广东省中山火炬开发区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年广东省中山火炬开发区高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A. B. C. D. 2.已知a，b为非零实数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是(    ) A. 每一个四边形的对角线都不互相垂直 B. 存在一个四边形，它的对角线不垂直 C. 所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 存在一个四边形，它的对角线互相垂直 4.已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 5.下列各组函数表示同一个函数的是(    ) A. 与 B. C. D. 与 6.已知函数，则(    ) A. 是奇函数 B. 定义域为 C. 在上单调递增 D. 值域为 7.定义在上的函数满足：对，，且，都有成立，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若，，，则下列不等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 10.已知实数a，b满足等式，则下列不可能成立的有(    ) A. B. C. D. 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，设函数，则下列说法错误的是(    ) A. 的图象关于y轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在R上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.求值：______. 13.若函数的定义域是，则函数的定义域是______. 14.不等式对恒成立，则a的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题15分 已知集合，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题. 当时，求； 若_____，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 已知，求的解析式； 已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式. 17.本小题15分 已知函数且其定义域为 判定函数的奇偶性； 利用单调性的定义证明：在上单调递减； 解不等式 18.本小题15分 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本单位：万元，已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. 已知2024年该型芯片生产线的利润为单位：万元，试求出的函数解析式. 请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 19.本小题17分 设函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得对任意都有，且，则称为M上的增长函数. 已知函数，判断是否为区间上的增长函数，并说明理由； 已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； 如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：已知集合，， 则，， 由图知道阴影部分表示中把去掉后剩下元素组成的集合， 即图中阴影部分表示的集合为 故选： 先求出，由图知道阴影部分表示A中把B中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可． 本题考查了交集和补集的计算，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 根据充分条件和必要条件的定义即可判断． 【解答】 解：当时，，所以由得不出， 若，则，若，则，即， 所以由得不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选： 3.【答案】B  【解析】解：因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题， 所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误． 故选： 根据全称命题的否定分析判断即可． 本题主要考查命题的否定，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为， 则，7是一元二次方程的两根，且， 所以，解得， 则不等式化为， 又因为， 所以不等式可化为， 解得， 即不等式的解集是 故选： 先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出，即可得出不等式的解集． 本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于基础题． 5.【答案】C  【解析】解：A：的定义域为R，的定义域，不是同一函数； B：的定义域为，的定义域为或，不是同一函数； C：的定义域，的定义域为相同，对应关系也相同，是同一函数； D：与的对应关系不同，不是同一函数． 故选： 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目． 6.【答案】C  【解析】解：因为，，所以是偶函数，故A错误； 的定义域为R，故B错误；任取，，且， ， 因为，所以，， 所以，所以， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，当且仅当，即时取等，所以的值域为故D错误． 故选： 化简，由奇偶函数的定义可判断A；求出的定义域可判断B；由定义法证明的单调性可判断C；由基本不等式可判断 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数最值的求解，属于中档题． 7.【答案】A  【解析】解：根据题意，设， 若对，，且，都有成立，即， 则函数在上为增函数， 又由，则， 则不等式，则有，即不等式的解集为 故选： 根据题意，设，分析的单调性，以及，由此可得不等式等价于，结合单调性分析可得答案． 本题考查函数单调性的性质和应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：， 的图象是开口向下的抛物线的一部分， 且抛物线的对称轴方程为 要使函数的值域为R，则函数应是单调增函数， 且时的函数值应小于等于3，则，解得 实数a的取值范围是 故选： 由题意画出图形，数形结合可得关于a的不等式组，求解得答案． 本题考查复合函数的值域及其求法，考查分段函数的应用，是中档题． 9.【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式判断ABD，举反例可判断 【解答】 解：因为，，， 又，则，当且仅当时取等号，故A错误； 因为，当且仅当时取等号，故B正确； 令，则不成立，故C错误； 因为，当且仅当时取等号，故D正确． 故选 10.【答案】CD  【解析】解：同一坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 设，， 由图可知：当时，；当时，；当时， 故选： 根据题意，画出函数和的图象，结合图象可得a，b的大小关系． 本题主要考查指数函数的图象与性质、不等式的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 11.【答案】ABD  【解析】解：， 画出的图象如图所示： 可以看出此函数不是偶函数，不关于y轴对称，故选项A错误； 无最大值，有最小值0，故选项B错误； ， 故， ， ， ，故，故选项C正确； 由图象可知在R上不是增函数，故选项D错误． 故选： 根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 本题主要考查分段及其应用，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果． 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：依题意，，解得， 故答案为： 根据题意建立关于x的不等式组，解出即可． 本题考查函数定义域的求解，考查运算求解能力，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：当时，不等式为，恒成立； 当，即时，不等式，可转化为， 设， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 综上所述，a的取值范围为 故答案为： 当时，不等式恒成立，当时，分离参数可得，利用基本不等式求最值，可得参数范围． 本题考查了转化思想、分类讨论思想及基本不等式的应用，属于中档题． 15.【答案】解：当时，， 所以，所以或； 若①成立，则当且仅当A是B的子集，若②成立，则当且仅当A是B的子集， 所以条件①与②等价， 若条件①或②成立， 此时若A是空集，则，解得， 若A不是空集，即，且A是B的子集，则，解得，所以， 从而无论条件①还是②都有或； 若条件③成立， 若A是空集，则，解得， 若A不是空集，即，且A是B的补集的子集，而或， 则或，解得或， 所以或， 从而若条件③成立，则或， 综上所述，无论条件①或②，a的范围为或； 若条件③成立，则或  【解析】解分式不等式化简集合B，由交集、补集的概念即可得解； 由题意条件①与②都等价于A是B的子集，条件③等价于A是B的补集的子集，只需分集合A是否是空集，列不等式进行讨论即可求解． 本题主要考查了集合的交并补的运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题． 16.【答案】解：设，则， 所以，， 所以，其中， 则； 由，即，即，解得， 由，即，即，解得或， 所以  【解析】令，则，可得出，，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式； 分别解不等式、，结合可得出函数的解析式． 本题考查了用换元法求函数的解析式及一元二次不等式的解法，属于基础题． 17.【答案】解：为奇函数，证明如下： 因为， 所以为奇函数； 证明：任取， 所以，，，， 则， 所以， 故在上单调递减； 可转化为， 所以，解得， 故m的范围为  【解析】检验与的关系即可判断； 任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 18.【答案】解：由题意可得，， 所以， 即； 当时，， 当时，，对称轴，， 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．  【解析】根据利润等于售价减成本可求利润的表达式； 根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可． 本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 19.【答案】解：是，理由如下： 由题意可得：函数的定义域为R， 对，则， 可得，即， 故为区间上的增长函数． 函数的定义域为R， 对，则， 若是区间上的增长函数，则，即， 可得对恒成立，可得，解得， 故正整数n的最小值为 由题意可得：当时，则， 故， 若为R上的增长函数，则对恒成立， 在上单调递减，则，x不能同在区间内， ， 又当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； ，解得， 若，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 综上所述：当时，对均有成立， 故实数a的取值范围为  【解析】根据题意分析证明； 根据题意分析可得对恒成立，结合一次函数的性质分析运算； 根据奇函数先求得，结合函数的单调性和符号分析可得，再分类讨论验证其充分性． 本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，考查了分类讨论思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$