第二十七章 相似（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 5．如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（   ） A．45° B．50° C．60° D．75° 7．如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 9．如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点E为平面内外一点，连接，和，，分别与交于点F，点G，若，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若，且，则与的周长之比为 ． 12．已知：如图，在中，点在边上，点在边上，要使，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 13．如图，已如△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则 ． 14．已知与相似且面积比为4︰9，则与的相似比为 15．如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 16．如图，在的边上取一点，连接并延长至点，连接．已知，，，，则的值为 ． 17．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 18．如图，点D，E，F分别在的边上，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是 ． 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 20．如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 21．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 22．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 23．如图，在锐角三角形中，点、分别在边、上，连接，于点，于点，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． (1)求此时液压撑杆的长； (2)已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 25．如图，在中，，点从点出发沿线路作匀速运动，点从的中点同时出发沿线路做匀速运动逐步靠近点，设两点运动的速度分别为每秒1个单位长度、每秒个单位长度，它们在秒后于边上的某一点相遇．若以为顶点的三角形与相似，求与的值． 26．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； B、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； C、，这些线段是成比例线段，故该选项正确； D、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； 故选：C． 2．如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， 又∵，，， ， ． 故选：C． 3．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 5．如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，连接BD，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（   ） A．45° B．50° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的性质，相似三角形的性质与判定根据网格的特点，利用勾股定理求得和各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意； B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据重心的性质可得，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得，接着证明，，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，，从而求出，，进而可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 9．如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点E作于点G，过点C作于点H，先证明，得到，，然后在中利用勾股定理求出长，计算得到长，然后利用求出，长，解题即可． 【详解】解：过点E作于点G，过点C作于点H， ∵是矩形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， 故选：D． 10．如图，在中，，，，点E为平面内外一点，连接，和，，分别与交于点F，点G，若，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．利用直角三角形斜边中线的性质可判断②；三角形内角和定理知，可判断①；延长和相交于点，证明，得到，得到，可判断⑤；推出是的垂直平分线，证明，推出，可判断③；利用三角形的外角性质求得，证明，推出，据此可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，且， ∴,说法②正确； 在和中，，， 由三角形内角和定理知，说法①正确； 延长和相交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，说法⑤正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，说法③正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，说法④正确， 综上，①②③④⑤都是正确的， 故选：D． 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 12．已知：如图，在中，点在边上，点在边上，要使，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，则； 由题意可得， 当时，则； 由题意可得， 当时，则； 可添加的条件是或或， 故答案为：（答案不唯一） 13．如图，已如△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则 ． 【答案】4：9 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论． 【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB=2：3， ∴． 故答案为：4：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14．已知与相似且面积比为4︰9，则与的相似比为 【答案】2：3． 【详解】试题分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果． 因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方， 因为S△ABC：S△DEF=4：9，所以△ABC与△DEF的相似比为2：3． 考点：相似三角形的性质． 15．如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 【详解】解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16．如图，在的边上取一点，连接并延长至点，连接．已知，，，，则的值为 ． 【答案】2.3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．由，证明，得到，求出，即可求出． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论，是解题的关键． 分时，得；时，得两种情况． 【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有：，解得， 即当时，； ②当时，，那么有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 18．如图，点D，E，F分别在的边上，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 过点作交于点，证明是的中位线，得，由，得四边形是平行四边形，证明，设，则，然后证明，所以，得，进而可以解决问题． 【详解】解：过点作交于点， ∵点是的中点， ， ， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 20．如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键． （1）过点作的垂线，即可确定点； （2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；    （2）解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 21．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 22．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 23．如图，在锐角三角形中，点、分别在边、上，连接，于点，于点，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理： （1）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明； （2）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， 又， ， ， ，，，， ， ， ． 24．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． (1)求此时液压撑杆的长； (2)已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 【答案】(1)此时液压撑杆的长为； (2)使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． （1）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，利用相似三角形的性质即可求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 答：此时液压撑杆的长为； （2）解：作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， 解得， ∴， ∵集装箱的高为， ∴使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 25．如图，在中，，点从点出发沿线路作匀速运动，点从的中点同时出发沿线路做匀速运动逐步靠近点，设两点运动的速度分别为每秒1个单位长度、每秒个单位长度，它们在秒后于边上的某一点相遇．若以为顶点的三角形与相似，求与的值． 【答案】，或， 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由，可知当以为顶点的三角形与相似，分，两种情况求解作答即可． 【详解】由勾股定理得，， ∴． ∵， ∴以为顶点的三角形与相似，分，两种情况求解； 当时，，如图1， ∴，即， 解得 ，， 由题意知，点的路程为，点的路程， ∴，， 解得，，； 当时，，如图2， ∴，即， 解得 ，， ∴ 由题意知，点的路程为，点的路程， ∴，， 解得，，； 综上所述，以为顶点的三角形与相似时，，或，． 26．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$