福建省厦门市松柏中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

松柏中学2024一2025学年第一学期期中考试高三数学试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x少=血(+3》，B={xk之2，则下列结论正确的是（) A.A=B B.A∩B=O C.AcB D.BCA 2.设i为虚数单位，1-i=2+ai, 则实数a= A.2 B.1 C.0 D.-1 3.若向量AB=(2,5),AC=(m,m+1),且A,B,C三点共线，则m=（) A号 4.等差数列{a,}的前n项和为S,若a2+a,+az=30,则S的值是(） A.130 B.65 C.70 D.75 5.函数f(x)=(x2-2x)e的图象大致是() 计 6.在△ABC中，tanA+tanB+tan4tanB=l,则cosC=( A.-3 B.② c D.3 7.已知函数f倒-5sm(@x+)+2o受+号（其中o>0,当pe0引，当 f(x)=fs)=0时，-的最小值为乏，)=名-，将f(的图象上所有的 点向右平移号个单位长度，所得图象对应的函数为g)，8得)（） 6 A.5+1 B.√5+1 2 D.2 8.已知f)=e片-e2+eos, 若abc成等差数列且f(a)+f(b)+f(c)=0,则a+b+c 的值为() A.0 B D.3π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则() A.AB-AD=2EF B.A正.AF=4 C.正+派-丽+而) D、正在而上的投影向量为远 10.数列{an}满足a+2a,a1-a,=0(a∈N),a=1,则下列结论正确的是（) A.若b=35,则色}为等比数列 则{6，}为等差数列 C.a=2n-1 D. 1=2m日 41a2 dind an 11.已知函数f(x)=sin2x+cos4x,则() A.f八的最大位为月 B。冈的最小正周期为经 C.曲线y=()关于直线x=经任e2)轴对称 D.当xe[0,π时4=2，lgx=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知4°=2，lgx=a则x=-· 13.已知实数a>0,b>0,2是9与2的等比中项，则片+径的最小值是 a b 14.在aABC中，内角4，B,C,所对的边分别为a,bc,已知c=1,sB=b2-a2+1,且a≠b, sinA 则sinB-sinA的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. (1)求sinA: (2)设AB=5,求AB边上的高. 16.(15分)已知{an}是正项递增的等比数列.且4a6=64,4+45=20.数列{b,}是等差 数列，且(n+1)b.=2n2+n+C. (1)分别求数列{a,}和数列{也}的通项公式： 回设6=(-旷+动，求数列e}前n项和8， 17.(15分)在△ABC中，D为BC的中点，AB=4,AC=2N2 (I)若AD=2,求∠BAC的余弦值： (②)延长AD到点B,使AD=2DB,连接BE,EC,若∠ABC=牙 求BE的长 18.(17分)已知函数f(x)=x-alnx. (1)求曲线y=f(x)在点(L,f(1)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间： (3)若关于x的方程x-ax=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x,求证： (a-1)x。>a. 19.(17分)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数)，满足4=an,4=am4,an=a1即a=an-州l (i是正整数，且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列". (1)已知数列{色}是项数为7的对称数列，且，，，b成等差数列，么=2，b,=11,试写出{色} 的每一项： (2)已知{cn}是项数为2k-1(k≥1)的对称数列，且c4,ck…C-构成首项为50，公差为4的 等差数列，数列{c}的前2k-1项和为S4,则当k为何值时，Sk:取到最大值？最大值为 多少？ (3)对于给定的正整数i>1,试写出所有项数为2i-1的对称数列，使得1,2,22.…2成为数列 中的连续项：当i>2000时，并分别求出所有对称数列的前2024项和Sm4松柏中学2024-2025学年第一学期期中考试高三数学试卷 参考答案： 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A A B B C BC ABD BC 8.C【详解】由已知f=e片+e-inx22-sinx>0, 所以f是R上的增函数，又fa-)=÷-e片-cosx,所以-x)+f因)=0， 所以网的图象关于点写对称，又因为f回++因=0，a4c成等差数列，则b=受a+c=, 所以a+b+c= 故选：C 1【详解】了日=241-212-2o2x叶？，当n24时，因取得最大，且最 大值为号，A选项错误：因为y=n2叫，y=c094红的最小正周期均为子，所以（✉）的最小正周期为， B选项正确； 因为经-小恤告外m经小抽2xaez,所以插细=f沃 于直线x=好keZ)销对称，C选项正确 fx)=sin2xl 48 12 y48 令8国=16f因-17=0，得f-名则2共5 48 结合函数)y=如2y(0≤x≤列的图象，可知方程如2小-土三在0上有8个不同的实根，D选项错误： 48 故选：BC 14.【详解】由正弦定理，b=ab2-a3+a,则有(a-b)1-a2-b)=0,由于a≠b,所以a2+ab=l=c2, 由余弦定理得，a2+ab=a2+b2-2 abcosC,则a+2 acosC=b,又由正弦定理，得 sinA+2sin4cosC=sinB=sin(4+C),即sinA=sin(C-A),则有C-A=A,即C=2A.