精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年九年级上学期第二次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各种现象属于中心投影的是（ ） A. 阳光下沙滩上人的影子 B. 晚上人走在路灯下的影子 C. 中午用来乘凉的树影 D. 阳光下旗杆的影子 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上方看得到的视图．找到从上方看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该锥形瓶的俯视图的底层是： 故选：C． 3. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，列式计算即可． 本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：D． 4. 对于实数、，定义运算“”：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据题目所给的定义对方程进行变形后求出的值，再判断根的情况即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：． 5. 如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 6. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解:∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=3． ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=﹣x2，y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6． 故选A． 7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 则：，即 解得： 故选：B． 8. 已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一元二次方程的负根是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解二元一次方程，熟练掌握用因式分解法解二元一次方程的方法是解题的关键．用因式分解法求出该方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ∴负根是． 故答案为：． 10. 一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共个，每个小球除颜色外其他完全相同．将箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红色小球．估计箱子里红色小球的个数为____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是（个）， 故答案为：． 11. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义，正确地作出辅助线成为解题的关键． 如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点A作轴，连接， ∵垂直于轴于，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，即， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：9． 13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 延长交于点，同角的余角相等可得，证明，利用相似三角形的性质得到证∽，利用相似三角形的性质得到，进而得到 ，再利用勾股定理求出，以此即可求解． 【详解】解：如图， 延长交于点， ∵四边形为矩形， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ，即， ， ， ， 即 ， ， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：2x2+3=7x． 【答案】x1=，x2=3． 【解析】 【分析】移项后得到2x2-7x+3=0，然后分解因式得到（2x-1）（x-3）=0，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】∵2x2+3=7x， ∴2x2﹣7x+3=0， ∴（2x﹣1）（x﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或x﹣3=0， ∴x1=，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程. 15. 已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式； （2）当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）把，代入解析式求出对应的R即可． 【小问1详解】 解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 由图象知，函数图象过点， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当该电动车的工作电流为时，此时的电阻值为． 16. 10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【答案】 解：三视图如图所示： 【解析】 【分析】本题考查画三视图，根据主视图就是从正面看得到的图形；左视图就是从左面看得到的图形；俯视图就是从上面看得到的图形画图即可，也是解题关键． 【详解】略 17. 如图，在中，点P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作点Q，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了作图——相似变换，掌握相似三角形的判定是解题关键． 根据做一个等于已知角的作图方法，在的内部，作，与交于点Q，根据为公共角，即可使得． 【详解】略 18. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用矩形的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件推出角相等，最后通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】略 19. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门劳动实践课程，分别是：绿植栽培，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹饪，且每人只能参加一门实践课程． （1）九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为________； （2）九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可； （2）画出树状图求解即可； 【小问1详解】 解：王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即，， ∴他们选择的实践课程相同的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，点、、的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与位似，且与的相似比是；（点、、分别与点、、对应） （2）在（1）的条件下，点的坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中作位似图形，掌握关于原点为位似中心的两个图形的坐标比等于相似比（原点同侧）或（原点异侧）是解题的关键． （1）根据题意作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）观察图形写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为． 故答案为：． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， 22. 如图，是一块长为，宽为的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为，则剪去正方形的边长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，剪去正方形的边长为，根据题意列出方程即可求解，根据题意弄清图形变化前后边长的数量关系是解题的关键． 【详解】解：剪去正方形的边长为， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：剪去正方形的边长为． 23. 位于陕西省咸阳市永寿县的武陵寺塔，是一座历史悠久的标志性建筑，这座八棱七层的砖塔，展现了北宋时期的建筑风格．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量武陵寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如表： 课题 测量武陵寺塔的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案示意图 说明 如图，在地面上取、两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为．从处后退到处，发现，，三点在一条直线上；同一时刻，标杆在阳光下的影子端点与塔的影子端点重合于点，且．已知、、、、在同一水平线上，，，，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案及其数据求出武陵寺塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，首先得到，，进而求得，利用即，即可得出高度． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：武陵寺塔的高度为． 24. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴矩形是正方形． （2） 证明：， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先根据矩形的性质、平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据正方形的判定即可得证； （2）先根据四边形的内角和可得，从而可得，再根据正方形的性质可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． （1）求反比例函数的表达式及点、的坐标； （2）观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； （3）若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点B的坐标，矩形的性质可求点M的纵坐标，点N的横坐标，把点M的纵坐标、点N的横坐标代入直线解析式可求点M的横坐标、点N的纵坐标，把点M的坐标代入反比例函数解析式即可求出k，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的3倍”可求点P的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得： 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． 【小问2详解】 解：当时，的解集为或． 【小问3详解】 解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为________； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，连接， ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， 同理可得， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）存在，运输轨道的最小值为千米 【解析】 【分析】（1）依题意，当时，取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解； （2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，，证明，即可求解． （3）同（2）的方法证明得出，，则当时，最小，此时是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，取得最小值， 如图所示，过点作， ∵在菱形中，， ∴ ∴ ∵，为的中点， ∴ 在中，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）略 （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 如图3，取对角线的中点，连接，则，， ∴ 由正方形的性质可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， 即运输轨道的最小值为千米 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各种现象属于中心投影的是（ ） A. 阳光下沙滩上人的影子 B. 晚上人走在路灯下的影子 C. 中午用来乘凉的树影 D. 阳光下旗杆的影子 2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 对于实数、，定义运算“”：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一元二次方程的负根是___． 10. 一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共个，每个小球除颜色外其他完全相同．将箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红色小球．估计箱子里红色小球的个数为____个． 11. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为____． 13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长为____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：2x2+3=7x． 15. 已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求该品牌电动车电池的电流与电阻的函数关系式； （2）当该电动车的工作电流为时，请计算此时的电阻． 16. 10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 17. 如图，在中，点P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作点Q，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 19. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门劳动实践课程，分别是：绿植栽培，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹饪，且每人只能参加一门实践课程． （1）九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为________； （2）九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，点、、的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与位似，且与的相似比是；（点、、分别与点、、对应） （2）在（1）的条件下，点的坐标为________． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 22. 如图，是一块长为，宽为的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为，则剪去正方形的边长为多少？ 23. 位于陕西省咸阳市永寿县的武陵寺塔，是一座历史悠久的标志性建筑，这座八棱七层的砖塔，展现了北宋时期的建筑风格．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量武陵寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如表： 课题 测量武陵寺塔的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案示意图 说明 如图，在地面上取、两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为．从处后退到处，发现，，三点在一条直线上；同一时刻，标杆在阳光下的影子端点与塔的影子端点重合于点，且．已知、、、、在同一水平线上，，，，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案及其数据求出武陵寺塔的高度． 24. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． （1）求反比例函数的表达式及点、的坐标； （2）观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； （3）若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为________； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $