精品解析：河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

叶县高中高一月考数学试卷 （2024.11.12） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递减 B. 为偶函数，且在上单调递增 C. 为奇函数，且在上单调递减 D. 为奇函数，且在上单调递增 6. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若正实数、满足，则 B. 函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则______. 13. 已知，则的取值集合是__________. 14. 已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 17. 某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 18. 已知函数对任意正实数，都有成立. （1）求的值； （2）求证：； （3）若，（均为常数），求的值. 19. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶县高中高一月考数学试卷 （2024.11.12） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式，得到，由补集和交集的概念得到答案. 【详解】，故，解得， 故， 故选：B 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 4. 已知函数，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】函数定义域为， 令，又在上单调递增，的增区间为， 所以的增区间为. 故选：A. 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递减 B. 为偶函数，且在上单调递增 C. 为奇函数，且在上单调递减 D. 为奇函数，且在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数，又因为幂函数的图象经过点， 所以，解得, 所以，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又因为，所以在上单调递减，故C正确. 故选：C. 6. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数且在上单调递减，则，且在上单调递增，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数为偶函数且在上单调递减，且， 所以，且在上单调递增， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上所述：不等式的解集为.故B正确. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可． 【详解】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确； 对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确； 对于C，应该用 “”符号，即，故C错误； 对于D，是集合中的元素，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若正实数、满足，则 B. 函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，由指数运算可得出，将代数式与相乘，结合基本不等式可判断A选项； 对于B选项，分析可知，对任意的实数恒成立，利用二次不等式很成立可判断B选项； 对于C选项，解不等式，利用集合的包含关系可判断C选项； 对于D选项，利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得，可得， 所以， 当时，即当时取等号，A对； 对于B选项，函数的定义域是， 则不等式对任意的实数恒成立， 即对任意的实数恒成立， 若，则有，解得，不合乎题意， 若，则，解得， 综上所述，，B对； 对于C选项，由不等式，可得，即，解得， 因为为的真子集，.则是的充分不必要条件，C对； 对于D选项，不等式即，解得或， 故原不等式的解集为或，D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的图像关于y轴对称的性质，即可求解 【详解】解：因为是偶函数，且其定义域为， 所以，解得， ，所以，解得， 所以， 故答案为：. 13. 已知，则的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可求解 【详解】由可得， 因为， 所以，故的取值集合是 故答案为： 14. 已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用集合交、补运算求集合； （2）由题设，讨论、分别求参数范围，即可得答案. 【小问1详解】 由题设或，且， 所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，，即； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为. 16. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】（1） 最大值为4 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4. 【小问2详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，与有2个交点，则或. 17. 某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 【答案】（1），第3年 （2）方案一、方案二总利润都是170万元，应选择第二种方案更合适，理由：方案一：由（1）得，， 当时，， 所以方案一总利润为万元，此时. 方案二：由（1）得，， 当且仅当，即时，等号成立． 故方案二总利润为万元，此时． 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适． 【解析】 【分析】（1）由题意写出关于的函数表达式，由求得的取值范围，即可得到答案. （2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额，利用基本不等式求出的最大值，得到方案二的总盈利额，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论. 【小问1详解】 由题意得， ， 由，得，即， 解得， 故该设备从第3年开始使企业盈利. 【小问2详解】 略 18. 已知函数对任意正实数，都有成立. （1）求的值； （2）求证：； （3）若，（均为常数），求的值. 【答案】（1）（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）令，，，即可求的值； （2）令，，可得证明结果； （3）令，可求出，令，可求出，继续令，，即可求出的值． 【详解】（1）令，，得，解得； （2）证明：令，，得，∴； （3）令，得， 令，得. 令，，得. 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．注意条件之间的转化和应用. 19. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【小问1详解】 设（，且），由，得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $