精品解析：浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 命题：严州中学新安江校区 刘景红 审核：嵊州中学 俞海东 桐庐中学 王燕萍 校稿：蒋青松 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用斜率与倾斜角关系求解即可. 【详解】由题直线的斜率为， 设直线的倾斜角，则且， 所以倾斜角. 故选：B. 2. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数概念，求出分位数，也求出平均值，构造方程计算即可. 【详解】这组数据一共有个，，，则. 这组数据的分位数是第个数，即. 这组数据的平均数为. 因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以. 解得. 故选：C. 3. 若复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法运算计算即可. 【详解】满足，则复数. 故选：D. 4. 已知平面向量为单位向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，再利用这个值计算. 【详解】已知，根据向量模长公式，可得. 展开得到. 因为，是单位向量，所以，即，. 代入上式可得，解得. 同样根据向量模长公式， 将展开得到. 把，，代入可得：. 所以. 故选：B. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离， 即， ，即， ∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础． 6. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 7. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 8. 已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，若直线与圆相切，则 C. 若直线与圆相交截得弦长为定值，则 D. 当时，直线截圆的最短弦长为 【答案】C 【解析】 【分析】对于直线方程，可通过整理式子找到定点；对于圆的方程，化为标准方程可得到圆心和半径.然后根据直线与圆的位置关系相关定理，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断. 【详解】对于A，将直线整理为. 令，解方程组，得，即， 将代入得，所以直线过定点，故A选项错误. 对于B，当时，直线方程为，即. 圆，圆心，半径. 因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即， 或，解得或，故B选项错误. 对于C，圆，圆心，半径 直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关. 当时，，，是定值，故C选项正确. 对于D，当时，求直线截圆的最短弦长 当时，圆，圆心，半径. 直线过定点. 圆心到定点的距离. 根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的虚部、共轭复数、模的计算，以及复数的平方运算和复平面的概念，通过分别计算和分析各个选项来得出正确答案. 【详解】对于A选项， ，这里，，所以的虚部是，A选项错误. 对于B选项，因为，所以的共轭复数，B选项正确. 对于C选项，对于，则，C选项正确. 对于D选项，先计算. 在复平面内对应的点为，这个点在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 10. 如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（ ） A. 存在使得 B. 任意，使得 C. 存在，使得共面 D. 任意，使得共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，结合向量共面的条件，由此可得结果. 【详解】对于A，，得，A选项正确； 对于B，， 故，B选项错误； 对于C，，则时，共面， C选项正确； 对于D，正方体中，，，四边形为平行四边形， 都在平面内，所以任意，都有共面， D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线的方程，则以下结论正确的是（ ） A. 无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称 B. 无论实数取何值，曲线都是封闭图形 C. 当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点） D. 当时，曲线所围成的区域的面积小于 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用曲线上任意一点关于轴的对称点仍在曲线上，即可判断；选项B，根据条件可得到，当时，及，从而可得，，即可判断；选项C，通过对曲线方程特点分析，分，，三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断；选项D，由C项得到的整点围成的图形面积之和即可判断. 【详解】对于选项A，设是曲线上任意一点，则其关于轴的对称点为， 又因为，即点也在曲线上， 所以曲线关于轴对称，故选项A正确， 对于选项B，由得到， 故，当时，，此时曲线不封闭，故选项B错误， 对于选项C，当时，曲线为， 当时，代入可得，解得，即曲线经过点， 当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数， 当时，，解得或，即曲线经过， 根据曲线关于轴对称可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，所以选项C正确， 对于选项D，当时，曲线， 当，曲线方程为：即 设，则，其中， 因，故. 当时，则， 若且，则由得， 但此时，矛盾； 故当时，，或， 由C可知此时图形是封闭的，故此时曲线与坐标轴围成的面积大于1， 当时，，此时， 而，，故此时曲线在的下方， 此时曲线与坐标轴围成的面积大于， 由A中曲线的对称性可得曲线围成的面积大于，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C,对二次方程中的绝对值进行分类讨论，找到曲线经过的整点，以此为突破口，可解决整点个数，对于D，借助三角换元研究曲线点的坐标特征. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】圆台的体积公式（其中为圆台的高，为下底面半径，为上底面半径），我们需要先根据圆台的母线长、上下底面半径求出圆台的高，再代入体积公式计算体积. 【详解】设圆台高为，根据圆台的母线、高和上下底面半径之差构成直角三角形， 其中母线为斜边.已知，，，根据勾股定理， ， 代入圆台体积公式， 所以. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设及点线距离公式整理得，结合其几何意义得求参数范围，再由椭圆离心率公式求离心率范围. 【详解】由题意，椭圆左右焦点坐标为， 所以，即， 即在数轴上到的距离和为8，故，即， 所以. 故答案为： 14. 已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对于正三棱锥，底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范围，需要先求出外接球的半径以及球心到点的距离，的取值范围就是球心到点的距离加减外接球半径. 【详解】因为底面是正三角形，. 根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得. 