2.2轴对称的性质 同步练习2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2.2轴对称的性质 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图,将一个直角三角形纸片,沿线段折叠,使点B落在处,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 2.下列图形中对称轴的数量小于3的是( ) A. B. C. D. 3.下列图形中,对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等边三角形 D.正六边形 4.下列语句中,正确的个数有( ) ①两个关于某直线对称的图形是全等的 ②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁 ③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴 ④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,点D为边上一点,点M、N为边、上的点,将、分别沿着、翻折,得到和,若,设,则的度数为( ) A. B. C. D. 6.如图,在中,,是的中点,点是边上一动点,将沿翻折,使点落在点处,当时,则的度数为( ) A. B. C.或 D.或 7.如图所示,下列轴对称图案中,对称轴最多的是( ) A. B. C. D. 8.下列轴对称图形中,对称轴条数最多的是( ) A. B. C. D. 9.如图镜子里是他的像的是( ) A. B. C. D. 10.如图,,,.有下列结论:①把沿直线翻折,可得到;②把沿线段的垂直平分线翻折,可得到;③把沿射线方向平移与相等的长度,可得到.其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②③④ 11.如图,镜子中号码的实际号码是( ) A.2653 B.3562 C.3265 D.5623 12.如图,把 ABC纸片沿DE折叠,当点C落在四边形ABDE的外部时,测得∠1=108 ,∠C=35 ,则∠2的度数为( ) A.35 B.36 C.37 D.38 二、填空题 13.在平面直角坐标系中,点P(-2,a)与点Q(b,3)关于x轴对称,则a+b的值为 . 14.如图,直线,直线l与直线相交于点E,F,点P是射线上的一个动点(不包括端点E),将沿折叠,使顶点E落在点Q处.若,点Q恰好落在其中一条平行线上,则的度数为 . (备用图) 15.如图,将长方形纸片沿折叠,使得点A落在对角线上的点F处,若,则的度数为 16.如图一张长方形纸片沿AB折叠后,若∠1=70 ,则∠2= 度. 17.如图所示,是用一张长方形纸条折成的,如果∠1=130 ,那么∠2= 三、解答题 18.(1)计算: (2)解方程组: (3)如下图,在平面直角坐标系中,的三个顶点分别为,,. ①请在图中作出关于y轴对称的并直接写出,,的坐标; ②作点A关于x轴的对称点D,直接写出四边形ABDC的面积. 19.如图,在平面直角坐标系中,点,点. (1)若点关于轴、轴的对称点分别是点、,请分别描出、并写出点、的坐标; (2)在轴上求作一点,使最小(不写作法,保留作图痕迹) 20.综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图1,将军从山脚下的点A出发,到达河岸点P饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢? 【分析问题】 小亮:作B关于直线l的对称点,连接与直线l交于点C,点C就是饮马的地方,此时所走的路程就是最短的.(如图2) 小慧:你能详细解释为什么吗? 小亮:如图3,在直线l上另取任一点,连接,,,我只要证明. ∵直线l是点B,的对称轴,点C,在l上, ∴ , , 请完整地写出小亮的证明过程. 【解决问题】 如图4,将军牵马从军营P处出发,到河流饮马,再到草地吃草,最后回到P处,试分别在边和上各找一点E、F,使得走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线.) 21.判断说理:元旦联欢会上,八年级(1)班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子,其中北边条桌上摆满了苹果,东边条桌上摆满了香蕉,礼堂中间B处放了一把椅子,游戏规则是这样的:甲、乙二人从A处(如图)同时出发,先去拿苹果再去拿香蕉,然后回到B处,谁先坐到椅子上谁赢.张晓和李岚比赛,比赛一开始,只见张晓直奔东北两张条桌的交点处,左手抓苹果,右手拿香蕉,回头直奔B处,可是还未跑到B处,只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了.如果李岚不比张晓跑得快,张晓若想获胜有没有其他的捷径?若有,请说明你的捷径,若没有,请说明理由. 22.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD.BC∥AD. (1)求证: ABC≌ CDA; (2) ABC关于对角线AC的对称图形为 AEC,EC、AD交于点F,判断 ACF的形状并说明理由. 23.任意拿一张四边形纸片(如图),按如下方式折叠:先过点A随意折出一道折痕,再分别把都折叠到与重叠的位置,折痕分别为和.此时与有怎样的数量关系?