提分练习5 复习课-练习8 线段与角的轴对称性(1)-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

八年级上《 练习5复习课 考查范围：第1章 1.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE, 当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的数量及位置关系，并说明理由. 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BAD的平分线交CD于点E,连接BE,已知BE平 分∠ABC (1)求证：∠AEB=90 (2)求证：AB=BC十AD. 3.【问题情境】 (1)如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB,把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F,PE与PF相等吗？请你给出 证明。 【变式拓展】 (2)如图2，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB,P是OC上一点，∠EPF=60°，边PE与边 OA相交于点E,边PF与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题： ①PE与PF还相等吗？为什么？ ②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由. 图1 图2 《5 提分练习 练习6轴对称的性质 考查范围：轴对称的性质 P 1.如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=8, △OMN的面积为24，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的 点为P1,点P关于OB对称的点为P2,则△OP,P:的面积的最小值 N B 为 2.如图，在△ABC中，点C、C‘关于AB对称，点B、B'关于AC对称，点D、E分别在AB、AC 上，且C'D∥BC∥B'E,BE、CD交于点F,若∠BFD=a·∠BAC=B,请写出a与3之间的 关系，并说明理由. 3.【原题再现】 (1)有这样一道题：如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的 位置.试探索∠A与∠1十∠2之间的数量关系，并说明理由。 【变式探究】 (2)如图2，若将原题中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形 BCDE外点A'的位置”，试猜想此时∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由. 【结论运用】 (3)在图1中，连接BA'、CA',若BA'、CA'分别平分∠ABC、∠ACB,且∠BAC=115°，如 图3，则∠1、∠2的度数和为 (4)在图2中，连接CA'、BA',若CA'平分∠ACB,BA'平分∠ABC的外角，且∠1=108°， ∠2=148°，如图4，则∠BA'C的度数为 图1 图1 图3 图4 6 八年级上《 练习7轴对称图形的画法 考查范围：轴对称图形的画法 1.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹判断，下列结论错误的是() A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B C.DE=DC D.AE=AC 2.如图，AB是锐角∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM、ON上各取一点C、D组 成四边形ABDC,使四边形ABDC的周长最小. 3.在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作一点P,使PA与PB之差的绝对值最 大，并说明理由 .B 《7 提分练习 练习8线段与角的轴对称性(1) 考查范围：线段垂直平分线的性质与判定 1.在△ABC中，AB=AC,OB=OC,且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO 的长为 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线L1交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线 交AC于点N,交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为10.