四川省泸县第五中学2025届高三上学期第一次诊断性考试（一模）数学试题

泸县五中高2022级高三上期第一次诊断性考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知全集，集合，或，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是 A．，， B．， C．，， D．， 3．已知，则 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程是 A． B． C． D． 6．为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值 A．11 B．17 C．19 D．21 7．如图，在正方形中，为的中点，是以为直径的半圆弧上任意一点，设，则的最小值为 A． B．1 C．2 D．3 8．已知函数，若有两个极值点，，记过点，，，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为 A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知关于的不等式的解集为，，，则 A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．已知函数，若，，则 A． B． C． D． 11．已知数列满足，，则 A． B． C． D． 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数则（3）　　． 13．　　． 14．已知函数，函数有两个极值点，，若，则的最小值是 　　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数（其中，的最小正周期为，且_____． ①点在函数的图象上； ②函数的一个零点为； ③的一个增区间为． 请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题： （1）求的解析式； （2）用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象． 16．（15分） 已知定义在上的函数且． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在，上有解时，实数的取值范围． 17．（15分） 在△中，已知． （1）求； （2）记为△的重心，过的直线分别交边，于，两点，设． 求的值； 若，求△和△周长之比的最小值． 18．（17分） 已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列的前项和，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设的前项和，求证：； （3）设，求数列的前项和． 19．（17分） 已知函数的图象与的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式； （2）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$泸县五中高2022级高三上期第一次诊断性考试 数学试愿参考答案与试题解析 一·单项选择趣 1.B 2D 3D 4.C5.A6.C7B8.A 二.多选趣 9.ACD 10.ACD 11.BCD 三.填空题 12.1. 13.√3 144 四.解答题 15.解：由最小正周期为T=元=2死，可得0=2，所以f)=sin(2x+p),5分 0 (1)若选①，则2.产 +p=号+2红，ke2,面0<p<号 解得9=号 所以函数的解析式为f0)）=Sin(2x+）:5分 3 若选②，可得2×(-)+p=kπ，★EZ,而0<9< 2 可得p=T,所以函数的解析式为f似=Sin(2x+);…5分 3 若选③，增区间为(5征，马)，所以-+p<2x+p<严+p,而0<p<5 12'12 6 6 所以- 5π 2 +p<+0 6 6 解得9号 所以函数的解析式为f)=sin(2x+骨：综上所述，)=sin(2x+爱： 45分 (2)由①可得：列表： 10分 2+肾 0 π 2π 2 2 π π 5π 6 12 3 12 6 f(x) 0 0 -1 0 13分 12 第1页（共4页） 16.解：(1)根据题意，f(x)为奇函数，… 1分 证明如下：函数)=4 ,其定义域为R, 1+a 对任意x∈R,都有-x∈R,且该函数的定义域为R,显然关于原点对称， 可得+)=上g+上a二=上a+二0：则了为奇函数. 