第三章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第3章 圆 （B卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．已知的直径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 2．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 6．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 7．如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 8．如图， 、 是 的两条弦， ，，、 的延长线相交于点 ， 若， 则的半径是（     ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是 ． 10．如图，五边形为的内接正五边形，则 ． 11．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 13．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 16．如图，是的外接圆，是的直径，与交于点E，P是延长线上一点，，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 17．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 18．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，的直径为，求的长． 19．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 20．如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E． （1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小； （2）如图2，若点B恰好是中点，求证：； （3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆 （B卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．已知的直径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外，本题据此可得答案． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 根据点P到圆心的距离大于圆的半径，则点P在圆外． 故选：A． 2．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 3．如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，弧与圆心角之间的关系，根据，则可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：C． 4．如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 6．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【详解】、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理，掌握圆的切线垂直经过切点的半径以及切线长定理是解题的关键． 7．如图，边长为2的菱形绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，再证明，得到是等边三角形，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是边长为2的菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， 故选C． 8．如图， 、 是 的两条弦， ，，、 的延长线相交于点 ， 若， 则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，过点作于点，根据已知得出是等腰直角三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，连接，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作，过点作于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，连接， ∴ ∴, ∴，则 同理可得 ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴即的半径为 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆的有关性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，连接，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∴， 解得， 故答案为：． 10．如图，五边形为的内接正五边形，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系是正确计算的前提． 【详解】解：如图，连接、， ∵五边形为的内接正五边形， ∴， 由圆周角定理可得：， 故答案为：． 11．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 12．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，连接，由圆周角定理可得，得到，即可得动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，可知当在一直线上时，的值最小，利用勾股定理求出即可求解，根据题意找出当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为直径作， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∵， 当在一直线上时，的值最小， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 13．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，余角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，设与交于点，过作于，连接，由线段垂直平分线的判定和性质可判断①；证明，得到，再根据可判断②；证明得到，由可得，根据不一定与相等即可判断③；证明四边形为矩形可得，由三角形中位线可得，即可得，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与交于点，过作于，连接，如图， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴和关于对称，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵不一定与相等，故③错误； ∵是中点， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得即可求解． （2）由（1）为半径，即可求出直径． 【详解】（1）解：连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得，如图所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点P的坐标为：， 故答案为：． （2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴圆的直径为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键． 16．如图，是的外接圆，是的直径，与交于点E，P是延长线上一点，，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，首先由直径得到，然后根据等边对等角和角度的等量代换得到，进而求解即可； （2）首先证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵是的直径， ∴ 即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∵是的半径 ∴是的切线； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴的直径是6． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边对等角等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角． 17．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，的直径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论． （2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 在中，， ∴，经检验是原方程的解，且符合题意． ∴的长为． 19．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 20．如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E． （1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小； （2）如图2，若点B恰好是中点，求证：； （3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由； 【答案】（1）70°；（2）见解析；（3）是定值， 【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB=CE，则可得出结论； （3）由折叠的性质可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB=NQ=MN，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴∠CAB=∠CDB=40°， ∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α， ∴α=×(180°−40°)=70°； （2）证明：∵点B是的中点， ∴， ∴∠DCB=∠A， ∵∠ABC=∠CBE， ∴△BCE∽△BAC， ∴， ∴BC2=BE•BA， ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A， ∴∠ABC=∠ACB=∠BEC， ∴CB=CE， ∴CE2=BE•BA； （3）是定值，． ∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN， ∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r， ∴∠MCN=2∠ACB=2α， 如图3，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°， 连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°， ∵， ∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α， 在△ABP和△NQC中 ， ∴△ABP≌△NQC（AAS）， ∴AB=NQ=MN， ∴，为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$