精品解析： 山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学期中样题 注意事项：本试卷满分120分。考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列代数式3x＋，，，，中，是分式的有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. 0 B. －2 C. 4 D. 10 5. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. x≠±1 B. x＞1 C. x≠－1 D. x≠1 6. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 将一张纸按如图的方式折叠，、为折痕，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为0，则的值为______． 12. 已知下列条件，利用尺规作图，作出的三角形不唯一的是______（请填写序号）． ①已知三个角；②已知三条边；③已知两边和夹角；④已知两角和夹边． 13. 分式的最简公分母为______． 14. 下列四组线段中，是成比例线段的共有______组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 15. 如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为____． 16. 如图，点在直线上，在中，．动点从点出发沿的路径向终点运动；动点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，分别过点作于点于点，则点运动_________时，与全等． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为 ； （2）在图中作出关于直线的对称图形． （3）利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E.，F 分别在AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）求证：∠B=∠DEF； （3）当∠A=40°时，求∠DFE 的度数． 21. 已知 （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 22. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中样题 注意事项：本试卷满分120分。考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列代数式3x＋，，，，中，是分式的有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】3x＋，，，，中分式有，，，共计3个. 故选B. 【点睛】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．注意分式不含等号，也不含不等号． 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据所给图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法，可画出与此直角三角形全等的三角形， 故选：A． 4. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. 0 B. －2 C. 4 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 5. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. x≠±1 B. x＞1 C. x≠－1 D. x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件判断即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-1≠0， ∴x≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分母不等于零分式有意义是解题关键． 6. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出，将的面积表示为面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得． 【详解】过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴, ∴ , 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键． 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 8. 将一张纸按如图的方式折叠，、为折痕，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠性质是解答的关键．根据折叠性质和平角定义求解即可． 【详解】解：如图，标注字母， 由对折可得：，， ∴． 故选：B． 9. 已知，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，分别表示出x，y，z，然后代入化简即可． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴． 故选D． 10. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，即可证明△△；根据相似三角形的判定与性质、解一元二次方程判断；根据三角形内角和定理和三线合一定理得到． 【详解】解：，． ， 由作图可知：，，， ， ， 由平行线的性质可知：，，故③正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； 设，， 则，， ， ， ， ， ，将方程配方可得：， ， ，， ， （负值舍去）， 即，故①正确； ， ， ，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键． 分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或，且， ∴. 故答案为：． 12. 已知下列条件，利用尺规作图，作出的三角形不唯一的是______（请填写序号）． ①已知三个角；②已知三条边；③已知两边和夹角；④已知两角和夹边． 【答案】① 【解析】 【分析】本题主要考查由已知条件作三角形，依据三角形全等的判定即可求解． 【详解】解：①已知三个角可画出无数个三角形，故符合题意； ②符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； ③符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； ④符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； 故答案为：①． 13. 分式的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：∵， ∴分式的最简公分母为． 故答案为：． 14. 下列四组线段中，是成比例线段的共有______组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条线段相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案． 【详解】解：①：，故1.5，4，1.2，5是成比例线段； ②：，故2，4，6，8不是成比例线段； ③：，故5，6，15，18是成比例线段； ④：，故0.5，3，2，10不是成比例线段． 综上可知共有2组成比例线段． 故答案为：2． 15. 如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，点在直线上，在中，．动点从点出发沿的路径向终点运动；动点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，分别过点作于点于点，则点运动_________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，根据全等三角形的性质得出关于t的程，求出即可． 【详解】解：由题意得分为两种情况， 如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 即，解得； 当P、Q均在上的时候，此时，如图2： ， ∴，解得； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）x﹣1． 【解析】 【分析】（1）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可； （2）先根据同分母的分式进行计算，再求出最简结果即可． 【详解】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝x﹣1． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则. 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为 ； （2）在图中作出关于直线的对称图形． （3）利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 【答案】（1）5 （2） 如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及画轴对称图形，根据题意准确作图是解题的关键． （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）连接交直线于点P，则点P即为所求点． 【小问1详解】 解：． 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式、提公因式法进行因式分解．熟练掌握分式的化简，利用平方差公式、提公因式法进行因式分解是解题的关键． （1）先计算括号，然后利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，最后进行除法运算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后进行乘除运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E.，F 分别在AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）求证：∠B=∠DEF； （3）当∠A=40°时，求∠DFE 的度数． 【答案】（1）， ， 在和中，， ， ， 是等腰三角形； （2）由（1）已证：， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得证； （3）先根据三角形的内角和定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在中，， ， 由（2）已证：， ， 由（1）已证：是等腰三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 21. 已知 （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴a可以取得整数为2或4， 当时，； 当时，． 22. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】（1） 证明：①∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等) 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS) ②∵△ADC≌△CEB ∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等) ∴DE=DC+CE=AD+BE(等量代换) （2） 解：（1）中的结论①成立，结论②不成立． ∵AD⊥MN， BE⊥MN．（已知） ∴∠ADC＝∠CEB＝90°（垂直的定义）． ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠ACD+∠BCE＝90° 又∵∠ACD+∠CAD =90° ( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴∠BCE＝∠CAD (同角的余角相等) 在ADC和△CEB中 ∵∠ADC＝∠CEB，∠BCE＝∠CAD，AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS) ∴AD=CE，DC=EB(全等三角形，对应边相等) ∴DE=CE-DC=AD-BE(等量代换) 【解析】 【分析】（1）①根据AD⊥MN， BE⊥MN．可得∠ADC＝∠CEB＝90°，再由∠ACB＝90°，可得∠ACD+∠BCE＝90°，从而得到∠BCE＝∠CAD，即可求证；②根据△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=EB，即可求证； （2）证明方法同（1）可得△ADC≌△CEB，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）； （2）结论：仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连结，如图， 在和中， ， ， 在和 中， ， ； （3）此时两舰艇之间的距离是海里． 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2） 延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：（1）理由如下： 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； （2） 略 （3）如图， 连接，延长相交于点C， ，， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论：成立， 即海里． ∴此时两舰艇之间的距离是海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $