四川省成都市成都七中万达学校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

成都七中万达学校2024-2025学年度上期高2024级半期考试 数学试卷 满 分: 150分 时 间：120分钟 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（   ） A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 3．下列各组函数表示同一个函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为6 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．幂函数在上为减函数，则的值为2 D．若不等式的解集为或，则 11．根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（    ） A．若，在为增函数 B．若，，方程一定有4个不同实根 C．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8 D．若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12．已知函数且，则实数的值为 . 13．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知全集，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16．定义在上的函数满足，且当时，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性； 17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 18．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记． (1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围； (3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值． 19．设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． (1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； (2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）； 并证明：都有． ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2024级半期考试数学试卷解析 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，故. 2．十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（   ） A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 【答案】D【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为： 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解. 3．下列各组函数表示同一个函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 故函数不是相同函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数不是相同函数； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数不是相同函数； 对于D，两函数的定义域都是，又，所以函数表示同一个函数. 4．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】根据题意作出函数的示意图， 由，可得，由，可得，解得， 所以不等式的解集为.故选：C. 5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的增函数，所以有， 6．下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误， 对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误， 对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，又，所以，故C正确， 对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误. 7．已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】函数， 当时，，则，则， 函数在的值域记为， 对任意的，存在，使，则， ①当时，，则，则； ②当时，因为，则，则，所以，，解得； ③当时，因为，则，即， 所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是. 8．已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，； ①若时，函数在区间上单调递减，则，即， 那么，当时，，， 由题意可得，则有，解得，此时，； ②当时，且当时，，则，，成立，此时； ③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，， 由题意可得，则有，解得，此时.综上所述，. 二、多选题 9．已知，则（    ） A． B．C． D． 【答案】AB【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以，所以，故选项B正确， 对于选项C，取时，满足， 此时，，，故选项C错误， 对于选项D，当时，，，此时，故选项D错误， 10．下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为6 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．幂函数在上为减函数，则的值为2 D．若不等式的解集为或，则 【答案】BD 【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增， 当时，，所以的最小值为 ，故A错误； 对于B，，，则函数的定义域为，故B正确； 对于C， ，且，解得 ，故C错误； 对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且， 由韦达定理：  ，  ，  ，D正确； 11．根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（    ） A．若，在为增函数 B．若，，方程一定有4个不同实根 C．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8 D．若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【详解】解：，当，则 ，易知在为增函数， 则在为减函数，故A错误． 设，又为奇函数，则，即是偶函数，当时，的图象如图， 所以，方程一定有4个不同实根，故B正确; 易知在为奇函数，则， 又，所以．故C正确． 由，得，整理得：，即恒成立． 当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意； 当时，，因为在上的最小值为2，所以，即，解得或舍去．综合可得：．故D正确． 三、填空题 12．已知函数且，则实数的值为 . 【答案】13或. 【详解】函数若，当时，，解得，符合； 当时，，解得（舍去）或，综上可得或. 13．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】【详解】根据题意得，则，当且仅当即且时等号成立， 因为不等式恒成立，所以，即，解得. 14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，，所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以，所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数，当时，即时，有， 由，可得，所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或，综上可得，不等式的解集为. 四、解答题 15．已知全集，集合. (1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，(2) 【详解】（1）当时，，或， 因为，所以或，. （2）若“”是“”的充分不必要条件，满足，当时，即，此时，满足， 当时，则，解得，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 16．定义在上的函数满足，且当时，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数在上的单调性； 【答案】(1)，，偶函数(2)函数在上单调递增，证明见解析 【详解】（1），，，又，即， ，，其定义域为，且满足，函数为偶函数； （2）函数在上单调递增．证明：令，则， ，，在上单调递增． 17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元） 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）当时，，当时，取最大值，（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）. 18．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记． (1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围； (3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：由题意可得，（2）恒成立， 即对任意的恒成立，所以，解得，； （2）解：因为，所以， 因为，，所以，时，； ①当时，，所以，又因为，所以； ②当时，，所以， 因为，，所以，，所以上式不成立； 综上可知，的取值范围是； （3）由（2）知，且， 即， 所以当时，，所以（1）， 当时，， ①当时，又，即时，； ②当时，即时，（6）； 综上，，，， 由，解得时，； 由，解得时，； 当，即时，（6）； 综上． 19．设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． (1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； (2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析 【详解】（1）依题可知， 当时．则， ， 为奇函数，， . （2）①证明：当时， ， . ②当时且单调递增， 在上单调递增， ， 即，即， 同理可得， 将上述两个不等式相加可得． 原不等式成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$