∠FAC=90°，试探究线 BE的延长线交AC于点F.求 段AD与EF的数量和位置关 证：∠CAE=∠AEF 系，并加以证明. 8.(难)如图，∠C=90°，BE⊥AB 且BE=AB,BD⊥BC且BD= BC,CB的延长线交DE于点F. 类型2作垂线构造全等三角形 (1)求证：F是ED的中点. 6.(中等)如图，D为CE的中点，F为AD上一 (2)求证：S△=2S△F· 点，且EF=AC.求证：∠DFE=∠DAC. 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 17夏关键点拔在解决第(2)(3)题的时候，图形虽然变化了，但题@关键点拨延长AM至，点N,使MN=AM,只要再证DE= 目并没有交代旋转的角度，可见在给定的范圆内，不管旋转多NA即可，这就是“中线倍长”，实质是“补短法” 少度，不影响线段之间的相等关系，所以我们可以根据第(1)题 4.证明：如图，延长AD至点M,使DM=AD,连接GM,AD 中三条线段之间的数量关系来推测第(2)(3)题的数量关系. 是△ABC的中线，∴.BD=CD.在△MCD和△ABD中， 专题一与中点有关的问题 CD-BD 1.(1)证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.,D ∠MDC=∠ADB,.△MCD≌△ABD(SAS),.MC= 为BC的中点，.BD=CD.在△ADC和△EDB中， MD=AD. AD-ED. AB.∠MCD=∠B.又，CE=AB.,∴.CM=CE.∠ACM ∠ADC=∠EDB,.△ADC≌△EDB(SAS),,∴.AC=EB ∠BCA+∠MCD,∠ACE=∠BAC+∠B.∠BAC=∠IBCA, DC=DB. AC-=AC. 在△ABE中，AB+EB>AE=2AD,.AB+AC>2AD ∴∠ACM=∠ACE在△AGM和△ACE中，∠ACM=∠ACE, (2)解：，在△ABE中，AB-BE<2AD<AB+BE,即5 CM-CE. 32AD5+3..∴.1AD4. ∴.△ACM≌△ACE(SAS).∴.AM=AE.:AM=AD+ DM=2AD.∴.AE=2AD 圖日积月累倍长中线法是一种常见的捕助线添加法， 5.解：EF=2AD,EF⊥AD,理由如下：如图，延长AD至点H, 2.证明：如图，延长NO至点P,使 使DH=AD,连接CH,延长FE,AH交于点N.:AD是 △ABC的中线，∴BD=CD.又，∠ADB=∠HDC,AD= OP=NO,连接MP,BP.,O为B0 的中点，∴.BO=CO.在△BOP和 HD,.△ADB2△HDC(SAS),.AB=HC=AE OP=ON. ∠ABC=∠HCD,∴.∠ABC+∠ACB=∠HCD+∠ACB= △CON中， ∠BOP=∠C)N, ∠ACH.:∠BAE=∠CAF=90°，.∠EAF+∠BAC= BO-CO. 180°.，·∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，，.∠BAC+ ,.△BOP≌△CON(SAS),,∴.BP ∠ACH=180°.∴.∠ACH=∠FAE.又：FA=AC CN.,OMON,.∠MOP=∠MON=90°.又OP=ON ∴△FAE≌△ACH(SAS),∴.FE=AH,∠CAH=∠AFE OM=OM..△MOP≌△M)N(SAS).,.MP=MN. ,AH=AD+DH=2AD,,.EF=2AD.,∠FAC=90,即 ,在△BMP中，BM+BP>MP,∴.BM+CN>MN. ∠CAH+∠FAH=90°，∴.∠AFE+∠FAH=90°，即 @关键点拨利用倍长中线法构造全等三角形，使得BM与CN ∠AFN+∠FAN=90°，∴.∠FNA=180°-（∠AFN+ 在同一个三角形中，由三角形的三边关系定理可得结论. ∠FAN)=180°-90°=90°，∴.EF⊥AD. 3.证明：如图，延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.,M 为BC的中点，∴.CM=BM在△AMC和△NMB中， AM-NM. ∠AMC=∠NMB.∴.△AMC≌△VMB(SAS),∴.AC CM=BM. NB,∠C=∠NBM.又，AC=AD,.AD=NB..'AB⊥AE AD⊥AC,,.∠EAB=∠DAC=90°，，∴.∠EAD+∠BAC= 180°，.∴.∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180° AE=BA. 图思路分析由∠BAC+∠EAF=∠BAC+∠ACB+∠ABC= ∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中， ∠EAD=∠ABN,180,可得∠EAF=∠ACB十∠ABC,如果倍长中线AD,使得 AD-BN. DH=AD,可得△ADB≌△HDC,这样就可以将∠ACB+ .△EAD≌△ABN(SAS),.DE=NA.:NA=NM+ ∠ABC转化成∠ACH. AM=2AM,..DE=2AM. 6.