精品解析：湖南省衡阳市华新实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

衡阳市华新实验中学2024年下学期期中考试初二数学试卷 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是( ) A. 的平方根是5 B. 8的立方根是±2 C. ﹣1000的立方根是﹣10 D. =±8 2. 实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列不能用平方差公式运算的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 7. 若a，b为实数，且，则的值是（　　） A. 1 B. 2018 C. D. 8. 估算的值（ ） A. 5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 9. 如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（   ） A. B. C. D. 10. 计算，结果个位数字是（　　） A 6 B. 5 C. 8 D. 7 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 的立方根是___________． 12. 要使得有意义，则的取值应满足________． 13. ______． 14. 如图，两点对应的实数是和，则线段的长为__________． 15. 若，，则的值为_______． 16. 如果多项式，那么的值为__________． 17. 若的乘积中不含项，则常数的值为______． 18. 设表示不大于x的最大整数，如，则______． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 因式分解： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知实数互为相反数，互为倒数，是整数部分，求代数式的值． 23. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 24. 我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定， （1）当等于多少时，． （2）用简便方法计算：； 25. 阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： （1） ； （2） ． 26. 若一个两位正整数m个位数为8，则称m为“好数”． （1）若m的十位上的数字为a，则m可以表示为： ； （2）求证：对任意“好数”m，一定为20的倍数； （3）若，且p、q为正整数，则称数对为“友好数对”规定： ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳市华新实验中学2024年下学期期中考试初二数学试卷 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是( ) A. 的平方根是5 B. 8的立方根是±2 C. ﹣1000的立方根是﹣10 D. =±8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的意义逐一排除得到结论. 【详解】因为=5，5的平方根是±，故选项A错误； 8的立方根是2，故选项B错误； -1000的立方根是-10，故选项C正确； =8≠±8，故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查了平方根、立方根的意义及平方根的化简．一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0；一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 2. 实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，＝4； 故实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有-π，，0.1010010001…（相邻两个1之间一次多一个0），共有3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 5. 下列不能用平方差公式运算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟记是解题关键．根据平方差公式的特点：两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【详解】解：A、中，相同，2和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； B、中，和两项都相同，不可以用平方差公式，符合题意； C、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； D、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、内错角、对顶角、平方根以及不等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、不等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”，这个命题是真命题，故符合题意； B．“内错角相等”，这个命题是假命题，两直线平行，内错角相等才是真命题，故不合题意； C．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”是真命题，故不符合题意： D．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”才是真命题，故不合题意． 故选：A． 7. 若a，b为实数，且，则的值是（　　） A. 1 B. 2018 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键． 8. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】由4==5，即可确定的范围． 【详解】∵4==5， ∴， 故选：C. 【点睛】考点：本题主要考查了无理数的估算，解答本题的关键是熟练掌握“夹逼法”，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 9. 如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平方差公式的应用．根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为， ∴根据图形的变化过程，得到的等式是． 故选：B 10. 计算，结果的个位数字是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5． 【详解】解： … ． ∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现． ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选B． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 的立方根是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：，8的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 12. 要使得有意义，则的取值应满足________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故答案为：． 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】把转化成，然后根据指数相同，底数相乘的的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，解题的关键是掌握：指数相同的幂相乘，指数不变，底数相乘． 14. 如图，两点对应的实数是和，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离公式，掌握两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 根据数轴上两点之间距离的计算方法“数轴上右边的数减去左边的数的绝对值，即较大数减去较小数的绝对值”由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 15. 若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法可得，再代入值计算即可． 详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如果多项式，那么的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求解. 【详解】∵ ∴mx=8x， 故m=8， 故填：8. 【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运算. 17. 若的乘积中不含项，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关性质、多项式乘多项式，令项的系数为得到关于的方程是解题的关键．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再项的系数为得到关于的方程求解即可． 【详解】解： 的乘积中不含项， ， 解得：， 故答案为：． 18. 设表示不大于x的最大整数，如，则______． 【答案】625 【解析】 【分析】先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， …， ， ， ∴原式． 故答案为：625． 【点睛】本题考查取整函数的知识，难度较大，解答本题的关键是具有一般规律推导特殊性质的能力． 三、解答题（共66分） 19 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算积的乘方，再根据同底数幂乘法法则计算，然后合并即可； （2）首先根据有理数的乘方运算法则、算术平方根和立方根的定义、绝对值的意义，分别化简各数，再根据有理数加减法则求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、算术平方根、立方根、同底数幂乘法、整式的四则混合运算，解题的关键在熟练掌握相关运算法则． 20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 ， 解：原式， ； 【小问2详解】 ， 解：原式， ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则，准确计算． 22. 已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，算术平方根，立方根的计算，掌握相反数，倒数，无理数的估算，算术平方根、立方根的计算，即实数的运算法则是解题的关键． 根据相反数，倒数，无理数的估算分别得到，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∵，即， ∴， ∴． 23. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据求出． 小问1详解】 解：∵，， ． 【小问2详解】 解：∵， ． 24. 我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定， （1）当等于多少时，． （2）用简便方法计算：； 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据新运算列方程，解方程即可得到答案； （2）根据新运算直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查新运算及解方程，解题的关键是根据题意看懂新运算． 25. 阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：， 设，则原式， ∴； 【小问2详解】 解：， 设，则原式 ； ∴． 26. 若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”． （1）若m的十位上的数字为a，则m可以表示为： ； （2）求证：对任意“好数”m，一定为20的倍数； （3）若，且p、q为正整数，则称数对为“友好数对”规定： ，求的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）把代入可得，再提出公因式即可； （3）根据时得到的不同p和q 值，代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：m的十位上的数是a，个位上是8， 所以m可以表示为：； 【小问2详解】 证明：． ∵结果中含有因数20， ∴一定为20的倍数． 【小问3详解】 解：当时，， 所以或或， 所以或或． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解题意并能正确运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$