精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

工大附中2024-2025学年度九年级上学期期中考试1108 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 【详解】解：在，，，0中，3，，0是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查单项式除以单项式、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式、幂的乘方及合并同类项可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握它们的定义是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”和“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 5. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A. 500sinα米 B. 米 C. 500cosα米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】 ， . 故选A. 6. 如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作直径BD，连接AD，根据勾股定理求出AD，根据圆周角定理求出∠D=∠ACB，∠DAB=90°，解直角三角形求出tan∠ADB即可 【详解】解： 作直径BD，连接AD，则BD=2×5=10， 则∠ACB=∠D，∠DAB=90°， 在Rt△DAB中由勾股定理得：AD==6， ∵⊙O的半径为5，AB=8， ∴tan∠ACB=tan∠ADB= 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键. 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转，可得，又有，，根据图形可得，；代入数据可得答案． 【详解】解：根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转， 即， 又∵，， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 8. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. （） D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：令，则有， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 故选A． 9. 在中，，，，则内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 10. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 据统计，在2024年“十一”期间，某风景区接待游客约700000人，将数字700000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把一个较大的数用科学记数法表示，科学记数法的形式为：，其中，n为正整数，它是这个数的整数数位与1的差．按照科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-2． 【解析】 【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0 解得：x≠-2 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查分式的性质． 13. 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 把多项式分解因式的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 不等式组的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可； 【详解】解： 由不等式①得，， 由不等式②得，x＜4， 故不等式组的解集是：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握一元一次不等式是解题的关键. 16. 若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与x轴有两个交点则判别式的值大于零是解题的关键． 根据抛物线与x轴有两个交点可知判别式的值大于零且二次项系数不为0，据此列式不等式组计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，解得：且． 故答案为：且． 17. 一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为______ ． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】根据已知的扇形的圆心角为，它所对的弧长为，代入弧长公式即可求出半径． 【详解】解：由扇形的圆心角为，它所对的弧长为， 即，， 根据弧长公式， 得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义． 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 19. 在等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，且，连接，过点作直线于，交直线于点，则的值为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分两种情况当①点D在线段上时 ，作交的延长线于F，先利用等面积法求出，证明，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再根据正切的定义求解即可，②当点D在线段的延长线上时，作交于F，解题思路同①． 【详解】解：①当点D在线段上时 ，作交的延长线于F，如图1所示： 则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴． ②当点D在线段的延长线上时，作交于F，如图2所示∶ 则， ∴， 设，则 同①得∶，，， ∴，， ∵， ∴， ．∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，或 故答案为∶3或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，求角的正切值以及勾股定理等知识，利用分类讨论思想解题是这道题的解题关键． 20. 如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过E作于M，过F作于N，则可证明，从而；设，则，；由，得，从而得，由，得， 从而求得，由即可求解． 【详解】解：如图，过E作于M，过F作于N； ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； 设， 则，； ∵， 即， ∴； ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵于G， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正切函数，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再由特殊角的三角函数值求出x，代入即可求解． 【详解】 = = = = ∵= ∴原式=． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 22. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： （1）在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； （2）在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示，的值 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及三角函数是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行作图； （2）根据题意可直接进行作图，然后由格点图结合角的正弦值可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由格点可知：， ∴； 故答案为． 23. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整； (3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 【答案】（1）1000； （2） （3）该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐． 【解析】 【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可． 【详解】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名） 故答案为：1000 （2）剩少量的人数是：1000-400-250-150=200（名）， （3） 答：该校1800名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐. 24. 在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠DEB+∠CAD＝180°． （1）如图1，求证：四边形ACED是菱形； （2）如图2，G是AD的中点，H是AC边中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）． 