请你解决下列 问题： (1)求BC的长. (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由. 3.如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P、Q是直线ON上的两动点，点Q在 点P的右侧，且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、C,连接 AB、PB (1)如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 (2)如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB、PB是否还存在(1)中 的数量关系？若存在，请写出证明过程：若不存在，请说明理由. M N P 图1 图2 8》AC=DF:R:△ABC≌RL△DEF（HL.), BF=CG. .Rt△BEF≌R1△CDG(HL),∴.∠ADC AB-=DE. BE=CD, .∠CBA=∠FED.(2)由(1)得，∠CBA= ∠AEB. ∠FED,∴.ME=MB,∠AEM=∠DBM.又，AB= DE,.AB-EB=DE-EB,即AE=DB.在△AEM AE=DB. 和△DBM中，{∠AEM=∠DBM,.△AEM≌ ME=MB. △DBM(SAS),'.AM=DM. 练习5复习课 2.(1)证明：如图，过点C作CE⊥AB,交AB的 L.BD=CE且BD⊥CE.理由如下：：∠BAC 延长线于点E,则∠CEA=90°.，CF⊥AD, ∠DAE=90°，即∠DAC+∠DAB=∠DAC+ ∴.∠CFA=90°，.∠CEA=∠CFA.,AC平分 ∠EAC,∴.∠DAB=∠EAC.在△DAB和△EAC ∠BAD,∴.∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF AD-AE. ∠CEA=∠CFA· 中，{∠DAB=∠EAC,∴.△DAB2△EAC(SAS), 中，{∠CAE=∠CAF,∴.△ACE≌△ACF(AAS), AB=AC. AC=AC. .BD=CE,∠DBA=∠ECA.∠ABC+ ∴AE=AF,CE=CF.在R1△CEB和Rt△CFD中， ∠ACB=180°-∠BAC=180°-90°=90°，即 CE=CF, ∠DBA+∠EBC+∠ACB=9O°，.∠ECA+ ,Rt△CEB≌R△CFD(HL),∴∠CBE= CB=CD. ∠EBC+∠ACB=90°，即∠EBC+∠ECB=90°， ∠CDF,即∠CBE=∠ADC.,∠ABC+∠CBE= ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=90°， 180°，.∠ABC+∠ADC=180 .BD⊥CE C 2.证明：(1)AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD= 180°.：AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， &∠BAE=专∠BAD,∠ABE=2∠ABC D (2)AF:CF=3:4,CF=8,.AF=6,∴.S△wx ∠BAE+∠ABE=∠BAD+∠ABC)=90 1 ∴∠AEB=90°.(2)如图，延长AE交BC的延长 2AF·CF=2X6X8=24.由1)得，Rt△CEB≌ 线于点F.∠AEB=90°，.∠FEB=180°一 Rt△CFD,△ACE≌△ACF,∴.S&=S△cDr, ∠AEB=180°-90°=90°，.∠AEB-∠FEB.:BE S△AE=S△F,.S国边带AWD=S边花A做罗十S△CD= 平分∠ABC,·∠ABE=∠FBE.在△ABE和△FBE SW边形AHr十S△cEB=S△AE+S△Ar=2S△4F=2X [∠ABE=∠FBE, 24=48. 中， BE=BE. ∴.△ABE≌△FBE(ASA), 3.证明：如图，过B,C两点分别作CA,BA的垂 ∠AEB=∠FEB, 线，垂足分别为F,G,则∠F=∠G=90°.在△ABF .AB=FB,AE=FE.AD∥BC,∴.∠EAD=∠F在 ∠F=∠G, I∠EAD=∠F, 与△ACG中，{∠FAB=∠GAC,∴.△ABF≌△ACG △ADE和△FCE中，{AE=FE, ∴.△ADE≌ AB=AC. ∠AED=∠FEC, (AAS),∴.BF=CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中，△FCE(ASA),.AD=FC,∴.AB=FB=BC+FC= 《43 BC+AD. EN,∴.OE-OF=EN+ON-(FM-OM)=2OM.在 Rt△PMO中，∠PMO=90°，∠POM= 2∠AOB= ×120=60,∠0PM=30,∴0p-20M,.0E- 1 OF=OP. 3.(1)相等.