为什么? 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B A C C A B A 题号 11 12 答案 C D 1.A 【分析】根据,求出即可解答. 【详解】解:,, , 由翻折的性质可知:, , 故选:A. 【点睛】本题考查翻折变换,三角形的内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握折叠的性质. 2.D 【分析】确定各图形的对称轴数量即可. 【详解】解:A、有4条对称轴; B、有4条对称轴; C、有6条对称轴; D、有1条对称轴. 故选D. 【点睛】本题考查轴对称和对称轴,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,称这两个图形轴对称,掌握轴对称的定义是解题关键. 3.D 【分析】根据对称轴的概念,确定各个图形的对称轴的条数. 【详解】解:据轴对称图形的特点和定义可知:正方形有四条对称轴,长方形有两条对称轴,等边三角形有三条对称轴,正六边形有12条对称轴,所以对称轴最多的是正六边形. 故选:D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的判断方法:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴. 4.B 【详解】解:①两个关于某直线对称的图形是全等的,此选项正确; ②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,此选项错误; ③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴,此选项正确; ④平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,故此选项错误. 故选B. 5.A 【分析】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质,熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 过点D作,得出,,,设,,可得,从而可得,即可求解. 【详解】解:过点D作, ∵, ∴, ∴,, ∵将、分别沿着、翻折,得到和, ∴,, 设,, ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, 故选:A. 6.C 【分析】当时,可分两种情况讨论:①当在上方时;由翻折可得,②当在下方时;根据翻折可得,,再根据三角形内角和定理即可得到答案. 【详解】解:①如图,当,在上方时, ∴, ∵, ∴, 由翻折可得,, ∴, ②如图,当,在下方时, 由翻折可知,, ∴, ∴, 故选:C. 【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)解决本题的关键是掌握翻折的性质. 7.C 【分析】根据轴对称图形的定义,找对称轴的个数即可. 【详解】解:A.图形一共有2条对称轴; B.图形一共有2条对称轴; C.图形有4条对称轴; D.图形有1条对称轴, 故选:C. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义,熟练掌握对称轴的意义是解题的关键. 8.A 【分析】本题主要考查图形对称轴的识别,根据轴对称图形的定义,图形结合,即可求解. 【详解】解:A、圆是轴对称图形,有无数条对称轴; B、有两条对称轴; C、有两条对称轴; D、有四条对称轴; ∴圆的对称轴条数最多, 故选:A. 9.B 【分析】物体镜子里的像,与物体成轴对称,结合选项即可判断. 【详解】解:只有选项B的图像与原图成轴对称. 故选:B. 【点睛】本题考查了镜面对称的知识,镜面实质上时无数对对应点的对称,连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分,即镜面上有每一对对应点的对称轴. 10.A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换,由已知可得,进而根据对称或平移确定结论是否正确. 【详解】解:∵, ∴, 在、和中. , ∴(SAS) 把沿直线翻折,可得到,故①正确; 把沿线段的垂直平分线翻折,可得到,故②正确; 把沿射线方向平移与相等的长度,不能得到.故③错误, 综上所述:正确的结论是①②. 故选A. 11.C 【分析】注意镜面对称的特点与实际问题的结合. 【详解】解:根据镜面对称的性质,在镜子中的真实数字应该是:3265. 故选:C. 【点睛】本题考查了图形的对称变换,在解题时,可以在卷子的反面看出结果. 12.D 【分析】先求出∠CD的度数,由折叠得∠CDE=∠DE,∠CED=∠ED,求出∠CDE,得到∠AED、∠CED的度数,由此根据∠2=∠ED-∠AED计算出答案. 【详解】解:∵∠1=108 , ∴∠CD=72 , 由折叠得∠CDE=∠DE,∠CED=∠ED, ∴∠CDE=∠CD=36 , ∵∠C=35 , ∴∠AED=∠C+∠CDE=71 , ∴∠CED=180 -71 =109 , ∴∠2=∠ED-∠AED=38 , 故选:D. 【点睛】此题考查三角形的外角性质,折叠的性质,正确理解图形中各角度之间的关系是解题的关键. 13.-5 【分析】两点关于x轴对称,则两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,依此作出判断即可. 