第3章不等式单元测试-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第3章 不等式 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（    ） A．最大值为 B．的最大值为 C．最大值为 D．最小值为 3．设，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，且，则ab可以取的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．12 8．已知，，则对于 （    ） A．取得最值时a＝ B．最大值是5 C．取得最值时b＝ D．最小值是 三、填空题 9．已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为 ． 10．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 11．若，则当 时，的最大值 ． 12．不等式的解集为 ． 四、解答题 13．某市为迎接国庆节提出的文化强国建设的号召，市政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S的矩形CDEF文化园展厅，如图点C、D在底边AB上,E、F分别在腰OB、OA上，已知米，米，米，． （1）试用x表示S，并求S的取值范围； （2）若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化图中阴影部分的每平方米造价为（k为正常数），求总造价W关于S的函数，并求当OE为何值时总造价W最低． 14．已知，解关于的不等式. 15．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0． (1)若此不等式的解集为，求实数a的值； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式． 16．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B D A CD AD 1．D 【分析】结合题意，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 2．D 【分析】首先确定的取值范围，将代入ABC的所求式中，结合的范围可得所求式的范围，知ABC错误；根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可知D正确. 【详解】由得：； 对于A，， ，，不存在最大值，A错误； 对于B，， ，，不存在最大值，B错误； 对于C，， ，，不存在最大值，C错误； 对于D，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为，D正确. 故选：D. 3．B 【分析】由，取特殊值，令时，分别代入比较即可判断ACD选项，根据不等式关系的性质，即可判断B选项. 【详解】由题可知，， 对于A，令时，则，则，故A选项错误； 对于B，由于，不等式两边同乘以，可得，故B选项正确； 对于C，令时，，故C选项错误； 对于D，令时，则，则，故D选项错误. 故选：B 4．B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 5．D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 6．A 【分析】利用基本不等式求得，然后第二次利用基本不等式求得最小值. 【详解】解：因，则， 由均值不等式知（当且仅当即时取等号）， 得； 则； 不等式（2）当且仅当且，即时取等号， 不等式（1）当且仅当，即时取等号； 故时，. 故选. 另解：因则， 而， 即（当且仅当，即取等号）； 则； 不等式（1）和（2）分别当且仅当和时取等号，即当时，. 故选：. 7．CD 【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，利用换元法，解二次不等式即可求解. 【详解】, ，当且仅当，即时等号成立， 此时有，，设， 则，解得，，得或（舍去）， 故，即 故选：CD 8．AD 【解析】根据条件，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且， 则， 当且仅当且，即时，等号成立. 故选：AD 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9．或 【分析】根据已知条件求得，解一元二次不等式求得正确答案. 【详解】由于二次函数的零点为和1， 所以，解得， 则不等式，即， ，解得或， 所以关于x的不等式的解集为或. 故答案为：或 10． 【分析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得的范围. 【详解】由不等式，即，解得或， 解方程，解得或， 1.若，即时，不等式的解集为，不合题意； 2.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 3.若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有1个整数解，则，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 11． /0.25 /0.375 【分析】先求的取值范围，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由得，，， 因为，，所以利用基本不等式可得， 整理得，即，当且仅当即时，等号成立， 所以. 故当时，的最大值为. 故答案为：；. 12． 【分析】结合对应二次函数的图象和性质，分析即得解 【详解】由题意 即 令， 对应的二次函数开口向上， 故不等式的解集为. 故答案为： 13．（1），；（2），为18米时，总造价最低． 【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求形文化园展厅占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围； （2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题． 【详解】解（1）由题意，， ， ． 故， （2）由题意，每平方米造价为，绿化图中阴影部分的每平方米造价为， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当为18米时，总造价最低． 14．答案见解析 【分析】化简不等式为，解得方程的两个根为，结合根的大小分类讨论，即可求解. 【详解】由不等式， 即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 15．(1)a＝﹣2 (2)答案不唯一，见解析 【分析】（1）根据不等式的解集，可得方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣，代入即可得答案. （2）分别讨论a＜﹣1、a＝﹣1、﹣1＜a＜0、a＝0和a＞0几种情况，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为， ∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，﹣； ∴﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣2； （2）当a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0； 若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜； 若a＝﹣1，则＝﹣1，解得不等式为； 若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1； 当a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1； 当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0， ∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞； 综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}； 当a＝﹣1时，不等式的解集为； 当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}； 当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}． 16．(1) (2)（i）答案见解析； （i i） 【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$