精品解析：重庆市开州区开州初中教育集团2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题

开州初中教育集团2024-2025（上）八年级期中测试 数学试题卷 （试题共150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，试卷自己带回，答题卡由监考老师收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，若，则这个三角形是直角三角形 B. 三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C. 三角形的高线将三角形的面积平分 D. 若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题真假判断，熟练掌握三角形的中线、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质是解决问题的关键．根据三角形的中线、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、在中，，若，则，得到，则这个三角形是直角三角形，故该选项正确； B、三角形的外角一定大于任何一个与它不相邻的内角，故该选项错误； C、三角形的中线将三角形的面积平分，故该选项错误； D、根据垂直平分线定义及性质，线段垂直平分线段，不一定有线段必垂直平分线段，故该选项错误； 故选：A． 3. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有(　　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，∵AB=BC，∠A=∠C，AD=CD，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，∵∠MDO=∠M'BO，∠MOD=∠M'OB，DM=BM'，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定． 5. 如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的求解，三角形外角性质，先根据三角形外角性质求出的度数，再利用平角定义求解即可． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 6. 如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 7. 如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先解关于y的不等式组可得解集为，根据关于y的不等式组有解可得，由此可得，再解关于x的方程可得解为，根据关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解可得的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于y的不等式组有解， ∴， 解得：， ∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x， ∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x， ∴ax﹣3x＋x＝1＋3， ∴(a﹣2)x＝4， ∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数， ∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4， 解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2， 又∵， ∴a＝4，3，1，0，﹣2， ∴符合条件的所有整数a的个数为5个， 故选：C 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 8. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代数式． 9. 点O为内任点，设，则下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 如图：然后求和可判定A选项；延长交于点G，则，，然后通过作差判定B、C、D即可． 【详解】解：如图：， 三式相加得：，即，故A选项不符合题意； 延长交于点G，则，， 两式相加并整理得：． 同理：，． 把这三式相加得：，则，故B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°， ∴OB=OC， ∴∠OBD=∠OCD， ∵OB=OP， ∴OC=OP， ∴∠APO=∠OCP， ∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°， ∴，故①正确； ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠PBO， ∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°， ∴∠PBO=∠PBA+∠APO， ∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°， ∴2∠OPB+60°=180°， ∴∠OPB=60°， ∴△BPO是正三角形，故②正确； 在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示： ∵∠PAE=60°， ∴△PAE是等边三角形， ∴AP=PE=AE，∠APE=60°， ∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO， ∴∠BPE=∠OPA， ∵OP=BP， ∴△BPE≌△OPA（SAS）， ∴BE=AO， ∵AB-BE=AE， ∴AB-OA=AP， ∴，故③正确； 延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠ABF=60°， ∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°， ∴∠PBA=∠OBF， ∵PB=OB，AB=BF， ∴△APB≌△FOB（SAS）， ∴， 如要证，需证，由题意无法证明，故④错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系可得： ． 即： ， 由于第三边的长为偶数， 则x为6． ∴第三边为6． 故答案为6 12. 已知一个三角形两个内角的度数分别是和，则这个三角形按角进行分类应该为______三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求得第三个内角的度数，从而即可判断． 【详解】解：， 三角形的三个角都是锐角， 即该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 13. 若点与点关于y轴对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，根据规律可得，，求出、的值，代入计算即可求解；掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ，， 解得：，， 则． 故答案为：． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，分别讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况， 当是锐角三角形时，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 当是钝角三角形时，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，已知于A，于B，且，则______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 17. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，分两种情况讨论求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ， 设点，的运动时间为， 则，， ①当时，， 解得：， 则，， 故点的运动速度为， ②当时，，则， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为， ∴点Q的速度为或， 故答案为：或． 18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算：______，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为______． 【答案】 ①. 484 ②. 4648 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用、二元一次方程、不等式、整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．根据“不同数”的定义直接求出的值；设“不同数”，且，，计算得到a、c的范围，再得到，结合能被13整除，整理得能被13整除，再结合a、c的范围分类讨论即可得出答案． 【详解】解：1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193， 这四个三位数之和为，， 所以； 设“不同数”，且，， 由题意得，， 解得：， 去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、， 则， ， ， ， ， 所以， ，且能被13整除， 能被13整除， 又，， ， 或， 或， 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，或（舍去）， 此时，不满足，不符合题意，舍去； 当时，（舍去）或， 此时，，则，符合题意． 综上所述，，． 故答案为：484；4648． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，答案写在答题卡相应的位置． 19. 计算和解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算，解一元一次不等式组的计算方法； （1）根据乘方，立方根，算式平方根，绝对值的运算法则求解即可； （2）分别解出一元一次不等式，再求不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：， 由得，， 由得，， 不等式组的解集为： 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题关键是掌握全等三角形的判定方法：（直角三角形）．由已知条件可得，再利用“”证明全等即可． 【详解】略 21. 如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，点P即为所求． 22. 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． （1）若，求的度数； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【小问1详解】 解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 23. 如图，顶点的坐标分别为，，，已知与关于轴对称． （1）请在图中画出，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找点，使的面积为面积的． 【答案】（1） 即为所求： ，，； （2） （3） 点、即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用轴对称的性质分别作出、、的对应点、、，再依次连接即可得到，最后根据图形写出点，，的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）先求出，由图可知的高为，进而求出其三角形的底，得到点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ，由图可知，的高为， 的底为， 或， 24. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，直接写出，，的数量关系； （2）如图2，判定，，之间的数量关系并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） （2） ，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据证明，可得，再根据即可得证； （2）根据证明，可得，再根据即可得证； （3）由（2）可得，再结合已知可求出，，再求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得， ， ， ， 的面积． 25. 已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）的度数是；； （3） 证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； 【小问3详解】 略 26. 【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教育集团2024-2025（上）八年级期中测试 数学试题卷 （试题共150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，试卷自己带回，答题卡由监考老师收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，若，则这个三角形是直角三角形 B. 三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C. 三角形的高线将三角形的面积平分 D. 若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 3. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有(　　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5. 如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 18 7. 如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） A. 69 B. 73 C. 77 D. 83 9. 点O为内任点，设，则下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为________． 12. 已知一个三角形两个内角的度数分别是和，则这个三角形按角进行分类应该为______三角形． 13. 若点与点关于y轴对称，则的值为_______． 14. 在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为__________． 15. 如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是__________． 16. 如图，已知于A，于B，且，则______． 17. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为__________________． 18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算：______，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，答案写在答题卡相应的位置． 19. 计算和解不等式组： （1） （2） 20. 如图，已知，，，求证：． 21. 如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 22. 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． （1）若，求的度数； （2）连接，求证：平分． 23. 如图，顶点的坐标分别为，，，已知与关于轴对称． （1）请在图中画出，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找点，使的面积为面积的． 24. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，直接写出，，的数量关系； （2）如图2，判定，，之间的数量关系并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 25. 已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：是等边三角形． 26. 【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $