第4章 对数运算与对数函数 单元巩固卷-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

第4章 对数运算与对数函数 单元巩固卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得答案. 【详解】令，则． 故选：C． 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．（-∞，1） B．（0，1） C．（，1） D．（1，+∞） 【答案】A 【分析】根据对数的运算化简不等式，然后求解可得. 【详解】因为，， 所以原不等式等价于，即. 故选：A 4．（本题5分）若函数在上有意义且不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数底数的取值范围得到且，再设，利用它在区间上有意义且不单调，进一步求的取值范围. 【详解】根据对数底数的取值范围得：且. 设，在区间上不单调，由知开口向下，只需要对称轴，且即可， 所以：，解得. 故选：D 5．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】将代入分段函数的解析式计算即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：C. 6．（本题5分）已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质及对数函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由，得，即， 因为不等式在上恒成立， 所以，即可. 由，得，即， 所以的取值范围为. 故选：A. 7．（本题5分）若，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图象平移判断即可. 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图象为的图象向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 8．（本题5分）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最大值 D．图象关于对称 【答案】CD 【分析】求出的定义域，化简函数的解析式，利用二次函数与对数函数的性质，以及复合函数单调性，判断各选项即可． 【详解】由且，得，即的定义域为， ， 令，，则， 二次函数的图象开口向下，对称轴为， 从而图象关于对称，故D正确； ∵在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， ∴在上单调递增，在上单调递减，故AB错误； ∵，当时，有最大值1，所以有最大值0，故C正确. 故选：CD. 10．（本题6分）已知函数，若存在不相等的实数，b，c，满足且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到，A正确；B选项，由对称性可知，；C选项，求出，，故，得到；D选项，变形得到，结合和对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】A选项，画出与的图象如下： 要想满足，则，A正确； B选项，由对称性可知，，B错误， C选项，令，解得，故， 令，解得，故，而， 所以，故，所以，C正确； D选项，， 其中，而在上单调递减， 所以，，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】3 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 13．（本题5分）若函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解. 【详解】由，可得，即， 且，即， 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 故，定义域为， 因为函数是奇函数， 所以，所以， 经检验，符合题意，所以，， 所以. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，且． （1）时，函数的最小值为 ； （2）若函数的值域为R，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】（1）当，，分别求出和时，函数值的范围，即可求出结果； （2）因为时，的值域为，从而得出是函数值域的子集，即可求出结果. 【详解】（1）当，， 由解析式易知，当时，单调递减，时，单调递增， 所以，当时，，当时，， 故时，函数的最小值为. （2）因为时，的值域为， 所以是函数值域的子集， 故，解得， 所以实数a的取值范围是, 故答案为：（1）；（2）. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）计算下列各式 (1) (2) 【答案】(1)89 (2) 【分析】（1）利用指数运算性质，即可解出； （2）利用对数运算性质和分数指数幂及分母有理化的运算，即可解出． 【详解】（1）. （2）. 16．（本题15分）已知． (1)判断的奇偶性并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，并判断其关于原点的对称性，再由推得奇函数； （2）利用对数函数的单调性将其转化成分式不等式，结合函数的定义域，即可求得不等式的解集. 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 因，故由，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称； 又，故函数为奇函数； （2）由可得，即得且， 解得，，即不等式的解集为. 17．（本题15分）已知为上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，结合奇偶性可得，由此可得结果； （2）根据对数型复合函数单调性和奇偶性可得单调性，将所求不等式化为，由可得结果. 【详解】（1）当时，，， 又为上的偶函数，， 即当时，. （2）当时，为减函数，为减函数， 又为上的偶函数，当时，为增函数； ，可化为， ，当时，，即的取值范围为. 18．（本题17分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 19．（本题17分）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出的值，即可得到解析式，从而得到，结合对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得到在上恒成立且恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为过定点， 所以，解得，所以， 所以， 则，解得，所以的定义域为. （2）因为， 所以不等式在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立且恒成立， 则且在上恒成立， 因为， 且，均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，解得，即的取值范围. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 对数运算与对数函数 单元巩固卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．（-∞，1） B．（0，1） C．（，1） D．（1，+∞） 4．（本题5分）若函数在上有意义且不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（本题5分）已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最大值 D．图象关于对称 10．（本题6分）已知函数，若存在不相等的实数，b，c，满足且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知实数x，y满足，则 ． 13．（本题5分）若函数是奇函数，则 ． 14．（本题5分）已知函数，且． （1）时，函数的最小值为 ； （2）若函数的值域为R，那么实数a的取值范围是 ． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）计算下列各式 (1) (2) 16．（本题15分）已知． (1)判断的奇偶性并证明； (2)解不等式：． 17．（本题15分）已知为上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)若，求的取值范围． 18．（本题17分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 19．（本题17分）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$