精品解析：山东省淄博市博山区第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试初四数学试题（B卷） 一、选择题．（每题 4分，共40分） 1. 圆形的物体在太阳光照射下的投影是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影的性质，由圆形物体摆放位置的不同可得到不同的投影. 【详解】解：根据圆形物体摆放位置的不同，它的正投影会不同： ①当圆形物体正面向平行光线时，投影是圆形； ②当圆形物体与平行光线平行时，投影是线段； ③当圆形物体与平行光线成大于0度小于90度的角度时，投影是椭圆； 故选D. 【点睛】本题主要考查投影的性质、平行投影成型的图像，需要一定空间想象能力. 2. 在中，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，是的内角，又， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 3. 反比例函数y＝的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，函数是反比例函数，可知a的值． 【详解】函数是反比例函数 反比例函数为： 根据函数解析式，函数图像位于二四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数及其函数图像，掌握函数的相关知识是解决问题的关键． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点，理解二次函数的顶点式是解题关键． 题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点坐标为： 故选：B． 6. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（　　） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等边三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，再求出第三个角角度，进而得出答案． 【详解】解：∵| tanB﹣|+（2cosA-1）2=0， ∴tanB﹣=0，得tanB==0，则∠B=60°； 2cosA-1=0，得cosA=，则∠A=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=60° ∴∠C=∠A=∠B ∴△ABC是等边三角形． 故选B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，得出三个内角的角度，再证明出三角形是等边三角，正确记忆相关数据是解题关键． 7. 拋物线与坐标轴交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A. ﹣0.01＜x＜0.02 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在6.18～6.19之间． 解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围． 故选C． 考点：图象法求一元二次方程的近似根． 9. 函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象过一、二、三象限，抛物线开口向下，B选项不符合； 当时，一次函数的图象过二、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A选项符合，C、D选项不符合； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 10. 如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间(不包含端点)，抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③(m为实数)；④方程必有两个不相等的实根．其中正确结论有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由二次函数图象可知，， ，，解得， ∴．①错误，故不符合要求； ∵函数图象经过点， ∴，即，②正确，故符合要求； 当时，函数取得最大值， ∴对于任意的，总有，即 (m为实数)，③错误，故不符合要求． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵ ∴ ∵最高点纵坐标为， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等实根， ∴必有两个不相等的实根， ∴④正确． 故选：B． 二、填空题．（每题4分，共20分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答． 【详解】根据题意得： 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质． 12. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 13. 如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 14. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．函数配方后得，当时，函数值y的最小值，则当，y有最小值可得m． 【详解】解∶， 当时，函数值y的最小值为， 根据题意，当时，y的值最小 ． 解得， 故答案为． 15. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3. 【详解】 ∵交x轴为B点，交y轴于点A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即OB=4，OA=2 令PQ与x轴的交点为E ∵P在曲线C上 ∴△OPE的面积恒为2 ∴当△OEQ面积最大时△的面积最大 设Q（a, ） 则S△OEQ= ×a×（）== 当a=2时S△OEQ最大为1 即当Q为AB中点时△OEQ为1 故△面积的最大值是是3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值. 三、解答题．（16,17题10分：18-20题12分：21题10分；22-23题12分） 16. 已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 17. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．直接过点作求出，的长，再利用锐角三角三角函数关系得出的长即可得出答案． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， 在中，，即， ， 海里， 答：处与灯塔相距海里． 18. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． （1）请画出路灯O的位置； （2）画出标杆在路灯下的影子． 【答案】（1） 路灯O的位置如图所示． ． （2） 如图，即为标杆在路灯下的影子． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握相关概念． （1）根据中心投影的定义，延长和，它们的交点即为投影中心，即路灯O的位置； （2）连接并延长交马路的一侧于H，则即为在路灯下的影子． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标； （3）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1），；（2）的最大值为， ；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求； （3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围． 【详解】（1）∵在反比例函数上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 把代入可求得 ∴ 把代入为 解得 ∴一次函数的解析式为 （2）的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离. 设直线与轴的交点为 令，则，解得 ， ∴ 令，则 ∴ ∴， ∴的最大值为 （3）根据图象的位置和图象交点的坐标可知： 当时的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 20. 某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价x（元）不低于60元，而市场要求x不得超过100元． （1）求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求出每天的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出当x为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值； （3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价x最低可定为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣5x+550．