【答案】 （1）证明：∵AD//BC， ∴∠ADE＝∠DEB， ∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°， ∴∠DEC＝∠DAC， ∴∠ADE+∠DAC＝180°， ∴DE//AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AD//BC， ∴∠ADC＝∠BCD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AD＝AC， ∴四边形ACED是菱形； （2）△BEF，△ADF，△EDG，△CAG 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ACED是平行四边形，然后通过证明AD＝AC，于是可得到结论； （2）根据已知条件得到菱形ACED是正方形，求得∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ACED是菱形，∠ACB＝90°， ∴菱形ACED是正方形， ∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°， AC＝AD＝CE， ∵G是AD的中点，H是AC边中点， ∴AG＝DG＝CE， ∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS）， ∵BC＝2AC， ∴BE＝CE＝AD， ∵AD//BE， ∴∠B＝∠DAF， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴△BFE≌△ADF（AAS）， ∴EF=DF=， ∴EF=CH， ∴△BEF≌△ECH（SAS）， ∴图中与△CEH全等的三角形有△BEF，△ADF，△EDG，△CAG． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 25. 某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元； （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要70元（2）这所学校最多可购买20个乙种足球 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球． 【详解】（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+20）元， 根据题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝70． 答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要70元． （2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球， 根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+70×（1﹣10%）m≤2910， 解得：m≤20． 答：这所学校最多可购买20个乙种足球． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系． 26. 为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴，即 又所对的圆是和， ∴ ∵ ∴， ∵， ∵ ∴ ∴； （2） 证明：∴ ∵ 又 ∴ ∵所对的圆周角是和， ∴ 又 ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 （1）连接，证明再根据三角形内角和定理可得即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理证明，由圆周角定理得出，可得，再证明，即可得出结论； （3）连接，设，，，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，连接得，求出可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵ 略 【小问3详解】 解：由题意得，，，, 设，，， 连接， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 连接得， ∴ 在中，， ∴ 又 ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交x轴于点，交y轴于点B． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在第一象限，连接、，，，若点的横坐标为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，在y轴上取点，连接CF，点E为AB的中点，在y轴上存在一点G，若，且，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于，令，则可求得y的值，从而求得点B的坐标； （2）过作轴于，证明，由相似三角形的性质可得， 则由可求得与之间的函数关系式； （3）由E点为AB的中点，则得是等边三角形，则有；延长到，使，连；则有，从而有；由已知角的关系得，则可证明，得； 过作于，过作于，由，得；从而求得，；过作轴于K，则四边形是矩形，故有，；由（2）知，，求得t的值，从而得 ；过作轴于Q点，是的中位线，得，，则得，最后求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，令， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作轴于， ∴； ∵A横坐标为，横坐标标为， ∴，； 在中，， ∴； ∵， ∴； 在中，, ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连，如图， ∵E点为AB的中点，， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， 延长到，使，连； ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； 过作于； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； 过作轴于K， ∵,， ∵四边形是矩形， ∴，； 由（2）知，， ∴； ∴； ∵，由（2）有， ∴， ∴， 过作轴于Q点，则， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，矩形的判定与性质，直线与坐标轴的交点坐标，特殊角三角函数等知识，涉及较多的知识点，作了较多的辅助线，有一定的难度，熟练运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 工大附中2024-2025学年度九年级上学期期中考试1108 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A. 500sinα米 B. 米 C. 500cosα米 D. 米 6. 如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. （） D. 9. 在中，，，，则内切圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 据统计，在2024年“十一”期间，某风景区接待游客约700000人，将数字700000用科学记数法表示为______． 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 13. 计算的结果为______． 14. 把多项式分解因式的结果是____． 15. 不等式组的解集是_____________． 16. 若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 17. 一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为______ ． 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 19. 在等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，且，连接，过点作直线于，交直线于点，则的值为______． 20. 如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为______． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： （1）在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； （2）在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 23. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整； (3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 24. 在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠DEB+∠CAD＝180°． （1）如图1，求证：四边形ACED是菱形； （2）如图2，G是AD的中点，H是AC边中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）． 25. 某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元； （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 26. 为⊙O的直径，弦，垂足为，为弧CD上一点，，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交x轴于点，交y轴于点B． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在第一象限，连接、，，，若点的横坐标为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，在y轴上取点，连接CF，点E为AB的中点，在y轴上存在一点G，若，且，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $