第3章 指数运算与指数函数 单元巩固卷-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

第3章 指数运算与指数函数 单元巩固卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，将表示成分数指数幂，其结果是　　 A． B． C． D． 2．（5分）已知函数，且函数图象不经过第一象限，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 3．（5分）函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 4．（5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（5分）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 6．（5分）要得到函数的图象．可以将　　 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 7．（5分）不等式恒成立，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 8．（5分）基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（参考数据　　 A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（6分）对任意，下列结论中不恒成立的是　　 A． B． C． D． 10．（6分）已知函数，则下列结论正确的是　　 A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上为减函数 11．（6分）下列说法正确的是　　 A．函数与的图象关于原点对称 B．函数恒过定点 C．已知命题，，则的否定为：， D．是的充分不必要条件 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）已知函数，且的图像恒过点，则点的坐标是 　　． 13．（5分）若函数是奇函数，则　 　． 14．（5分）函数是定义域为的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）． ①当，时，的取值范围是 　　； ②如果对任意，，都有，，那么的最大值是 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）计算下列各式： （1）； （2）． 16．（15分）已知函数且的图象过坐标原点． （1）求的值； （2）设在区间，上的最大值为，最小值为，若，求的值． 17．（15分）已知指数函数且的图象经过点． （1）求的解析式； （2）令，若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知指数函数的图象过点，． （1）若，求的取值范围； （2）判断在，上的单调性； （3）设，，，试比较，，的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来． 19．（17分）已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． （3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数， 使得式子对一切大于1的自然数都成立， 则称函数为“，上的函数”（其中，． 试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值； 若不是，则请说明理由．（注． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 指数运算与指数函数 单元巩固卷 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，将表示成分数指数幂，其结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：． 故选：． 2．（5分）已知函数，且函数图象不经过第一象限，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，求得的取值范围． 【解答】解：函数的图象经过， 且函数图象不经过第一象限，则，故， 故选：． 3．（5分）函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解． 【解答】解：由函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 当时，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 故选：． 4．（5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分段函数在上单调递减，列不等式组求解即可． 【解答】解：因为函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：． 5．（5分）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质求解． 【解答】解：，， ，， ， 故选：． 6．（5分）要得到函数的图象．可以将　　 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 【答案】 【分析】依据函数图象变换理论，的图象是由的图象向左平移一个单位得到的，的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，对照选项即可作选 【解答】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，得函数的图象 故选：． 7．（5分）不等式恒成立，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 【答案】 【分析】借助指数函数单调性不等式可化为，亦即恒成立，则△，解出即可． 【解答】解：不等式恒成立，即，亦即恒成立， 则△，解得， 故的取值范围是， 故选：． 8．（5分）基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（参考数据　　 A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 【答案】 【分析】把，代入，求出，根据，求出时的取值范围即可． 【解答】解：因为，，， 所以，， 由题意知，，则， 所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要7天． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（6分）对任意，下列结论中不恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根指数幂的运算性质判断即可． 【解答】解：因为，所以成立，成立， 则，均不成立， 故选：． 10．（6分）已知函数，则下列结论正确的是　　 A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上为减函数 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可． 【解答】解：：因为，所以函数的定义域为，故正确； ， 由， 所以函数的值域为，故正确； ：因为， 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于轴对称，故错误； ：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故错误． 故选：． 11．（6分）下列说法正确的是　　 A．函数与的图象关于原点对称 B．函数恒过定点 C．已知命题，，则的否定为：， D．是的充分不必要条件 【答案】 【分析】对于：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；：令，由此确定出所过定点坐标；：通过修改量词否定结论可得结果；：根据与的互相推出情况进行判断． 【解答】解：对于：设上任意一点，，其关于原点的对称点为， 所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故正确． 对于：令，所以，此时（1），所以过定点，故错误． 对于：修改量词否定结论可得，，故正确． 对于不一定能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故错误． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）已知函数，且的图像恒过点，则点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】令，解得，进而求解结论． 【解答】解：令，解得， 此时． 故函数恒过点． 故答案为：． 13．（5分）若函数是奇函数，则　2　． 【分析】利用奇函数的性质即可得出． 【解答】解：函数是奇函数， ， 化为， 上式恒成立，， 解得． 故答案为：2． 14．（5分）函数是定义域为的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）． ①当，时，的取值范围是 　，　； ②如果对任意，，都有，，那么的最大值是 　　． 【分析】①根据是偶函数，图象关于轴对称，结合图象可得的取值范围． ②当时，设抛物线的方程为，求解解析式，根据是定义域为的偶函数，可得的解析式，令，可得对应的值，结合图象可得的最大值． 【解答】解：①根据是偶函数，图象关于轴对称，当，时，值域为，时相同， 可得的取值范围是，． ②当时，设抛物线的方程为，图象过，，，代入计算 可得：，，， ， 当时，． 即． 令，可得．解得：． 结合图象可得的最大值为． 故答案为：，；． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）1． 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化可化简所求代数式； （2）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值． 【解答】解：（1）原式． （2）原式． 16．（15分）已知函数且的图象过坐标原点． （1）求的值； （2）设在区间，上的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】（1）．（2）或3． 【分析】（1）将原点坐标代入即可；（2）分类讨论函数的最值． 【解答】解：（1）且的图象过坐标原点， ，解得． （2）若，则在，上单调递减， ，（1），（1）， 即，解得舍去）． 若，则在，上单调递增， （1），，（1）， 即，解得舍去）． 综上，的值为或3． 17．（15分）已知指数函数且的图象经过点． （1）求的解析式； （2）令，若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）把定点的坐标代入函数解析式，求得值可得的解析式； （2）把代入，由不等式在，上恒成立，可得，换元后利用二次函数求得最值得答案． 【解答】解：（1）且的图象经过点， ，解得． ； （2）， 不等式在，上恒成立， 恒成立，即， 令， ，，，， 函数在，上为减函数， ，则． 18．（17分）已知指数函数的图象过点，． （1）若，求的取值范围； （2）判断在，上的单调性； （3）设，，，试比较，，的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来． 【答案】（1）； （2）函数在，上为增函数； （3）． 【分析】（1）由题可得，然后根据二次不等式的解法及指数函数的单调性即得； （2）利用函数单调性的定义结合指数函数的性质即得； （3）根据指数函数及幂函数的单调性可得，然后利用函数的单调性即得． 【解答】解：（1）过点， ，解得， ， 于是可化为：， 令，则， ，即，解得， 故的取值范围为； （2）由题可知，，，，且， 则， ， ，从而，，，，且， ，从而， ，， ，即， 在，上为增函数； （3）， ， 在，上为增函数， ． 19．（17分）已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． （3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数， 使得式子对一切大于1的自然数都成立， 则称函数为“，上的函数”（其中，． 试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值； 若不是，则请说明理由．（注． 【分析】（1）把点、的坐标代入函数的解析式中，求得、和的解析式； （2）由题意构造函数，根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及的取值范围； （3）根据的单调性，结合题意求得的值， 从而求得的最小值． 【解答】解：（1）点，代入函数的解析式中， 得，两式相比得， ，，，； （2）函数的图象恒在函数图象的上方， 代入，得函数的图象恒在函数图象的上方， 设， 在，上单调递减，在，上单调递减， 在，上为单调递减函数， ， 要使在轴上方恒成立，即恒成立，即； （3）在，上单调递增， （3） ， 的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$