（60≤x≤100）；（2）当x＝80时，y有最大值为4500元；（3）单价x最低可定为85元． 【解析】 【分析】（1）由“每增加1元，销量减少5件”可知，单价为x元时增加5（x﹣60）件，用增加的件数加上原销量即可表示出销售量y； （2）根据“每天利润=（售价﹣成本）×销售量”列出函数解析式，再对二次函数进行配方即可求出利润的最大值； （3）令W=4000，求出x的值，再根据抛物线图象写出W≥4000时x的取值范围；再根据总成本不超过6250列出不等式，联立两个不等式即可求出x的取值范围，从而确定x的最小值． 【详解】（1）y=250﹣5（x﹣60），即y=﹣5x+550（60≤x≤100）； （2）W=（x﹣50）（﹣5x+550），即y=﹣5x2+800x﹣27500． 配方得：W=﹣5（x﹣80）2+4500． ∵a=﹣5，∴抛物线开口向下，∴当x=80时，y有最大值为4500元； （3）令W=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得：x1=70，x2=90． 由抛物线图象可知，当W≥4000元时，x的取值范围为70≤x≤90． 又∵50（﹣5x+550）≤6250，解得：x≥85，∴x取值范围为85≤x≤90，∴单价x最低可定为85元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解答本题的关键． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值，结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：二次项系数， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：，， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值是， ∴． 22. 如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，，． （1）求的度数与的长； （2）求的值． 【答案】（1），， （2）的值为2 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，理解三角函数的定义是解本题的关键； （1）如图，过点C作于E．设，则，再求解，从而可得的值，再求解的大小，结合等腰直角三角形的性质可得答案； （2）由是边上的中线，可得，，再利用正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于E．设， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴，． 在中，∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即的值为2． 23. 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求线段长度的最大值； （3）是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，故，再用待定系数法可得抛物线的函数关系式为； （2）由得直线函数关系式为，求出，，可得，即可得线段长度的最大值为4； （3）延长交于G，可得，，由，得，；分三种情况：①若，则，可得（舍去）或，②当时，过点C作于点H，可得，即得，解得：或（舍去）；③当时，过点D作于点K，则，由，，知，故，即，解得：或（舍去0）． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入线得： ， 解得， ∴抛物线的函数关系式； 【小问2详解】 解：设直线函数关系式为， 把代入中得：， 解得 ∴直线函数关系式为， ∵点D的横坐标为m， ， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值4， ∴线段长度的最大值为4； 【小问3详解】 解：存在m的值，使是等腰三角形，理由如下： 延长交于G，如图： ∵，， ∴点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ①若，则， 解得（舍去）或， ②当时，如图，过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； ③当时，如图，过点D作 于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，符合题意）或（舍去0）， 综上所述，满足条件的m的值为或4或3． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的定义，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试初四数学试题（B卷） 一、选择题．（每题 4分，共40分） 1. 圆形的物体在太阳光照射下的投影是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 以上都有可能 2. 在中，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数y＝的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（　　） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等边三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等腰直角三角形 7. 拋物线与坐标轴交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A. ﹣0.01＜x＜0.02 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 9. 函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间(不包含端点)，抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③(m为实数)；④方程必有两个不相等的实根．其中正确结论有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（每题4分，共20分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值为___． 12. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 13. 如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为__________． 14. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为________ 15. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 三、解答题．（16,17题10分：18-20题12分：21题10分；22-23题12分） 16. 已知是锐角，且． 求的值． 17. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 18. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． （1）请画出路灯O的位置； （2）画出标杆在路灯下的影子． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标； （3）直接写出当时，的取值范围． 20. 某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价x（元）不低于60元，而市场要求x不得超过100元． （1）求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求出每天的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出当x为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值； （3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价x最低可定为多少元？ 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 22. 如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，，． （1）求的度数与的长； （2）求的值． 23. 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求线段长度的最大值； （3）是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $