第一章 直角三角形的边角关系（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．的相反数是（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．在中，，，，那么的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，将沿翻折得到，的对应边交于点，且，则的值为（    ）    A．0.5 B． C． D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知为锐角，且，则的值为 ． 10．在中，，如果，，那么 ． 11.如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 12．在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）      13．如图四边形 ，则 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算： 15．已知：如图，在中，求的值． 16．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，） (1)求货船到A的距离（结果精确到1米）； (2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由． 17．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 18．某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 19．已知：如图，中，，，点D为线段延长线上一动点，点E为点D关于直线的对称点．连接，． (1)求证：． (2)连接，若，且，求的值． 20．如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．的相反数是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解． 【详解】解：， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：B． 2．如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 3．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据正切的定义可得米． 【详解】解；在中，米， ∴米， 故选：C． 4．在中，，，，那么的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的余弦值，结合，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， 则 故选：D 5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 6．如图，在矩形中，将沿翻折得到，的对应边交于点，且，则的值为（    ）    A．0.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质结合，得到是等腰直角三角形，设，则，证明，得到，进而求出，由，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 由折叠的性质得，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰指甲三角形的性质，三角形全等的判定与性质，求正切值，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果． 【详解】解：根据题意作图如下： 由题意知：AB=m，∠A=， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键． 8．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知为锐角，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角函数，先得出，再设，，求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示：设，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在中，，如果，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，利用直角三角形的边角间关系，可得结论． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：8． 11．如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 12．在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）      【答案】 【分析】此题考查直角三角形的问题，先求出的长度，过作与，在中，求得，在中，求得，于是得到结论，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， 在的中点处， ， 如图，过作于， 在中， ， 在中，， ， 故答案为：， 13．如图四边形 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得、是解题的关键． 过点D、B分别作，，垂足分别为E、H，，设，易得，根据勾股定理得出，再得出，根据得出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D、B分别作，，垂足分别为E、H， 设， ∵在中，， ， ∴，， ∴则， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵，                                   ∴， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，与图形不符舍去． ∴． 故答案为． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算： 【答案】 【分析】根据幂的运算、绝对值的意义、零次幂的意义、特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算、绝对值的意义、零次幂的意义、特殊角的三角函数值的相关知识点． 15．已知：如图，在中，求的值． 【答案】 【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得． 【详解】解：在中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键． 16．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，） (1)求货船到A的距离（结果精确到1米）； (2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由． 【答案】(1)货船到A的距离为58米 (2)货船能行驶到码头所在线段上 【分析】（1）过点C作于M，在Rt△ACM中，根据sin45°解得CM的长，则AM=CM，在Rt△CPM中，∠CPM=∠PCB∠A=30°，根据tan30°求出PM的长，再根据AP=AM+PM即可得到答案； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ=AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可． 【详解】（1）过C作于M， 由题可得：，，， 在中，， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴AP=AM+MP=（米）， 答：货船到A的距离为58米； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N， 在中，， ， ∴， ∴AN=， 在中．， ， ∴， ∴， ∴货船能行驶到码头所在线段上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 17．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 18．某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． 19．已知：如图，中，，，点D为线段延长线上一动点，点E为点D关于直线的对称点．连接，． (1)求证：． (2)连接，若，且，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】连接，延长交与点G，设，则，利用轴对称得，则，即可判定平行； 设，则，，有，根据等腰三角形的性质得，则，结合对称得，由三角形内角和定理求得，即可解得． 【详解】（1）解：连接，延长交与点G，如图， ∵， ∴设， ∴． ∵点E为点D关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∵点E为点D关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴，即，解得， 则． 20．如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）设，则，，根据，即可求解，再根据60度角的正切值为即可得到答案； （2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据 ，即可证明； （3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解； 【详解】（1）解： 设，则， ∴， 又，， ∴； （2）解：如图所示，取中点，连接； ∵， ∴， ∵， ∴点F为的中点，， 为中位线， ，且 ， ， ， ， ∴； （3）解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下： ，平分， ， 设，则，， ， ， ， ， 是三个内角分别为，， 如图，作的平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ，平分 ， 平分 当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等， ，， ，， 平分 平分 在中， 在中，， ， 由对称性可知， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$