第二十七章 相似（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十七章 相似 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 3．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．18 D．20 4．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 6．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 8．如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，在中，，，，则 ． 12．如图，在边长为的等边三角形中，，，则的长为 ． 13．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 14．如图，，则 ． 15．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 16．如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ． 17．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 18．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求的值． 20．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 21．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，P均为格点． (1)在网格中作图：以点P为位似中心，将的各边长放大为原来的两倍，A，B，C的对应点分别为，，； (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请写出（1）中点的坐标； (3)求的面积． 22．如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． (1)求此时液压撑杆的长； (2)已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 24．图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． (1)如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； (2)如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 25．如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 26．在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， 只有C符合题意， 故选：C． 2．若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 3．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似比为， ， 即， ． 故选：A 4．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 5．如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似图形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 四边形与四边形相似比为3， 四边形的周长是2， 四边形的周长为6， 故选：B． 6．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵、为边的三等分点，， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意，得：， ∴， 当时：则，即， 解得：； 当时：则，即， 解得：； 综上：或； 故选B． 8．如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，，证明，则，，可判断A的正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，C成立，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，A成立，故不符合要求； 设到上的高为，到上的高为， ∴， ∴，D成立，故不符合要求； 当时，， ∵的大小关系不确定， ∴，不一定成立，故B符合要求； 故选：B． 9．如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 10．如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解． 【详解】解：如图，过作于，于， ∴，， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，在中，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为9． 12．如图，在边长为的等边三角形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，相似三角形判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由等边三角形性质，可得，即，由于，所以，即可证明，，代入数值可得的值，从而得出的值 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为， 故答案为：． 14．如图，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，得出，即，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴ 故答案为：6 15．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，过点分别作轴于，轴于，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴于，轴于，   ∴， ∵的位似图形是， ∴点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点的横坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． 先根据平行四边形的性质得到，，再证明，接着证明，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 为中点， ， 即 ， ， ， ． 故答案为：． 17．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由F是的重心，，可得分别为的中点，则，，即；如图，连接并延长，交于，则，可求，然后求解作答即可． 【详解】解：∵F是的重心，， ∴分别为的中点， ∴， ∴，即； 如图，连接并延长，交于，则， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，取中点E，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，可得出，等量代换得出，证明，得出，则点Q在以为直径的圆上运动，故当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∴当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】（1），（2）15． 【分析】（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，代入即可求出的值； （2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝27求出k的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k， ； （2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k， ∵a+b+c＝45， ∴4k+5k+6k＝45， ∴k＝3， ∴a＝12，b＝15，c＝18， ∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝4k，b＝5k，c＝6k进而得出k的值是解题关键． 20．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝2． 【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得； （2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴ , ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 21．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，P均为格点． (1)在网格中作图：以点P为位似中心，将的各边长放大为原来的两倍，A，B，C的对应点分别为，，； (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请写出（1）中点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】本题考查了画位似图形，求三角形的面积，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）找到各点的对应点，然后顺次连接即可； （2）建立平面坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，从坐标系中读出点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图，建立平面直角坐标系， 由图可知； （3）解：． 22．如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，则，又根据，则，从而得出，即可由相似三角形的判定得出结论； （2）根据正方形的性质得，再根据得，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 23．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． (1)求此时液压撑杆的长； (2)已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 【答案】(1)此时液压撑杆的长为； (2)使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． （1）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，利用相似三角形的性质即可求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 答：此时液压撑杆的长为； （2）解：作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， 解得， ∴， ∵集装箱的高为， ∴使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 24．图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． (1)如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； (2)如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 【答案】(1) (2)此时小亮与灯柱的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 答：此时小亮与灯柱的距离为． 25．如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰直角三角形的性质，得到，，角的和差关系推出，即可得出结论； （2）相似三角形的对应角相等，结合8字型图，推出，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴， ∴， 勾股定理得：， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据角直角三角形的特殊关系，求出、、，然后根据勾股定理去求即可； （2）利用两组三角形相似，得到和的关系，然后根据比例的基本性质证明即可； （3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ，， ， 过作于，如图1， ，， ，， ，， ， ， ． （2）证明：，， ∴ ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：延长交于，延长到，使，连接，如图 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于，过作于， ， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$