江苏中考新考法——勾股定理-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

第3章 勾股定理 江苏中考新考法--勾股定理 国/考法一/勾股定理逆定理(代表地区:无锡、常州、苏州、盐城、淮安) 。_ 1. 下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是 ) A.2、3、4 B.3,4,5 C.8、12,20 D.5、13、15 2. 如图,在四边形ABCD中, B=90{,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形AB$CD 的面积. 同/考法二/数学史中的勾股定理问题(代表地区:宿迁、南通、扬州、南京、镇江) 3.在《九章算术》中有一个问题(如图):今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?它 的意思是:一根竹子原高一丈(10尺),中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处 离地面 尺. l0 (第3题) (第4题) 4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有池方一丈,覆(jiā)生其中央,出水一 尺,引赴岸,适与岸齐,问长几何.”(丈、尺是长度单位,1丈一10尺)其大意为;有一个水 池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度是 尺. 国/考法三/网格中的勾股定理应用(代表地区:南京、苏州、无锡、常州、徐州) 5.学习了勾股定理之后,老师给大家留了一个作业题,小明看了之后,发现三 角形各边都不知道,无从下手,心中着急,请你帮助一下小明,如图,八ABC 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD AC于点D,则 BD的长为 =_2 #212 B. 1 C. D. 69 课时提优计划 作业本 数学 八年级上 >))) 6. 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,A、B、C是小 正方形的顶点,则ABC一 同/考法四/ 勾股定理与侧面展开图相结合(代表地区;南通、南京、苏州、无锡、淮安) 7. 如图,一支长为15cm的铅笔放在长方体笔简中,已知笔简的三边长度依次为 3cm、4cm、12cm,那么这根铅笔露在笔简外的部分长度x的范围是 ) A.2cmx5cm B. 2cmx3cm C. 4cm<r<5cm D.9cm<.<12cm 同/考法五/弦图中的勾股定理(代表地区:苏州、南京、扬州、泰州、宿迁) 8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大 正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若a6一60,大正 . 方形的面积为169,则小正方形的边长为 ) A.7 B.13 C.10 D.17 9. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体 现了数学研究中的继承和发展,现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.在 Rt△ABC中, ACB=90{,AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题 (1)试说明:a十b②-c②. (2)如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是3,求(a十b)的值. 7 第3章 勾股定理 /考法六/利用变形“勾股树”求阴影部分面积(代表地区:苏州、南京、盐城、南通、宿迁) 10. 如图,分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形,若斜边AB一4,则图中阴影 部分的面积为 ) A.4 C.10 B.8 D.12 H (第10题) (第11题) 11.如图,在△ABC中,乙ACB一90{*},以△ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI上, 若AC十BC一6,空白部分面积为12,则正方形ABGF的面积为 国/考法七/勾股定理的新证法(代表地区:苏州、南通、徐州、连云港、淮安) 12. 勾股定理神奇而美妙,它的证法多种多样,在学习了教材中介绍的拼图证法以后,小华突发 灵感,给出了如图所示的拼图: 两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在边BC上,顶点C、D重合,连 $接 AE、EB.