因为C=2A,所 sinB-sinA=sin(4+C)-sinA=sin3A4-sinA=sin2Acos4+cos2AsinA-sin incos'in )in-sin=-sininsi f(x)=4+2x,则 -1x2,◆f问=0，得x=5,成x=5会.当0<x时，f因>0，则® 6 6 上单隔送常，当>气时了闪<0，则7因在（写 上单调递减，故当x=5时，()取最大值， 6 故sinB-sinA最大值为 6)2w6 9 故答案为：26 91 15.【详解】(1)A+B=3C,-C=3C,即C=年，又2(4-0)-i血B=sin(4+0, ..2sin AcosC-2cos Asin C =sin AcosC+cos AsinC,.sin Acos C=3cos Asin C, sin 4=3cos4,即amA=3,所以0<A<5,i加A=是=3y0 1o10 2)由1)知，w4高由血8=4+0=shAc+omc-经(+晋，-普 5x35 由正弦定理， si咖csi咖B,可得b= b =2而，Bhc4, 2 中h=b:sin4=21o×00=6 16.【详解】(1)解：设等比数列{an}的公比为q,且有9>1，由于 ag=64, (492+%9°=20，解得 Ja=1, 9=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2-.由于{bn}是等差数列，设b.=An+B,则有 [A=2 [A=2 (m+1)b,=(n+1)(Am+B=An2+(4+Bh+B-2n2+n+C,所以{A+B=1,解得B=-1 B=C C=-1 所以数列{b}的通项公式为bn=2n-1. 公蜗自w知62旷o-可-9“{品 所8=6+6+*6=-[【2y+(2y++(2)r门耶-引G引+(0】 2 6 4n+2 17.【详解】1)在△4BC中，D为BC的中点，所以而=面+4C),因为AB=4,4C=22,MD=2, 且D=西+C+2而.C,所以4=6+816反cs∠BaC,解得os∠BMAC=-5 (2)在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB·BC.cos∠ABC, 所以8=16+Bc2-24BC.二，化简得BC-42BC+8=0,解得BC=2, 因为D是BC的中点，所以BD=BC=瓦，在△ABD中，由余弦定理知， AD2=1B2+BD2-2B:BD-c0s∠ABC=16+2-2x4x2×5=10,所以 2 4D=i而，因为AD=2DE,所以4B=2AD=i0 2 在△MBD中，由余弦定理知，c0s∠BAD=B+AD2-BD2=16+10-23 2AB·AD 2×4×W10V0 连接BE,在△ABE中，由余弦定理知， BE2=AB2+AE2-2AB·AE·coS∠BAE=16+ 310 2 -242品子所以服= 2 18.【详解】(1)f(=x-ahx,f0=l,f()=1-是，0=1-a, 所以在点(1，f1)处的切线方程为y-1=1-ax-),整理得：（1-ax-y+a=0: (2)函数f(x)=x-anx定义域为0，+o),(x)=1-日=二2当a≤0时，f≥0，此时f(x)在(0，+ o上单调递增：当a>0时，令f'(x)=0,得x=a,此时在(0，a上f(x)<0,f(x)在(0，a)单调递减， 在a,+∞上f()>0,∫(x)在(a,+o)单调递增，综上：a≤0时，f()的递增区间为(0，+∞)，无递减区 间：a>0时，f(x)的递减区间为(0，a),递增区间为(a+o): (3)由(2)可知，当a>0时，f(x)=x-al血x=0才有两个不相等的实根，且>0，则要证(a-)x。>a, 即证号子，即正-名，面名-=0，则点6，否则方程不成立。 a 所以即证1-学，化简得名-此-10，令8k=x--1,则g1- 当0<x<1时，g(x)<0,所以g()在(0,1)单调递减，当>1时，g(x)>0,所以g(名)在(1，+∞)单调 递增，所以g()≥g()=0,而x≠1，所以g6)>0,所以(a-10x>a,得证. 3 19.【详解】(1)设{.}的公差为d,则b=+3d=2+3d=11, 解得d=3,数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2： (2)因为Ck,Ck1…C24-构成首项为50，公差为4的等差数列， 所以.+62++64=50k+-X-4.-22+52k, 所以S241=2(c+Ck1+…+c-）-c4=-4k2+104k-50=-4(k-13+4×132-50, 所以当k=13时S2-取得最大值，且(Sk-)=62 (3)因为1,2,22，·，2成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为2i-1, 所以这样的对称数列有： ①1,2,22，…，2-2,2,2-2，…，22,2,1： ②2,2-2，…，22,2,1,2,22，…，22,2： 因为i>2000, 对于①，当22024时5m4=1+2+2+…+2031-2 -=2224-15 1-2 当2000<i<2024时S2024=1+2+22+…+2+22+23+…+224-205 1-22（-2）-2-1+24-22m, 1-2 1-2 22024-1,i≥2024 所以S224 12-1+24-2-2m,200<i<2024 对于②，当122024时5=2+2少++2_21-2m) 2-2-0m4 1-2 当2000<i<2024时S24=2+2-2+…+22+2+1+2+2+…+2224 上-2,20-20）=2-1-2+204=2-3+2， 1-21-2 2-2-204,i≥2024 所以S2024= 2-3+2225-,2000<i<2024