精品解析：辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题 数学 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集结构即可求解. 【详解】由， 可得：， 解得：或 ， 故选：D 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得. 【详解】由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集， 由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”. 故选：B. 5. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可判断. 【详解】：，，否定是，， 故选：B 6. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数为上的增函数，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 已知函数在闭区间上有最大值6，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二次函数图象即可求解. 【详解】曲线的对称轴为：， 当时，，当时，， 又当时，， 结合图象可知的取值范围是， 故选：D 8. 定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 函数有最大值 B. C. D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 函数开口向下，有最大值，A正确； 又，函数值即B正确； 又是关于的二次方程的两根，则， 所以，则C错误； 不等式即为，即， 解得或，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在上单调递增，所以，故A错误； 若，则，故B错误； 若，在上单调递增，在上单调递减， 则或，因为，所以或，所以或，故C正确； 因为定义在上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确； 故选：CD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 13. 已知，且，则＝________． 【答案】或1 【解析】 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 14. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围. 【详解】由以及可得； 再由以及可得； 若，使成立可得， 即，解得； 又，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16. 函数是定义在上奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）函数是定义在上的奇函数，由，，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 由题函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又由，得，解得， 则，此时满足， 所以. 【小问2详解】 在区间上为增函数，证明如下： 设，则， 由， 得，即，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 17. （1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.” 小萌认为：因为且，所以，所以的最小值是12. 你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程.并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？） （2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值. 【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式最值，注意等号成立条件； （2）法一：根据题设有，再应用基本不等式“1”的代换求目标式最值，注意取值条件；法二：目标式化为，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】（1）不正确，理由如下： 因为，所以. 又，均为正数，所以，当且仅当，即时取等号. 所以，当且仅当，即时取等号. 综上，的最小值为16，若多次连用基本不等式后，一定要注意验证等号成立的条件； （2）法一：因为，所以， 所以. 当且仅当且时，即，时取等号. 综上，的最小值为. 法二： ， 当且仅当，即时等号成立. 18 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 因为二次函数满足， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 19. 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． （1）写出集合的一个“有趣的”四元子集： （2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： （3）证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 【答案】（1）（符合要求即可） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可； （2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可； （3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可. 【小问1详解】 （符合要求即可）： 【小问2详解】 假设可以划分， 和一定是一个奇数一个偶数， 中至多两个偶数. 则对于的一种符合要求的划分和 每个四元子集中均有两个偶数． 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求： 若两个集合分别为和 则或，不存在使得符合要求； 综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集， 【小问3详解】 假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数， 每个子集中均有两个偶数， 对于， 可设其中是偶数，为奇数， 再由奇偶性，只能是． 且 矛盾． 不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题 数学 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在闭区间上有最大值6，最小值2，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 函数有最大值 B. C. D. 的解集为 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D ，使得对恒成立 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知，且，则＝________． 14. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； 17. （1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.” 小萌认为：因为且，所以，所以最小值是12. 你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程.并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？） （2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值. 18 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 19. 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． （1）写出集合的一个“有趣的”四元子集： （2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集： （3）证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$