证明：如图，过点C作CM⊥AD于点M,过点E作EV⊥ AD,交AD的延长线于点N,则∠CMD=∠END=90°.，D 为CE的中点，.DE=DC在△DCM和△DEN中， ∠CMD=∠END, ∠CDM=∠EDN.,'.△DC≌△DEN(AAS).'.CM=EN. DC-DE. 在R△FEV和R△AMCM中，：R△FNg R△ACM(HI),∴.∠NFE=∠MAC,即∠DFE=∠DAC 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D7. (SAS),.FH=FK,S△H=SAwK.又：'FM=FM.KM= MN+NK=MN+GH=HM=2cm,∴.△FMK2△FMH (SSS),.S△AK=S△AH,.SE边RNy=S△aH十S△nI十 Saw=2Sax=2×号KM·FN=2×号X2X2 4(cm2). 國日积月累过线段的两个端点作过该线授中点的线的垂线，可 以构造两个全等三角形。 7.证明：如图，过点B作BM⊥AD,交AD的延长线于点M,过 点C作CV⊥AD于点N,则∠M=∠CND=∠ANC=90°， :AD为△ABC的中线，.BD=CD.在△BDM和△CDN ∠M=∠CND. 中， ∠BDM=∠CDN,,∴.△BDM≌△CDN(AAS),'.BM= BD-CD. 厨日积月累求不规则五边形的面积，可以由已知条件中的相等 且垂直线段构造两个全等三角形，花五边形面积转化为易求面 CV在△ACN和△EM中，《（CR△ACN≌ 积的三角形面积问题 R△EBM(HI),∴∠CAN=∠BEM.又，∠AEF=∠BEM, 2.证法1：如图1，在AC上截取AE=AB,连接DE.,AD是 ∴∠CAN=∠AEF,即∠CAE=∠AEF ∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD.在△ADE和△ADB AE=AB, 中，∠EAD=∠BAD,∴.△ADE2△ADB(SAS),.DE AD-AD. DB,∠AED=∠B=2∠C.又，∠AED=∠EDC+∠C, .∠EDC=∠C,.CE=DE,,.CE=BD.又'AC=AE+ CE,AB十BD=AC.证法2：如图2，延长AB到点F,使 8.证明：(1)如图，过点E作EMLCF交CF的延长线于点M, AF=AC,连接DF.:AD是∠BAC的平分线，∴·∠FAD= 则∠M=90°=∠C.,BD⊥BC,∴.∠DBF=∠DBC=90°. AF-AC. ,BE LAB,,∴.∠ABE=90,,∴.∠EBM+∠ABC=180° ∠CAD.在△AFD和△AD中，∠FAD=∠CAD,'·△ACD≌ 90°=90°.：∠C=90°，∴.∠A+∠ABC=180°-90°=90°， ADAD. ∠C=∠M, △AFD(SAS),.∠C=∠F.又∠ABC=2∠C ∴∠EBM=∠A.在△ABC和△BEM中，〈∠A=∠EBM, ∴.∠ABC=2∠F.又：∠ABC=∠BDF+∠F,∴∠BDF AB-=BE. ∠F,.BF=BD.又，AB+BF=AF,∴.AB+BD=AC ,.△ABC2△BEM(AAS),..BC=EM.BD=BC I∠EFM=∠DFB. ∴.BD=EM在△EMF和△DBF中， ∠M=∠DBF. EM=DB. ∴.△EMF≌△DBF(AAS),.EF=DF,.F是ED的中点. (2)由(1)得△ABC≌△BEM,△EMF≌△DBF,.S△Mr SM,SaF=Sar.F是ED的中点，.Sr=Sr 图1 图2 256Bn=2Sam∴Sar=2Sr. 3.证明：如图，在FD上截取FG=FE,连接(G.设∠DBC ∠ECB=x,∠FBE=y,则FB=FC,∠A=(2x)°，∠EFB= ∠GFC=∠DBC+∠ECB=(2x)°，在△BFE和△CFG中， FB=FC, ∠BFE=∠CFG.,'.△BFE≌△CFG(SAS),,∴，BE=CG, FE-FG. ∠FCG=∠FBE=y°.：∠GDC=∠A+∠ABD=(2x+ y)”.∠DGC=∠GC+∠FCG=(2x+y)°，∴.∠GDC= 关键点拨已知条件中有两条相等且垂直的线段，往往可以构 ∠DGC..CG=CD,.BE=CD 造全等三角形解决问题. 专题二截长补短模型 1,(I)2解析：由题意知，Sg边形xD=Sr+SAN=S△x十 5a嘿=S=号AC=号×2×2=2(cem.(2)解：如 图，延长MN到点K,使NK=GH,连接FK,FH,FM. :∠G-∠FNM=90°，∴∠FGH=∠FVK=90°.在△FGH翻关锭点拨本题较难.难在辅助线的作法上，考虑铺助线作法 FG=FN, 时，需要从对称的角度来构造全等三角形：本题也可以把 和△FNK中，∠FGH=∠FNK,∴.△FGH≌△FNK△BEF补上一块，构造一个与△FCD全等的三角形，即延长 GH=NK, FE到点P,使得FP=FD,则可以证明△BFP≌△CFD. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D8·