2025年广东省普通高中第一次学业水平合格性考试数学模拟试卷(四)

试卷类型A 2025 第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (四) 本试卷共4 页, 22 小题, 满分150分. 考试用时90分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 (本大题共12小题，每小题6分，满分72分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求) 1. 若集合P= {-1,0, 1, 2} , Q= {x∈N|-1<x<2},}则.P∩Q=( ). A. {-1, 0, 1} B. {0, 1} C. {0, 1, 2} D. {-1, 0} 2. 复数z=2-i (i为虚数单位) 的虚部为( ). A. - 1 B.1 C. i D. - i 3. 函数 的定义域是( ). A. [1, +∞) B. ( - ∞, - 1] C. (1, +∞) D. ( - 1, +∞) 2025年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (四) 第1 页(共4页) 4. 已知函数 则 的值为( ). A. - 1 B 1 C.0 D.2 5. 下列四个函数，最小正周期是的是( ). A. y=sin2x C. y= sin 4x D. y=tan3x 6. “a>b>0” 是 的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 的最小值是( ). A. - 1 C. 8. 已知 则a, b, c的大小关系是( ). A. a<b<c B. c<a<b C. a<c<b D. b<a<c 9. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 则c=( ). A.1 B.2 C. D. 10. 已知 则 tan 2x=( ). A. C. 2025 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (四) 第2页 (共4页) 11. 已知向量 若 ∥, 则 tanθ=( ). B. 12. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想自内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2，6=3+3，=3+5，那么在不超过12 的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概为( ). A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共6小题，每小题6分，共36分) 13. 若函数 为偶函数，则a 的值为 14. 正实数x,y满足 时，则x+y的最小值为 . 15. 已知 且 则 在上的投影的数量为 . 16. 若f(x+1)= (x+3)²,则f(3)= . 17. 已知, 满足 则与的夹角的余弦值为 . 18. 正方体的内切球与外接球的表面积之比是 2025 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (四) 第3页 (共4页) 三、解答题(本大题共4小题, 第19, 20, 21小题各10分, 第22 小题12分, 共42分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 19. 直播购物逐渐走进了人们的生活、某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件. 通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1) 若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元? (2) 每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大? 最大利润是多少? 20. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 [13，14) ，第二组[14，15)，…第五组 [17，18] ，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1) 请估计学校1000 名学生中，成绩在第二组和第三组的人数； (2) 请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数 (所有结果均保留两位小数). 21. 在锐角△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,且 (1) 求角A 的大小; (2) 若a=6, b+c=8, 求△ABC 的面积. 22. 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PC⊥ 底面ABC, AB⊥BC, D 、E 分别是AB、PB 的中点. (1) 求证: DE∥平面PAC; (2) 求证: AB⊥PB. 2025 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (四) 第4页(共4页) 2025 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(四) 一、单选题 1. 【答案】B. 【解析】∵Q= {x∈N| - 1<x<2} = {0,1},∴P∩Q= {0, 1}, 故选B. 2. 【答案】A. 【解析】∵复数z=a+ bi中, a是实部, b是虚部,∴z=2-i中, b =-1, 虚部为-1, 故选 A. 3. 【答案】C. 【解 析】由 题 意 可 得 即 解得x>1,∴定义域为 (1, +∞),故选C. 4. 【答案】B. 【解析】 故选B. 5. 【答案】C. 【解析】A选项，最小正周期为 B选项，最小正周期为 C选项，最小正周期为 D选项，最小正周期为 故选C. 6. 【答案】A. 【解析】∵a>b>0,∴a²>b²成立，充分性满足, 必要性不满足，∴ “a>b>0”是充分不必要条件，故选 A. 7. 【答案】A. 【解析】 又∵ 的值域为[-1, 1],∴函数的最小值为-1，故选 A. 8. 【答案】B. 【解析】 c 故选 B. 9. 【答案】B. 【解析】由余弦定理可得 代入化简可得 解得 c₁=2, c₂ =-1, ∵c>0, ∴c=2,故选 B. 10. 【答案】D. 【解析】∵x∈(-π/2,0),∴sinx<0, ∵cosx 则 故选D. 11. 【答案】B. 【解析】即 sinθ- 则 故选 B. 12. 【答案】B. 【解析】不超过12 的素数有:2,3,5,7,11 共5个，从中随机选取两个， 有: {2,3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11},{3,5}, {3, 7}, {3, 11}, {5, 7}, {5,11}, {7, 11}, 共10种, 其中和为奇数的为: {2, 3}, {2, 5}, {2,7}, {2, 11}, 共4种, ∴和为奇数的概率为 故选 B. 二、填空题 13. 【答案】1. 【解析】∵函数 是偶函数, ∴1-a=0, 解得a=1. 14.【答案】 【解析】 则 当且仅当 时，等号成立. 15.【答案】2 【解析】由题意知a在b上的投影的数量为 16. 【答案】25. 【解析】∵f (x+1) =(x+3)², .. f (3) = 17.【答案】 【解析】设 a与b 的夹角为θ, ∵ |a|=1, ，则a与b的夹角的余弦值为 18. 【答案】1:3. 【解析】设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r， 则可得 ∴外接球的表面积为 内切球的 表面积为 故内切球与外接球的表面积之比为 三、解答题 19. 【解析】 (1) 设每件售价应定为x (40<x<60) 元, 则每件的销售利润为 (x-40) 元,日销售量为 件，依题意得： (x-40) (140-2x)=(60-40)×20, 整理得: 解得: x₁=50, x₂=60(不合题意，舍去). 所以每件售价应定为50元； (2) 设每天的销售利润为w元. 依题意，得：w=(x-40) (140-2x) 整理得： 化成顶点式得 ∴当x=55 时. 每天的销售利润最大，最大利润是450元. 20.【解析】 (1) 成绩在第二组和第三组的频率0.16+0.38=0.54, 所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数: 1000×0.54=540. (2) 样本数据的平均数: a =13.5×0.06+14.5×0.16+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08=15.70, 中位数: 第一二组的频率为1×0.06 +1×0.16=0.22<0.5. 第一二三组的频率为1×0.06+1×0.16+1×0.38 =0.6 >0.5, 所以中位数一定落在第三组， 设中位数为x, 则1×0.06 +1×0.16+(x-15)×0.38=0.5, 解得x≈15.74. 21. 【解析】(1) 由正弦定理可得a=2RsinA, b=2RsinB, 可化为 2sinAsinB = 则 在锐角△ABC中, 64①, 由 (1) 得 由余弦定理可得a² ， 由 ①-②可得3bc=28, ∴bc= 故 22.【解析】 (1) 在△PAB 中, 点 D、E 分别是AB、PB 的中点, ∴ DE∥PA, ∵ DE⊄平面PAC, PA⊂平面PAC, ∴DE∥平面 PAC. (2) ∵PC⊥平面ABC, AB⊂平面ABC, ∴PC⊥AB, ∵AB⊥BC 且 PC∩BC =C, 又∵ PC,BC⊂平面PBC, ∴AB⊥平面 PBC, ∵ PB⊂平面PBC, ∴AB⊥PB. 学科网（北京）股份有限公司 $$