设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为. 因为为中点，在上，且. 对于正三角形，，则. 在中，，，根据勾股定理. 设外接球半径为，球心在高上. 根据，将，代入可得： . 展开得. 移项化简得，解得. 因为. 设球心到点距离为，在中，，，根据勾股定理. 的最小值为，最大值为. ，. 所以的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1）人 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率算出人数即可； （2）根据长方体面积和为1，求出a，根据分层抽样的平均值，方差公式计算即可； （3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案. 【小问1详解】 人，人，不高于50分的抽到人. 【小问2详解】 由题意可知，解得. 由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人， 故， . 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A， 则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 16. 在中，内角的对边分别为，若 （1）求的大小； （2）若是线段上一点，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理计算； （2）借助向量分点的向量性质，结合基本不等式和面积公式计算即可， 【小问1详解】 由题意， 根据正弦定理得，即， 根据余弦定理可知. 【小问2详解】 由题意在边上一点，且，可得， ， 故，， 故，当且仅当时取到等号， 故， 即的最大值为，当且仅当时取到等号 17. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点 （1）求圆的方程； （2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求圆的方程，需要确定圆心坐标和半径.根据圆与y轴相切可知圆心到y轴距离等于半径，再利用圆过两点可列出方程求出圆心和半径. （2）对于求直线方程，设出直线方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，再结合弦长公式以及已知条件列出方程求解直线斜率. 【小问1详解】 在平面直角坐标系中，圆与轴相切， 设圆方程为，又圆过点， 则， 可得，故圆的方程为 【小问2详解】 显然当直线斜率为0时不合题意，设直线 将直线与圆联立方程组：，整理得， 整理可得，即 可得， ， 化简可得，经验证 所求的直线方程为 18. 如图所示，已知四棱锥是以为斜边等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求四棱锥的体积； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判断定理可解；（2）取的中点取的中点，得到是二面角的平面角.连接在，中，运用勾股定理逆定理得到.再用圆锥体积公式计算即可;（3）根据第（2）题， 可建系，不妨令，求出关键点坐标，求出两个面的法向量，结合向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 取的中点是的中位线， ，又， 四边形平行四边形 , ，又平面平面. 平面. 【小问2详解】 取的中点是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 是二面角的平面角. 连接 ， 在中，， 在中，. ， 二面角的平面角. . 【小问3详解】 根据第（2）题，二面角的平面角， 平面平面，如图，建系，不妨令， 则 设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设二面角的平面角大小为 由图可知二面角的平面角为钝角，故余弦值为. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）当轴，求的面积； （3）若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可； （2）由条件求，再求方程，联立方程组求的纵坐标，求面积即可； （3）设，与椭圆分别联立，求出，表示出，借助基本不等式可解. 【小问1详解】 由题意：， 解得：， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 当轴时，由在第一象限， 可得， 即， 故求得直线方程为， 联立，得， 整理得，所以， 此时点的纵坐标为， 所以； 【小问3详解】 设，因为在椭圆上，故， 由题意， 故将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即. 同理：将直线与椭圆方程联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以， 故 由在第一象限内，故， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 命题：严州中学新安江校区 刘景红 审核：嵊州中学 俞海东 桐庐中学 王燕萍 校稿：蒋青松 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A B. C. D. 2. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 3 若复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量为单位向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，若直线与圆相切，则 C. 若直线与圆相交截得弦长为定值，则 D. 当时，直线截圆的最短弦长为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（ ） A. 存在使得 B. 任意，使得 C. 存在，使得共面 D. 任意，使得共面 11. 已知曲线的方程，则以下结论正确的是（ ） A. 无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称 B. 无论实数取何值，曲线都是封闭图形 C. 当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数点） D. 当时，曲线所围成的区域的面积小于 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是______. 13. 已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是__________. 14. 已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16. 在中，内角的对边分别为，若 （1）求的大小； （2）若是线段上一点，且，求的最大值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点 （1）求圆的方程； （2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. 18. 如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求四棱锥体积； （3）求二面角平面角的余弦值. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）当轴，求的面积； （3）若分别记的斜率分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $