四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024-2025学年四川省成都市东部新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1．（4分）如果，则　　 A． B． C． D． 2．（4分）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为　　 A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 3．（4分）如图，△中，点、分别在、边上，则下列条件中，不一定能使△△的是　　 A． B． C． D． 4．（4分）某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 5．（4分）如图，在△中，点、分别在、边上，且，若，，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 6．（4分）△△，且，若△面积为4，则△的面积是　　 A．4 B．6 C．9 D．18 7．（4分）是线段上一点，且满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点，求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 8．（4分）如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 9．（4分）若线段、、、是成比例线段，且，，，则　　． 10．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 11．（4分）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　　． 12．（4分）菱形的交于，，，则　　，面积　　． 13．（4分）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则　　． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）解方程： （1）； （2）． 15．（8分）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． （1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 　　，在扇形统计图中，的值为 　　； （2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？ （3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学、、、中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出同学参加的概率． 16．（8分）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 17．（10分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且． （1）求点坐标及直线的解析式； （2）为轴上一个动点，当时，求点坐标； （3）为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 19．（4分）若是方程的一个根，则的值为 　　． 20．（4分）如图，过矩形的对角线上一点分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是　　；（填“”或“”或“” 21．（4分）关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 　　． 22．（4分）如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，△的面积为，△的面积为，△的面积为，则　　． 23．（4分）如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则　　． 二.解答题（本大题共3个小题，共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 25．（10分）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图1，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图2，当四边形为平行四边形时，试问（1）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图3，已知，为的中点，，，，若，求的长． 26．（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，过点的直线交轴正半轴于点． （1）求点坐标； （2）如图1，点为线段上一点（不与点、重合），连接，过点作交于点，连接，设点横坐标为，△的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，点第四象限内一点，连接、、，且轴，，点在线段上，延长至点，使，连接，若，，求点的坐标． 2024-2025学年四川省成都市东部新区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1．（4分）如果，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ． 故选：． 2．（4分）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为　　 A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 【解答】解：解方程，得， 当底为6，腰为3时，由于，不符合三角形三边关系 等腰三角形的腰为6，底为3 周长为 故选：． 3．（4分）如图，△中，点、分别在、边上，则下列条件中，不一定能使△△的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 、若添加，可利用两角法判定△△，故本选项错误； 、若添加，可利用两角法判定△△，故本选项错误； 、若添加，可利用两边及其夹角法判定△△，故本选项错误； 、若添加，不能判定△△，故本选项正确； 故选：． 4．（4分）某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设该旗杆的高度为 ，根据题意得，， 解得． 即该旗杆的高度是． 故选：． 5．（4分）如图，在△中，点、分别在、边上，且，若，，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 6．（4分）△△，且，若△面积为4，则△的面积是　　 A．4 B．6 C．9 D．18 【解答】解：△△，且，△面积为4， ， △的面积是9． 故选：． 7．（4分）是线段上一点，且满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点，求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 为的黄金分割点， ，即， 故选：． 8．（4分）如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， 根据作图过程可知： 是的垂直平分线， ，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项正确，不符合题意； 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项错误，符合题意， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 9．（4分）若线段、、、是成比例线段，且，，，则　　． 【解答】解：线段、、、是成比例线段， ， 即， ， 故答案为：． 10．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， 故答案为：． 11．（4分）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 　　． 【解答】解：捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为，可得：； 解得：， 捞到草鱼的概率为， 故答案为：． 12．（4分）菱形的交于，，，则　24　，面积　　． 【解答】解：菱形中，对角线，相交于点， ， ，， ，， ， 菱形的面积， 故答案为：24；120． 13．（4分）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则　　． 【解答】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为，宽为， 小矩形纸片与原矩形纸片相似， ， 又，， ，即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 或， 所以，； （2）， ， 或， 所以，． 15．（8分）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． （1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 　40　，在扇形统计图中，的值为 　　； （2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？ （3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学、、、中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出同学参加的概率． 【解答】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为（人， 则选择“书画展览”的人数为（人， 在扇形统计图中，， 即， 故答案为：40，30； （2）估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有（人； （3）列表如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中同学参加的有6种结果，所以同学参加的概率为． 16．（8分）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 【解答】解：（1）设敏敏的影长为公分． 由题意：， 解得（公分）， 经检验：是分式方程的解． 敏敏的影长为100公分． （2）如图，连接，作． ， 四边形是平行四边形， 公分， 设公分，由题意落在地面上的影从为120公分． ， （公分）， （公分）， 答：高圆柱的高度为330公分． 17．（10分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ，， ， ， ． （2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 由（1）可知，， 又，， ， ， ， ， ， ， ； ． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且． （1）求点坐标及直线的解析式； （2）为轴上一个动点，当时，求点坐标； （3）为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标． 【解答】解：（1）令，则， ， ， ， ， ，， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）设， 当点在点右侧时，如图1， 过点作交延长线于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， ，； 当点在点的左侧时，如图2， 同理可求， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为，或； （3）设，， 当为菱形的对角线时，， ， 解得， ，； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ，或，； 当为菱形是对角线时，， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述：点坐标为，或，或，或． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 19．（4分）若是方程的一个根，则的值为 　2024　． 【解答】解：由题意得： 把代入中得： ， ， ， ， 故答案为：2024． 20．（4分）如图，过矩形的对角线上一点分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是　　；（填“”或“”或“” 【解答】解：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积的面积， ． 故答案为：． 21．（4分）关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 　17　． 【解答】解：一元二次方程有两个实数根， △，， 解得：，； 分式方程有正整数解， ， ， ， ， 整理得：， 满足条件的值有：1，6，11， 当时，（舍去）， 则其和为：． 故答案为：17． 22．（4分）如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，△的面积为，△的面积为，△的面积为，则　128　． 【解答】解：， △△， ， ， ， ， △的面积为， ， 则． 经检验是原方程的解， 故答案为：128． 23．（4分）如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则　　． 【解答】解：过点作于点，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值为4， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 当最小时，则． 故答案为：． 二.解答题（本大题共3个小题，共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【解答】解：（1）设售价应定为元， 由题意可得：， ， 解得：，， 更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为40元； （2）设这两周的平均增长率为， 由题意：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 25．（10分）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图1，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图2，当四边形为平行四边形时，试问（1）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图3，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1， 结论仍然成立，理由如下： 以为圆心，为半径画弧，交于，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2， 取的中点，连接，作，交的延长线于点， ，是的中点， ，是梯形的中位线， ，，，， ， ， 设，则，设，，则， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ①， 在中，由勾股定理得， ， ②， 由①②得， ，， 或5， ， ． 26．（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，过点的直线交轴正半轴于点． （1）求点坐标； （2）如图1，点为线段上一点（不与点、重合），连接，过点作交于点，连接，设点横坐标为，△的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，点第四象限内一点，连接、、，且轴，，点在线段上，延长至点，使，连接，若，，求点的坐标． 【解答】解：（1）在中，当时，， ． 当时，， ． 直线经过点， ， ， 在中，当时，， 点坐标为； （2）， ， ， ， ， ， ， △△， ， 设， ， ， ； ； （3）过点作交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，作于点，连接并延长交轴于点， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， ， 设， ，， ， ， △△， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， 即， 解得， ， 作交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 同理，直线的解析式为， ，， 是△的中位线， ， ， ，， △△， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， △△， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$