6分 1+a'1+a1+aa+1 ②》当0=时，可得名子解得5， 8分 此时f(x)= -3在R上为严格减函数，证明如下： 1+3 任取≥，且，eR,则f)-G)=3-1-3 1+31+3 =1-31+3)-0-3)0+39)=239-3) (1+3)1+3) (1+31+3) x2>x,39>3>0,f(x)-f(x)<0, )在R上为格减函数，而/-2)=-3)=设 141 -号在红2，列上的值线为[格急， 443分 要使f(x)+1-m=0在[-2,3)上有零点， 此时等价于y=m与y=f(x)+1在[-2,3)上有交点， 面当xe-2,列时，可将/0+1e哈，放m哈， 415分 17.解：(1)因为在△ABC中，tanA+tanB=√3(tan Atan B-1), 2分 所以tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)= tan 4+tan B=3, 4分 1-tan itan B 又Ce0,,所以C=； .5分 (2)0设D为4B的中点，则CD=)+CB,又因为CG=cD, 所以G-a+-c西+， 1 3μ 因为M,G,N三点共线，所以+=l,所以+-3：8分 3元3μ (i0设△ABC的边长为1，设△CMN与△ABC周长分别为G,C,则C2=3,9分 MN=√久2+山2-μ，所以C=元+μ+V久.2+μ2-24,10分 所以G=无+4+V+r2-a C 3 11分 第2页（共4页） 由+=3，可得3μ=入+μ22（当且仅当=u时等号成立），所以之写12分 入 所以=+-≥+、 4242 C 9×33 414分 所以△CMN和△ABC的周长之比的最小值为？ 3 15分 18.(1)解：由等比数列{a}的各项均为正数，设公比为q(g>0), 2a5,a,4a成等差数列，且满足a,=4a, 2a=2a,+4a,即a4=ag+2a4,解得4 11 11 a4=4a a93=4(a,g2)2 2’0= 29 =(,…3分 2 设等差数列b}的公差为d, 2b+4d=6 :b2+b.=6,S4=10, 46+6d=10'解得6=d=1, 则b。=1+(n-)×1=n,即数列{亿}的通项公式为bn=n;5分 (2)证明：由(1)知a。=(兮”，b,=m, 得d,= bd-2n+I2n3)2 2n+5 =2.1 1 b2eib23 (2n+1)-2(2n+3)-2m], 则斯=克*结+（六86* 11、 11 1 (2n+)-2(2m+3)-2m刀 1 11 =2-62n+3动-2]=j2n+3)-2 1 11 「2n+动-2>0，“写2n+3》-2分故7<有 11分 n,(n为奇数】 (3)解：由cn= b(n为奇数 a.b,(n为偶数) n(为偶数) 1 则数列c,}的前2n项和M,=0+3++2n-)+2:4416+…+2n2),m12分 由等差数列的前n项和可得：1+3++(2n-=+2-n=,12分 2 令g=2.+4++2n 416 22，① 得=2+ 4 5+4·64+…+2n./ )2m2，②.14分 第3页（共4页） 1.1 40 122n+4.1 22m+2 .-2n 1- 22*73322 北-8g8-号g0 16分 故数列c}的前2m项和M,=r+8_6n+8 99.4" 19.解：(1)设P(x,y)是g(x)图象上任意一点，则其关于直线x=1的对称点为P(2-x,y), 由题意知，P点在函数f(x)图象上， 所以y=g(x)=f(2-x)=lm3-(2-x川+cos[2-(2-x]=lm(x+1)+cosr, 所以g(x）=lm(x+l）+C0SX.4分 (2)由(1)有，g(x)定义域为(-1，+)， 不妨令h(x)=g(ax)-ax-1=lm(x+1)+cosx-ax-1(x>-l), 则g(x)-1ax在定义域内恒成立，即h(x)0在(-l,+o)上恒成立， 注意到h(O)=0且x)在x∈(-L,+o)上是连续函数，则x=0是函数h(x)的一个极大值点， 所以0)=0，又()= sinx-a, x+1 所以h(0)=1-a=0,解得a=1.… 7分 下面证明：当a=1时，h(x)0在xe(-l,+o)上恒成立.， 令p6=mx+)-0,则p闭=中-二 +1 当x∈(-1,0)时，p'(x)>0,p(x)单调递增；当x∈(0，+o)时，p'(x)<0，p(x)单调递减， 所以p(x)p(0)=0,即1m(x+1)x在x∈(-l,+o)上恒成立，又cosx-10, 所以h(x)）0,证毕.综上日=1.412分 (3)证明：由(2)知，g)-1x,则g中-1六8+1， 13分 14分 又由(2)知：lm(x+)x在(-1，+o)恒成立，则1xx-1在(0，+o)上恒成立， 当且仅当r=1时取等号，则令x=为e0,neN, 则a音品小点h2-ia-m. "n+1 11 + n+1n+2 +<lmn+l)-lmm+mn+2)-m(n+1)+…+n(2m)-lm(2n-)=m2.16分 2n 小立明cae.华17分 第4页（共4页）