第5章 函数应用 单元巩固卷-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

第5章 函数应用 单元巩固卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 2．（本题5分）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表: 0 1 由二分法求得方程的近似解（误差不超过）可能是（　　） A． B． C． D． 4．（本题5分）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（    ） A． B． C． D．大小关系无法确定 5．（本题5分）函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（本题5分）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．（本题5分）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）给出以下四个方程，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 11．（本题6分）已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．函数恰有3个零点 D．若关于x的方程有2个解，则或 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数的零点位于区间内，则 . 13．（本题5分）已知函数，若关于的方程有4个不等实根，则的取值范围为 . 14．（本题5分）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.为公司从一下函数模型中选择恰当的奖励模型，计算某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为 （万元）. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 16．（本题15分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足． (1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 17．（本题15分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为. (1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. （参考数据:，，） 18．（本题17分）若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 19．（本题17分）若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， (1)求的解析式; (2)求函数在上的2倍倒域区间; (3)若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 函数应用 单元巩固卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【答案】C 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 2．（本题5分）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理结合函数单调性以及和即可得解. 【详解】因为和是上单调递增函数， 所以是上单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线， 又， 故函数的零点所在的区间为. 故选：A. 3．（本题5分）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表: 0 1 由二分法求得方程的近似解（误差不超过）可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，结合所给表格及零点存在性定理判断即可. 【详解】设方程的解为， 因为在定义域上单调递增， 因为，， 所以在区间上存在唯一零点， 即，对比各选项，只有A符合题意. 故选：A 4．（本题5分）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（    ） A． B． C． D．大小关系无法确定 【答案】B 【分析】列出方程后比较大小 【详解】由题意得，则， 同理，则，得， 由指数函数单调性得，即． 故选：B 5．（本题5分）函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据解析式直接判断单调性，利用零点存在性定理判断零点是否存在. 【详解】由在上单调递增，且， 所以函数在区间内的零点个数是1. 故选：B 6．（本题5分）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 7．（本题5分）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．（本题5分）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内， 由题意，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）给出以下四个方程，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将方程的解的个数转化为函数与函数的交点个数，数形结合即可判断. 【详解】对于A：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意； 对于B：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意； 对于C：函数与的图象如下所示： 所以方程有两个实数解，不符合题意； 对于D：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意. 故选：ABD. 10．（本题6分）某工厂年来某产品总产量与时间(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（    ）    A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第年后至第年这种产品停止生产了 D．第年后至第年间总产量匀速增加 【答案】BCD 【分析】根据折线图数据依次判断各个选项即可. 【详解】对于AB，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，A错误，B正确； 对于C，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，C正确； 对于D，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，D正确. 故选：BCD. 11．（本题6分）已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．函数恰有3个零点 D．若关于x的方程有2个解，则或 【答案】ACD 【分析】画出函数的图象，结合偶函数的性质可判断A；结合图象可判断BCD. 【详解】因为为偶函数，且当时，， 且，画出函数的图象如图所示， 对于A，，故A正确； 对于B，如图，的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，令，即， 由函数图象可知，函数与有3个交点， 则函数恰有3个零点，故C正确； 对于D，若方程有2个解， 则函数与有2个交点， 由函数图象可知，或，故D正确. 故选：ACD.    三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数的零点位于区间内，则 . 【答案】2 【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果. 【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增， 易知， 而，所以, 根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点， 所以可得. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数，若关于的方程有4个不等实根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图像，令，数形结合得，的一个根在中，另一个根在中，所以，可得答案. 【详解】函数的图像如图， 关于的方程有4个不等实根， 令， 则的一个根在中，另一个根在中， 所以，可得. 故答案为：. 14．（本题5分）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.为公司从一下函数模型中选择恰当的奖励模型，计算某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为 （万元）. 【答案】1024 【分析】函数过，自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓慢，用平滑曲线连接，满足对数型函数，即可解决. 【详解】由题知，函数过，自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓慢，用平滑曲线连接得 因为 ，增长速度相对平稳， ，增长速度越来越快， ，增长速度越来越慢， 又公司是为了业务发展制定的激励销售人员的奖励方案，增长速度应越来越慢，差距不能太大， 所以函数模型应选， 所以，即，解得， 所以， 当时，，解得， 故答案为：1024 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 【答案】(1)函数无零点，理由见解析 (2)值域为，理由见解析 【分析】（1）令，利用根的判别式判断求解即可； （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数无零点，理由如下： 令， 由于，则方程无实数根， 所以函数无零点. （2）值域为，理由如下： 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以函数在时的值域为. 16．（本题15分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足． (1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 【答案】(1)（万元） (2)当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大 【分析】（1）把已知数据代入收益的算式中，计算即可； （2）设在甲城市投资万元，表示出总收益，通过换元，利用二次函数的性质求最大值成立的条件. 【详解】（1）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元， 所以总收益为（万元）． （2）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元， 总收益为， 依题意得解得． 故． 令，则， 所以， 因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴， 所以当，即时，取得最大值65， 所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元． 17．（本题15分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为. (1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. （参考数据:，，） 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）由，代入已知公式即可求解； （2）设材料更新和技术改进前总质量比为，列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知可得 . （2）设在材料更新和技术改进前总质比为，且，， 若要使火箭的最大速度至少增加，所以， 即，， 所以，解得， 因为，所以， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为. 18．（本题17分）若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 19．（本题17分）若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， (1)求的解析式; (2)求函数在上的2倍倒域区间; (3)若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解； （2）利用的单调性求出a，b，由“倒域区间”的定义即可求解； （3）由题得函数图像与函数的图像有两个交点，对m讨论，利用根的分布求解即可. 【详解】（1）当时，，所以， 为奇函数，所以， 所以. （2）当时，在单调递减， 由题意在内的值域为，且在上单调递减， 所以， 所以a，b为方程的两个不等实根，，且， 所以，所以在上的2倍倒域区间为 （3）由()得，， 所以， 由题得函数图像与函数的图像有两个交点， 当时，的图像开口向上，且过点所以的图像与函数的两段图像各有一个交点， 当时，由得，令，， 所以得又，所以， 当时，由得，令，， 所以得，所以，所以 当时，时由得，时由得方程无解. 当时，的图像开口向下，对称轴， 由题的图像与函数在的图像有2个交点， 由得，令，， 所以不等式组无解. 综上所述存在满足条件. 【点睛】思路点睛：二次项函数的最高项系数含参，需要对参数进行分类讨论；研究函数在某个区间内交点个数可以转换为方程在对应范围内解的个数，在转换为二次项函数在对应期间内与轴交点个数. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$