设AB、$DE交于点G. ACB= $DFE=90*,BC=EF=a,AC=$DF=$( $ 6),AB一DE一c.请你回答以下问题 (1)填空:乙AGE一 *,S四Apur一 (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明勾股定理 CD) 711专题三折叠中的勾股定理 形..AB=CD,∠A=∠C=90°.由折叠的性质得，C'D 1.由题意得，FD=FA,CA=3,CB=4,AB=5,.CA2十 CD,∠C=∠C,CD=AB,∠C'=∠A.又：∠AEB= CB=3十4=5=AB,∴.△ABC是直角三角形且∠C= ∠CED,.△ABE≌△CDE(AAS),.AE=C'E.(2)由折 90.D是BC的中点，∴.CD=BD=2.设FD-FA=1,则 叠的性质得，∠C‘BD=∠CBD,,四边形ABCD是长方形， CF=3-t.在Rt△DCF中，由勾股定理得FD=CF+CD, .AD∥BC,∠ADB=∠CBD,.∠C'BD=∠ADB, 即=68-)+2，解得1=2，即FD的长为号21)10 ,.ED=EB.设ED=x,则EB=x,AE=8一x,在Rt△BAE 中，由勾股定理得BE=AB+AE2,即x=4+(8一x)°，解 (2)由折叠可知，∠AED=∠C=90°，AE=AC=6,DE= DC,.BE=AB-AE=10-6=4.设CD=x,期BD=8-x 得-5ED=5Sam-号ED·AB-号×5×4-10， DE=x.,∠AED=90",∴.∠DEB=180°-∠AED=90°.在 7.(1)3解析：由翻折变换的性质可知AQ=AB=5.在 Rt△BED中，由勾股定理得DE+BE2=BD,即x2+4=R△ADQ中，由勾股定理得DQ=√AQ一AD=√一4= (8一x)2,解得x=3,.CD的长是3.3.在Rt△ACB中，由3.(2)如图1，当点M在线段AB上时，：四边形ABCD是 勾股定理得AC=√AB一BC=√一3=4(cm).由折叠长方形，AB∥CD.·∠CDM=∠AMD.由折叠的性质得， 的性质得，AE=AB=5cm,DE=DB,∴.CE=AE-AC=∠A'MD=∠AMD,∴.∠A'MD=∠CDM,.CM=CD=5. 5-4=1(cm).设CD=xcm.则DE=DB=(3-x)cm.在：∠CBM=90°，.BM=√CM-BC=-4=3, R1△DCE中，由勾股定理得CD+CE=DE,即x+1=∴AM=AB-BM=5一3=2.如图2，当点M在线段AB的延 （3-x,解得=言CD的长为号cm4.(1)如图1，过 长线上时，同理可证CM=CD=i.:∠CBM=90°，BC=4, .BM=√CM-BC=√5-4F=3,∴.AM=AB+BM= 点A作AD⊥BC于点D.,AB=AC=5,BC=6,.BD= 5十3=8.综上所述，AM的长为2或8. CD=3..AD=4,由折叠的性质知，AM=CM,AN=CN= AC-号，∠ANM-∠CNM-90.设AM-CM-,则 DM=x一3.在R1△ADM中，由勾股定理得AD+DM AM,即+6-3=，解得=要AM= 6在 Rt△ANM中，由勾股定理得MN=√AM一AN= B M 图1 图2 8.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，，∠A=∠B=90 E为边AB的中点，，AE=BE,由翻折变换的性质可知， GE=BE,∠EGC=∠B=90°，.AE=GE,∠EGH=90°.在 Rt△EAH与Rt△EGH中， B M D AE=GE,·R△EAH≌ EH=EH. 图1 图2 R△EGH(H1).(2)在正方形ABCD中，AD=CD=BC (2)证明：如图2，过点A作AE⊥BC于点E,:AB=AC, AB=IO.R1△EAH≌R△EGH,,.AH=GH,.DH= BE=CE=号BC.:BC:CD=2:3,∴可设BC=2,AD-AH=10-AH,由翻折可知GC=BC=10,∴.CH CG+GH=10+AH.在R1△CDH中，由勾股定理得DH十 CD=3t.AE-.BE=CEt.DE=CE+CD-+3- 41,在R△AEB和R△AED中，由勾股定理得AE十BE= CD=CH,即(10-AH)+10=(10十AH)2,解得AH= AB,AE+DE=AD,即方3+2-5，h+()=10.两2.5六C月=10+AH=12.5 式相减，整理得1=5.，BD3=(51)2=125.又AB+ 江苏中考新考法—一勾股定理 AD2=5+102=125=BD,∴.△ABD是直角三角形.5.C1.B解析：2十32=13≠4=16，.该三角形不是直角三角 解析：设AE=xcm,由折叠的性质得，BE=DE=AD一形，故A选项错误：3十4=25=5，∴.