第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在中，其内切圆与边切于D，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 9．若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接CE、BF交于点G，连接DG．则tan∠FDG的值为（    ）． A．1 B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如果，那么锐角的度数是 12．计算： ． 13．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 14．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 15．在锐角中， ．（用“”，“”，“”号填空） 16．如图，在中，已知，，，则 ． 17．已知为直角三角形，，，将绕点C逆时针旋转得，连接，则 ． 18．如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为 ． 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．求值： (1)； (2)． 20．如图，在△ABC中 （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 23．如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 24．如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 25．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 26．如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，与相交于点M ，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 2．在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 3．如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，则， 故选：A． 4．如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：由题意，在中，，由三角函数关系可知， （米）． 故选． 5．在中，其内切圆与边切于D，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内切圆的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练应用切线长定理和连接合适的辅助线是解题的关键，设，根据三角形内切圆的性质得出，再作，运用锐角三角函数的定义表示出，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，中，内切圆圆心为， ， ， 设， ， ，， 作垂足为， ， ， 在中，， 即， 整理得， ， ， ． 故选：D． 6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 7．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 8．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，根据轴对称的性质可得，在和中运用三角函数求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】由，得 2cosA-=0，=0， 解得cosA=，tanB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=180°-30°-30°=120°， △ABC是顶角为120°的等腰三角形． 故选B. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键，要熟记特殊角三角函数值． 10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接CE、BF交于点G，连接DG．则tan∠FDG的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则设正方形的边长为,，求得，进而求得，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】如图，过点作于点，则 为的中点，四边形是正方形 设正方形的边长为,, 则 tan∠FDG 故选C 【点睛】本题考查了求正切，正方形的性质，掌握正确的定义是解题的关键． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如果，那么锐角的度数是 【答案】/60度 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 13．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 15．在锐角中， ．（用“”，“”，“”号填空） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，锐角三角形的定义，由是锐角三角形，得，则有，根据正弦的增减性则有，即，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是锐角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 16．如图，在中，已知，，，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于， 则， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知为直角三角形，，，将绕点C逆时针旋转得，连接，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了求角的正切值，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定解题的关键是掌握以上知识点．， 过E作，设，则，表示出，然后利用正切的概念求解即可． 【详解】过E作， 设，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ． 故答案为：． 18．如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H， ∵，， ∴ ∴AG＝AB＝， ∴BG＝， ∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°， ∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°， ∴∠EGD＝∠HDF ∵∠AGB＝∠EGD， ∴∠AGB＝∠HDF， 在△ABG和△HFD中，， ∴△ABG≌△HFD（AAS）， ∴AG＝DH，AB＝HF， ∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°， ∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF， 在△BCM和△FHM中，， ∴△BCM≌△FHM（AAS）， ∴MH＝MC＝CD，BM＝FM， ∴DH＝MH， ∵FH⊥CD， ∴DF＝FM， ∴BG＝DF＝FM＝BM＝， ∴BF＝， ∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形， ∴OM＝，EM＝， ∵BD＝，△BED是直角三角形， ∴EO＝， ∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋， 故答案为：． 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解； （2）由（1）中的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．如图，在△ABC中 （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的一半长为半径画弧，两弧交于两点，再过两点画直线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根据余弦定义可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线DE即为所求； （2）∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9， ∴cos∠C＝＝＝． 【点睛】本题考查基本作图，三角函数定义，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 22．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】西安电视塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：西安电视塔的高度约为． 23．如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是翻折得到的，得到，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，证明，得到，从而求出的长； （2）根据，得到，所以，设，，可得到，，的长，根据，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出，，，的值，代入即可． 【详解】（1）解：∵是翻折得到的， ∴，， ∴， 在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题． 24．如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． （2）解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 25．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，再根据正切的定义可得答案； （2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中， ， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 26．如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，与相交于点M ，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，进而得到； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据判定，即可得出，据此可得； （3）过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，设，，则，，，，，由（2）中的，则为直角三角形，由勾股定理得：，中位线定理可知，求出，，再求出，因此的值． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵，F为的中点， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）解：过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，如图所示： 设，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵F为的中点， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵F为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$