【详解】解:由题意可得:b=-2,a=-3, 则a+b=-3+(-2)=-5. 故答案为:-5. 【点睛】本题考查坐标与图形变化轴对称.理解关于x轴对称的点的坐标规律是解题关键. 14.或 【分析】本题考查了翻折变换,平行线的性质,分两种情况讨论是解题的关键.分两种情况:当点落在上时;当点落在上时;然后分别画出图形进行计算即可解答. 【详解】解:分两种情况: 当点落在上时,如图: 由折叠得:, , , , ; 当点落在上时,如图: , , , 由折叠得:; 综上所述:的度数为:或, 故答案为:或. 15./40度 【分析】本题考查折叠的性质,直角三角两锐角互余,掌握以上知识点是解题的关键. 根据折叠的性质以及长方形的性质,可知,,结合已知根据直角三角形两锐角互余,即可求得. 【详解】解:∵是长方形, ∴, 又∵, ∴, 由折叠可得:, ∴, 古答案为: 16.40 【分析】由平行线的性质与折叠的性质,即可求得∠3与∠4的度数,继而求得答案. 【详解】根据题意:, ∴∠3=∠1=70 , 由折叠的性质:∠4=∠3=70 , ∴∠2=180 -∠3-∠4=40 . 故答案为:40 17.65 【详解】试题分析:如图所示是用一张长方形纸条折成的,长方形的对边互相平行,所以+的补角= (两直线平行,同旁内角互补),,又根据折叠的特征,(两直线平行,内错角相等),如果∠1=130 ,那么∠2==65 考点:折叠,平行线 点评:本题考查折叠,平行线,解答本题的关键是掌握平行线的性质,熟悉折叠的特征,利用它们来解答本题,难度一般,要求学生会做这类题 18.(1);(2);(3)①见解析;,,;②见解析;四边形ABDC的面积是15. 【分析】(1)首先计算开方、零指数幂,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可. (2)应用加减消元法,求出方程组的解是多少即可; (3)①分别作出点A,B,C的对称点A′,B′,C′,顺次连接即可得; ②利用割补法求解可得. 【详解】解:(1) (2) 由②,得③ ① 4,得④ ③ 3,得⑤ ⑤-④,得 将代入①,得 所以原方程组的解是 (3)①如图所示:即为所求; ,, ②如图所示,点D即为所求 四边形ABDC的面积= =15 【点睛】此题主要考查了实数的运算,解二元一次方程组的方法以及轴对称变换的作图,要熟练掌握,注意代入消元法和加减消元法的应用和熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键. 19.(1)点坐标为(4,-4), 点坐标为(-4,4);(2)见解析 【分析】(1)利用关于坐标轴对称点坐标关系得出C,D两点坐标即可; (2)连接BD交y轴于点P,P点即为所求. 【详解】(1)如图所示:点坐标为(4,-4), 点坐标为(-4,4); (2)连接交轴于点, 点即为所求; 【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及轴对称-最短路线问题,根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题关键. 20.分析问题:见解析;解决问题:见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题: (1)先由轴对称的性质得到,,则,,再由两点之间线段最短即可证明结论; (2)如图所示,分别作点P关于的对称点C、D,连接分别交于E、F,则路线即为所求. 【详解】解:分析问题:∵直线l是点B,的对称轴,点C,在l上, ∴,, ∴,, 由两点之间线段最短可知,, ∴, ∴作B关于直线l的对称点,连接与直线l交于点C,点C就是饮马的地方; 解决问题:如图所示,分别作点P关于的对称点C、D,连接分别交于E、F,则路线即为所求. 易证明,则,根据两点之间线段最短可得路线即为所求. 21.有,捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A,B的对称点,,连接,交两长条桌于C,D两点,则折线就是捷径. 【详解】解:如下图, 假设北边和东边条桌各为一个平面镜,光线经过两次反射到达B点. 因此,分别以北条桌和东条桌为对称轴,找到A,B的对称点,,连接,交两长条桌于C,D两点,则折线的长度等于的长度, 连接,则, 在中,由三角形三边故选可得:, 所以折线的长, 即折线就是捷径. 【点睛】本题考查了轴对称,三角形三边关系,解题的关键是找到A,B的对称点,,连接,得出 C,D两点. 22.(1)见解析;(2) ACF是等腰三角形,见解析. 【分析】(1)利用平行线的性质,根据ASA即可判断; (2)只要证明∠ACF=∠CAF,即可判断. 【详解】(1)证明:∵AB∥CD ∴∠BAC=∠ACD, ∵BC∥AD, ∴∠ACB=∠CAD, ∵AC=CA, ∴ ABC≌ CDA(ASA), (2)∵ ABC与 AEC关于AC对称, ∴∠ACB=∠ACE, ∵AD∥BC, ∠ACB=∠CAD, ∴∠ACF=∠CAF, ∴FA=FC, ∴ ACF是等腰三角形. 【点睛】本题的考点是全等三角形的判定及等腰三角形的判定.方法是由已知条件得出全等三角形及等腰三角形的判定条件进行判定. 23.,理由见解析. 【分析】本题考查了折叠的性质,三角形内角和定理.根据折叠的性质得到,,再根据三角形内角和定理即可解答. 【详解】. 理由如下: ∵,,, ∴. 学科网(北京)股份有限公司 $$