该三角形是直角三角 AE=(9一x)cm.,四边形ABCD是长方形，∴∠A=90°，在形，故B选项正确：8+12=20，∴不能构成三角形，故C选项 Rt△BAE中，由勾股定理得AB2十AE=BE,即3+x2=错误：5十13=194≠15=225，.该三角形不是直角三角 (9-x)户，解得r=4,AE=4cm,心SaE=2AB·AE= 形，故D选项错误.2.如图，连接AC.∠B=90°，∴，△ABC 为直角三角形.由勾股定理得AC=√/AB+BC 2×3X4=6(cm).6.1)证明：四边形ABCD为长方√+3=5.又：AD=13,CD=12,AD=13=169, 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) 26 CD+AC=12+5=144+25=169,.CD+AC=AD,BE=】 AB.在R△ABC中，由勾股定理得AB=AC+ ,△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，SmaeAxD= Sa+Sm=2AB·BC+号AC·CD=号X4X3+ BC8,又”AB=4..S同罪第分=S△Am十S△r+S△m= 1 2HC·AH+CF·F+号AE·BE=言AH+ X5×12=36. CF+(AC++AB)A+ AB)-号AB-号X=8 1 A D 3.4.55解析：设折断处离地面x尺根据题意，得x2+32一 H (10一r)产，解得x=4.55.4.13解析：设水深为x尺，则芦 韦长为+1DR积据幻取定理得+（侣）=+1，解 得x=12,.芦苇的长度是12十1=13（尺）.5.C解析：由 F 11.20解析：，四边形ABGF是正方形，.∠FAB= 勾股定理得AC=√3+4=5.：BD⊥AC,.S△= ∠AFG=∠ACB=90°，∴.∠FAC+∠BAC=∠BAC+ 号4C·BD=号×4X4∴BD-56.45解析：如图，连 1 ∠ABC=90°，∴.∠FAC=∠ABC,在△AFM与△BAN中， ∠F=∠BAN, 接AC,根据题意得.AC=√1十2=√5，BC=/①+2= AF=BA. ∴△AFM≌△BAN(ASA),.SLFM= 5,AB=+3=√10，.AC+BC2-AB,.△ABC ∠FAM=∠ABN, 是直角三角形，且∠ACB=90.:AC=BC=5.∠ABC=SaN,六S么MN一S△Y=S2AM-S△AN,即S△Ax= ∠CAB=45. SwwM.在△ABC中，由勾股定理得AC十BC=AB, AC+BC=6,∴.(AC+BC)2=AC+BC+2AC·BC= 36,∴AB+2AC·BC=36.AB-2S=12,.AB AC·BC=12.∴3AB=60,∴.AB=20,.正方形ABGF的 1 面积为20.12.1)902解析：△ABC≌△DEF, 7.B解析：根据题意可知，当铅笔垂直于笔简底部放置时，铅 笔露在笔简外的部分长度x最大，最大值为15一12=3(cm). .∠EDF=∠BAC.'∠EDF+∠ACE=90,.∠ACE+ 由勾股定理，得长方体的对角线长为√+3+12= ∠BAC=90°..∠AGE=∠ACE+∠BAC=90°，∴DE⊥AB, 13(cm),当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外 ∴Saem=Sae+Sawm=7AB·DG+专AB·BG 的部分长度x最小，最小值为15-13=2(cm),综上所述，这 根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm. AB.(G+G)-号AB,DE-2，,(2:Smaa 8.A解析：根据题意可知，小正方形的边长是a一b.由勾 股定理得a十b=169.:(a-b)2=a2+b2-2ab=169-2× S+DG+ABEG-AB (DG+ 60=49,.a一b=7(负值舍去)，.小正方形的边长为7. EG)-AB DE-.Sn-Sa+m- 又.：大正方形的面积为，直角三角形的而积为宁b:小 2(AC+EF)·Cp+2BF·EE=号b+a·b2Ca 正方形的面积为h-a只，c2=4×号b+（6-a)=2ab十 1 1 1 a2-2ah+b2,即c=a2+b2.(2)由图可知，(b-a)2=3. 1 4X2ab=13-3=10.2ab=10.(a+b)°=(h-a)°+ 4ab=3+2×10=23.10.B解析：如图，在Rt△AHC中， 复习课 由勾股定理得AC=AH+HC.由题意得，AH=HC,知识梳理 1.a2十b°=c勾股定理2.勾股弦3.4十b= ∴AC=2AH,iAH=号AC,同理可得CF=专C·e。4约胶无数5直角6直角 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·27.