精品解析：河南省洛阳市涧西区洛阳理工学院附属高级中学2025届高三一模数学试题

2025届河南省洛阳市涧西区洛阳理工学院附属高级中学一模 数学试题 一、单选题 1. 已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若不垂直于，且，则不垂直于 2. 用分层抽样的方法，从某中学3000人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 32 3. 某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 60种 D. 96种 4. 如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 6. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 设集合U=,则 A. B. C. D. 9. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文比赛，评审结果显示，获得一、二、三等奖的征文数量之比为，男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，.现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ） A. 253 B. 506 C. 507 D. 759 12. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知是正整数)的展开式中，的系数小于120，则 14. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______． 15. 若非零向量满足，则与的夹角为___________. 16. 对函数,若为某一个三角形边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是__________ 三、解答题 17. 已知向量，，函数 （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值 18. 已知函数． （1）化简并求函数的最小正周期； （2）求使函数取得最大值的集合． 19. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 20. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时. （1）求小明与地面距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈过程中，小明高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值. 21. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）把的参数方程式化为普通方程， 的极坐标方程式化为直角坐标方程； （2）求与交点的极坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届河南省洛阳市涧西区洛阳理工学院附属高级中学一模 数学试题 一、单选题 1. 已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若不垂直于，且，则不垂直于 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A, 若且，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B, 若且，则，故B错误， 对于C，若且，则，故C正确， 对于D，若不垂直于，且，则有可能与垂直,例如在正方体中，不垂直平面,平面,但是,理由如下：平面，平面,所以又，平面,所以平面,平面,故，故D错误， 故选：C 2. 用分层抽样的方法，从某中学3000人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可 【详解】解：设从三个年级中共抽取人，则，解得， 则从高二和高三年级共抽取的人数为， 故选：B 3. 某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 60种 D. 96种 【答案】D 【解析】 【分析】由2天相连的情况有4种，利用排列数即可求解. 【详解】由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有种. 故选：D 4. 如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率． 【详解】由椭圆的定义知，，则， 因为为正三角形，所以，． 在中，由余弦定理得， 则，， 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题. 5. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可. 【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即. 故选：C 6. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法算出复数的值，在根据复数的模长公式计算即可. 【详解】，所以 故选：B 7. 已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】， 因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 8. 设集合U=则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 9. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文比赛，评审结果显示，获得一、二、三等奖的征文数量之比为，男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，.现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据获得一、二、三等奖的征文数量比例，可以设出数量，进而表示出获奖总数，再根据男女获一、二、三等奖比例，分别算出获奖数量，对于、用古典概型公式即可判断，对于、用条件概率公式即可判断. 【详解】解：因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为， 那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为，，， 则获奖总数为. 因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，， 所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，， 则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，， 现从所有获奖征文中任取一篇， 记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件， 则，， ，所以选项错误. ，所以选项错误. ，所以选项错误. ，所以选项正确. 故选：. 10. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】过分别作， 则是梯形的中位线，故, 由于, 所以, 故, , 当且仅当时取等号， 故，故的夹角最大值为， 故选：C 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ） A. 253 B. 506 C. 507 D. 759 【答案】B 【解析】 【分析】由得的周期，再根据时，零点的个数，从而可得答案. 【详解】由得， 所以，即是以8为周期的周期函数， 当时，有两个零点2和4， 当时，，令， 则有， 当时，，， 所以无解， 所以当时，无零点， 又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点， 因此有上，有个零点． 故选：B． 12. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的通项公式，再令x的次数为零求解. 【详解】的通项公式为， 令，解得， 故， 故选：D 二、填空题 13. 已知是正整数)的展开式中，的系数小于120，则 【答案】1 【解析】 【详解】由Tr＋1＝ (kx2)6－r＝k6－rx2(6－r)，得x8的系数为k4＝15k4，由15k4<120得k4<8，因为k为正整数，所以k＝1. 14. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理得到，并化切弦，结合正弦定理和余弦定理求出，从而得到，，从而利用余弦定理求出答案. 【详解】由得，， 由余弦定理得， 故， 所以， ， 故， 所以， 即， 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 由和得，故 故，故 故. 故答案为： 15. 若非零向量满足，则与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知两向量垂直，利用向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 设与的夹角为，所以， 又，所以. 故答案为：. 16. 对函数,若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，已知函数为“三角函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 【详解】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x）1， ①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件． ②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t， 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1， 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t． 综上可得，t≤2， 故实数t的取值范围是[，2]， 故答案为[，2] 【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题． 三、解答题 17. 已知向量，，函数 （1）求的最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值 【答案】（1）（2）最大值2，最小值1. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算求出f（x）的表达式，并利用辅助角公式化简，求得f（x）的表达式，进而求出最小正周期.（2）根据x的范围，求出的范围，然后利用三角函数的图像求出最值即可. 【详解】解：（1） 的最小正周期． （2） ，当，即时，有最大值2； 当，即时，有最小值1 ． 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查三角函数辅助角公式，考查三角函数已知角求范围，属于基础题. 18. 已知函数． （1）化简并求函数的最小正周期； （2）求使函数取得最大值的集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：第一问应用余弦的倍角公式和辅助角公式，将函数的解析式化简，应用函数解析式中的参数与函数的性质的关系，从而确定出函数的最小正周期，第二问注意正弦值在角的终边落在什么地方时，注意将角当做一个整体，求出角的集合，注意整体思维的运用． 试题解析：（1） 所以函数的最小正周期 （2）当，即时，函数取得最大值， 所以使函数取得最大值的集合为 考点：余弦的倍角公式，辅助角公式，函数的周期，函数取最大值时自变量的取值情况． 19. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设MN的方程，与抛物线方程联立，表示出弦长，解得p的值； （2）由对称性得点P与N关于y轴对称，直线MP的方程与抛物线的方程联立，可得直线MP过定点，由的面积等于4，得直线MP的方程. 【小问1详解】 由题，，则直线的方程为，，， 联立方程组，得，， ， 则，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1），，， 设直线MP的方程为， 因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，， 联立方程组，得， 所以，，得，所以直线MP过定点， 所以，所以，， ，，， 所以直线MP的方程为. 【点睛】直线MN与FP的斜率之和为0，等价与y轴平分，可得P与N关于y轴对称，利用（1）可得直线MP过定点，更易表示的面积. 20. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时. （1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值. 【答案】（1）（，t为参数）；（2）15. 【解析】 【分析】（1）以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系，设，根据最高点和最低点的距离，求得的值，进而求得的值，即可求解. （2）由，得到，得到，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系， 由题意可设 因为摩天轮的最高点距地面，最低点距地面， 所以解得， 又函数周期为t，可得，所以. 又时，，所以，即可取， 所以（，t为参数）. （2）依题意，可知，即， 不妨取第一圈，可得， 所以持续时间为，即，所以t的最小值为15. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题； 3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 21. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）把的参数方程式化为普通方程， 的极坐标方程式化为直角坐标方程； （2）求与交点的极坐标． 【答案】(1) 普通方程为,的直角坐标方程为;(2) 与交点的直角坐标为极坐标分别为. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）曲线 参数方程利用消去参数化为普通方程．把代入可得极坐标方程; （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为，化为直角坐标方程：．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出． 试题解析：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程， 即的普通方程为， 由，得， 再将代入，得， 即的直角坐标方程为. （Ⅱ）由解得或 所以与交点的极坐标分别为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$