6.1.3 全概率公式课件-2024-2025学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3 全概率公式 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时,我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果,然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率,下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 探究引入 温故知新 1.3 全概率公式 1.了解全概率公式和贝叶斯公式的概念. 2.掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法. 3.能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题. 1.通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习,体会数学抽象素养. 2.借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率,提升数学运算和逻辑推理素养. 课标要求 素养要求 探究点 全概率公式 问题1:如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白 球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,求取得红球的概率. 探究导学 按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 规律方法 问题2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录 有如表的数据： 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 分析:设事件Bi表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i=1,2,3),事件A表示“取到的是一件次品”.其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3 之一同时发生.即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式,得 P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)－P(B3)P(A|B3) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125. 因此,在仓库中随机地取一只元件,它是次品的概率为0.0125. 从上述两个问题可以看出,某一事件A的发生有各种可能的原因,如问题1中摸得的红球有三种来源:可能取自1号箱,也可能取自2号箱或3号箱；问题2中取到的次品可能产自第1家元件制造厂,也可能产自第2家元件制造厂或第3家元件制造厂.若A是由原因Bi(Bi=1,2,…n)所引起,则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),由于每一个原因都 可能导致A发生,且各原因涵盖所有可能的情形并彼此互斥,故事件A发生的概率是各原 因引起A发生概率的总和,即 规律方法 设Ω是试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本空间的一组事件,若 (1)BiBj=Ø,其中i≠j(i,j=1,2,…,n), (2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分. 条件(1)表示每次试验B1,B2,…,Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1,B2,…,Bn必有发生一个. 设B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分,若P(Bi)>0,则对任意一个事件A有 称此公式为全概率公式. 全概率公式 如果我们把B;看成导致事件A发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们:事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均. (1).B1,B2,…,Bn是一组两两互斥的事件; (2).B1∪B2∪…∪Bn=Ω; (3).P(Bi) > 0. P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+…+P(A)·P(A|Bn) 特别提醒 例6 釆购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是:从一包中随机抽查 3个,如这3个元件都是好的,他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品,求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率. 例题精讲 . 例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落 的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率. 解:设事件A表示“飞机被击落”,事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3),则B0,构成样本空间的一个划分,且依题意,P(A|B0)=0, P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1. 再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”i=1,2,3). 由全概率公式,可知 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 因此,飞机被击落的概率为0.458. 运用全概率公式的一般步骤如下： (1)求出样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn； (2)求P(Bi)(i=l,2,…,n)； (3)求P(A|Bi) (i=l,2,…,n)； (4)求目标事件的概率P(A). 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系. 规律方法 在实际中,还有一类问题是“已知结果求原因".这类问题更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,探求各原因发生的可能性大小. 例8:如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中 1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大. 例题精讲 解设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得红球”. 由全概率公式,可得P(A) = P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) 再由条件概率知: 设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,P(A)>0,P(Bi)>0(i=l,2,…,n),则 称上式为贝叶斯(Bayes)公式. 该公式于1763年由贝叶斯给出.它是在观察到事件人已发生的条件下,寻找导致人发生的每个原因的概率,贝叶斯公式的思想就是“执果溯因" . 抽象概括 课堂小结 P194练 习 1.某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂,甲厂产品占 80%,合格率为 90%;乙厂产品占 10%,合格率为 95%;丙厂产品占10% 合格率为 80%.某顾客购买了一个灯 泡,求它是合格品的概率. 2.某一地区患有癌症的人占 0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率有多大? 课堂练习 4.考虑恰有两个小孩的家庭.若某家第一个是男孩,则这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率为 (假定生男生女为等可能). 5.同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子,设事件 A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或 6”,事件 B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于 8”,则 P(B|A)= . 6.甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放回抽签的方式确定.假设被抽的10个试题签中有4个是难题签,按甲先乙后的次序抽签. (1)求甲抽到难题签的概率; (2)若甲抽到难题签,求乙也抽到难题签的概率; (3)求甲和乙都抽到难题签的概率. 7.设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25%.35%,40%,并且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率; (2)若取到的是次品,则此次品由三个车间生产的概率分别是多少? 8.男、女两名运动员分别参加不同的长跑比赛,根据以往经验,他们获得冠军的概率分别为0.6与0.5,求下列事件的概率: (1)两人都得冠军; (2)至少一人得冠军. B组 1.下图表示由若干个某种电子元件组成的电路.已知每个元件的可靠性是0.9,且各个元件的可靠性是彼此独立的,求下列电路畅通的概率; (1) (2) (3) $$