北京市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第-学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 5. 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 6. 已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A. B. C. D. 10. 如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是__ 12. 二项式的展开式的常数项是___________． 13. 设、为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 15. 如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下. 给出下列四个结论： ①点处于的控制下； ②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下； ③若处于的控制下，则； ④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 17. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为． （1）求椭圆的方程． （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－．证明：点D在x轴上． 18. 设，分别为椭圆：的左、右焦点，斜率为直线l经过右焦点，且与椭圆相交于，两点． （1）如果线段的中点在轴上，求直线的方程； （2）如果以为直径的圆过点，求直线的斜率． 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 20. 已知圆：. （1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 2024-2025学年度第-学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】x+y-4=0 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 设，则， 所以直线BM的斜率为， 直线AN的方程为， 因为直线BD，BM的斜率的积为， 所以直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 联立方程组，解得， 因为点M在椭圆C上，所以， 则，所以点D在x轴上． 【18题答案】 【答案】（1）； （2）． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）或 （2）存在圆：，使得. 【21题答案】 【答案】（1） （2） 解法一：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $