精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025 学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求. 1. 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，则c的值为（　　） A. 9 B. 11或 C. D. 9或 2. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点（点，异于椭圆长轴端点），则的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 8 D. 16 4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 6. 已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上恰有个不同的点到直线的距离为，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11小题，共105分. 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将正确的答案填写到答题纸上. 试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 11. 直线与，若，则实数________． 12. 当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 13. 直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________ 14. 已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_____________. 15. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 三. 解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知方程：， （1）若方程C表示圆，求实数m的范围； （2）在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值. 17. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形PDCE为矩形. （1）若是的中点，求证：平面 （2）若是的中点，求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. （3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 20. 已知椭圆 ：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设椭圆 的右顶点为 ，是椭圆 上不与顶点重合的动点． ①若点（），点 在椭圆 上且位于 轴下方，设和的面积分别为，．若，求点 的坐标； ②若直线与直线交于点，直线 交 轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求. 1. 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，则c的值为（　　） A. 9 B. 11或 C. D. 9或 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值. 【详解】解：直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2， ，解得：c=11或c=-9. 故选B. 【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单. 2. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点（点，异于椭圆长轴端点），则的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 由椭圆定义得的周长为可得答案. 【详解】由已知，，由椭圆定义得，， 的周长为， 故选：B. 4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可. 【详解】由表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故选：B 5. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 6. 已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出，从而求出的面积，再根据，利用等体积法即可得出答案. 【详解】解：因为两两垂直，且，，， 所以， 在中，， 又，所以， 则， 设点P到平面的距离为， 因为，即， 所以， 即点P到平面的距离为. 故选：D. 7. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则 ，即反射光线所在直线的斜率为， 故选：B﹒ 8. 若圆上恰有个不同的点到直线的距离为，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，比较半径和，要求圆上有个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应大于，但小于，再用圆心到直线的距离公式，可求得结果． 【详解】由圆，整理为， 所以圆心坐标为，半径为，设圆心到直线的距离为， 要求圆上恰有个不同的点到直线的距离为， 则，得到，即， 又，所以， 故选：C． 9. 已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得的长度，进而根据边的关系得为直角三角形，根据焦点三角形即可得关系. 【详解】设则，所以 由于，所以为锐角，故， 在中，由余弦定理得， 因此,故为直角三角形， 所以， 由的周长为， 所以故， 故选：B 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11小题，共105分. 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将正确的答案填写到答题纸上. 试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 直线与，若，则实数________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或. 故答案为：或 12. 当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用相关点法求点的轨迹方程. 【详解】设点，因M是线段的中点，则点， 可得，即， 所以点M的轨迹方程为. 故答案为：. 13. 直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________ 【答案】或. 【解析】 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时直线符合题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径求出直线斜率即可. 【详解】由圆的方程，得， 则圆心坐标为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，即， 由直线与圆相切，得圆心到直线的距离， 即，解得，所以：； 综上，直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解的垂直平分线方程，与直线联立得到圆心，又半径，即得解 【详解】由题意，，中点坐标 故的垂直平分线斜率为，方程为：，即 联立，可得圆心 半径 故圆的方程为 故答案为： 15. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线：，半圆：，问题转化为原点到直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式得到不等式，求解即可. 【详解】设直线：，半圆：， 则表示半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于， 即，解得， 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将不等式转化为半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于. 三. 解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知方程：， （1）若方程C表示圆，求实数m的范围； （2）在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若方程表示圆则满足，求解即可； （2）将圆化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用半径和弦心距的关系求解即可. 【小问1详解】 若方程表示圆， 则，所以， 所以方程C表示圆，实数m的范围是； 【小问2详解】 圆的方程可化为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，所以， 解得，满足， 所以. 17. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形PDCE为矩形. （1）若是的中点，求证：平面 （2）若是的中点，求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，设，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点，又是的中点，所以， 又面，面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，连接，根据几何关系得，再利用线面平行的判定定，即可证明结果； （2）取中点，过作于，连接，根据条件得到面，从而得点到直线的距离为，再利用几何关系，即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点，过作于，连接， 因为面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以，故点到直线的距离为， 因为，四边形为矩形，是的中点， 由，即，得到， 又，所以. 【小问3详解】 由（2）知，可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则. 18. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）；（2）1，. 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标、离心率以及椭圆参数的关系即可求椭圆方程； （2）由直线与椭圆关系，联立方程应用韦达定理得到交点横坐标数量关系，再利用弦长公式及点线距离公式表示出的面积，然后利用基本不等式即可求出三角形面积的最值及此时的直线方程. 【详解】（1）由题意得， 解得， ∴ 所以椭圆C的方程为. （2）由得，. 设，，则，， ∴， 又点到直线的距离为. 所以的面积为， 当且仅当即时，的面积有最大值为1， 此时直线的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. （3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，所以，又 则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，平面 所以平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，. 设，则， 可得，所以. 由（2）知是平面的一个法向量. 若平面，可得 则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可； （2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦； （3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量. ，. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，则，， 所以， 所以. 又由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆 ：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设椭圆 的右顶点为 ，是椭圆 上不与顶点重合的动点． ①若点（），点 在椭圆 上且位于 轴下方，设和的面积分别为，．若，求点 的坐标； ②若直线与直线交于点，直线 交 轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：设直线的斜率为，则直线的方程为：， 又，，直线的方程为， 由，解得， ∴， 由，得， ， 则，∴， 则， ， 依题意 、不重合，∴，即， ∴， 直线 的方程为， 令 ，即，解得， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，列出关于a，b，c的方程组即可求解； （2）①根据面积关系可得，从而得，据此即可求解；②联立QC和AB的方程，求出Q点坐标，联立QC和椭圆方程，结合韦达定理求出P点坐标，求出BP的方程，从而可求N的坐标，再根据斜率计算公式即可求解． 【小问1详解】 由题意得，又，解得， 椭圆 的标准方程为． 【小问2详解】 ①由（1）可得，点（）在椭圆 上，代入椭圆方程得， 连接，∵， ， ，∴， ∴直线的方程为，联立， 解得或（舍去）， ． ②略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到，再求出，最后计算相关斜率再作差即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $