第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 （B卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 2．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（    ）． A． B． C． D． 7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 8．如图，正方形边上有一点，延长线上有一点F，连、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知为锐角，且，则 °． 10．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 11．如图，在中，．过点D作，垂足为E，则 ． 12．在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    13．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算：． 15．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和度．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 16．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形． 17．如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF． (1)求EF的长； (2)求sin∠CEF的值． 18．（1）如图，在中，连接，，，，求的面积． （2）如图，等腰三角形的顶角为，腰长为，求它的底边长． 19．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）     20．如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系 （B卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据30°的正切值直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 故选：A． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可． 2．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 4．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【详解】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 5．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 6．如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 8．如图，正方形边上有一点，延长线上有一点F，连、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，则，设，，则，由正方形的性质可得，，证明得出，，再证明得出，再由勾股定理得出，求出，即可得解． 【详解】解：如图：作交于，连接，则， ， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知为锐角，且，则 °． 【答案】60 【分析】根据特殊的三角函数值即可解出． 【详解】解： ∵ ． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键． 10．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．如图，在中，．过点D作，垂足为E，则 ． 【答案】 【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出． 【详解】∵， ∴△ADE为直角三角形， 又∵， ∴ , 解得DE=4, 在Rt△ADE中，由勾股定理得： , 又∵AB=12, ∴ , 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=12,AD=BC=5 在Rt△DEC中，由勾股定理得： , 过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图 在△EBC中： S△EBC= ; 又∵S△EBC ∴ , 解得, 在Rt△BFC中， , 故填：． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高． 12．在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    【答案】55 【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：55．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． 13．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 15．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和度．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 【答案】米 【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可． 【详解】解：由已知，得，，， ，于点． ，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 答：建筑物、间的距离为米． 【点睛】解决本题的关键是利用为直角斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出与的长． 16．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形． 【答案】∠A＝60°，，c＝40 【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素． 【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°， ∴∠A＝90°-30°＝60°， ， ∴， ∴c＝40， 由勾股定理知， ∴， 解得：． 【点睛】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边． 17．如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF． (1)求EF的长； (2)求sin∠CEF的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长; (2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案. 【详解】（1）设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴，， ∴， ∴， 在中，. （2）过F作FM⊥BC于M， ∴∠FME=∠FMC=90°， 设EM=a,则EC=3-a， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ . 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 18．（1）如图，在中，连接，，，，求的面积． （2）如图，等腰三角形的顶角为，腰长为，求它的底边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查解三角形，等腰三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及正弦函数得出，再由勾股定理确定，即可求解； （2）根据等腰三角形得出，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理确定，即可求解． 【详解】解：（1）∵， 在中，∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）∵等腰三角形的顶角为， ∴， 过点A作，如图所示： ∵腰长为， ∴， ∴， ∴． 19．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 20．如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$