证明如下：如图1，过点P作PM⊥ 练习6轴对称的性质 OB于点M,PN⊥OA于点N,则∠PMO=∠PNO 1.18解析：如图，过点O作OH⊥MN于点 90°，又，∠MON=∠AOB=90°，∴.∠MPN=360°- 3×90°=90°，.∠MPN=∠EPF=90°，∴.∠EPF H,连接OP.Saw=2MN·OH=24.MN=8, ∠EPM=∠MPN-∠EPM.即∠MPF=∠NPE.又 点OH=2X24=6.:点P关于OA的对称点为P, 8 .OC平分∠AOB,.PM=PN.在△PMF和△PNE 点P关于OB的对称点为P:,∠AOP,=∠AOP, ∠PMF=∠PNE, ∠POB=∠POB,OP1=OP=OP:.当点P在 中，{PM=PN, ∴.△PMF≌△PNE(ASA), ∠AOB内部时，∠P:OP:=2(∠POA+∠POB) ∠MPF=∠NPE, 2∠AOB=2×45°=90°：当点P在边OA上方时，同理 ..PF=PE. 可得∠P,OP,=2(∠POB-∠POA)=2∠AOB=90°： 当点P在边OB下方时，同理可得∠POP: 2(∠POA-∠POB)=2∠AOB=90°.综上所述， ∠OP,P,始终是等腰直角三角形，∴.当OP=OH时， △OP,P:的面积最小，此时OP,=OP,=6,∴.△OPP /F O M B 图1 图2 的面积的最小值为2×6×6=18. (2)①相等理由如下：如图2，过点P作PM⊥OB于 点M,PN⊥OA于点N,则∠PMO=∠PNO=90° 又，∠MON=120°，∴.∠MPN=360°-2×90° 120°=60°，.∠MPN=∠EPF,∴.∠MPN- ∠NPF=∠EPF-∠NPF,即∠MPF=∠NPE.又 ,OC平分∠AOB,.PM=PN.在△PMF和 ∠PMF=∠PNE, 2.a=23.理由如下：在△ABC中，，∠BAC= △PNE中， PM=PN, ∴.△PMF≌B,.∠ABC+∠ACB=180°-3.：C'D∥BC∥ ∠MPF=∠NPE, B'E,.∠ABC=∠C'DB,∠ACB=∠B'EC.点 △PNE(ASA),.PF=PE.②结论：OE-OF= C,C'关于AB对称，∴.AB垂直平分线段CC', OP.理由如下：PM⊥OB.PN⊥OA,.∠PMO= .∠C'DB=∠CDB.同理，∠B'EC=∠BEC ∠PNO=90°.：OC平分∠AOB,∴.∠POB= ∴.∠CDB+∠BEC=180°-B.:∠ADC+∠CDB= ∠POA,即∠POM=∠PON.在△OPM和△OPN 180°，∠AEB+∠BEC=180°，∴.∠ADC+∠AEB= ∠PMO=∠PNO. 180°+B.:'∠ADC+∠AEB+∠BAC+∠DFE= 中，∠POM=∠PON,∴.△POM≌△PON(AAS), 360°，∠DFE=180°-∠BFD=180°-a,.180°+ OP=OP, B+3+180°-a=360°，.a=28. .OM=ON.由①得，△PMF≌△PNE,∴.FM= 3.(1)2∠A=∠1+∠2.理由如下：在△ABC 44》 中，∠A十∠B十∠C=180°.在△A'DE中，∠A'+不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD=∠B. ∠A'DE十∠A'ED=180°.，∠A'=∠A,.∠B十综上所述，A,C,D选项正确，B选项错误. ∠C=∠A'DE+∠A'ED.在四边形BCDE中， 2.如图，作点A关于OM的对称点E,再作点B ∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°，关于ON的对称点F,连接EF分别交OM,ON于点 ∴.∠1+∠2+2(180°-∠A)=360°，整理，得2∠A=C、D,连接AC、BD,所得四边形ABDC便是周长最 ∠1十∠2.(2)∠2=∠1十2∠A.理由如下：如图1， 小的四边形. ,∠2=∠A+∠AFD,∠AFD=∠1+∠A', ∴∠2=∠A+∠1+∠A'.又：∠A'=∠A,∴∠2 ∠1+2∠A. 3.作法：作点B关于直线XY的对称点B',连接 BA并延长，交直线XY于点P,点P即为所求作，理 图1 图2 由如下：如图，连接BP,在直线XY上任意取一点P, (3)100°解析：.∠BA'C=115°，∴.∠A'BC+ 连接P'A、PB、PB',则PB'=PB,PB=P'B. ∠A'CB=180°-∠BA'C=180°-115=65.BA'、 .PB-P'AI=P'B'-P'A<AB'=PB'-PAI= CA'分别平分∠ABC,∠ACB,∴.∠ABC+∠ACB PB一PA∴.此时点P使PA-PB最大 2(∠A'BC+∠A'CB)=2×65°=130°，.∠A 180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-130°=50°.由(1） 得，∠1+∠2=2∠A,∴.∠1+∠2=2×50°=100. (4)10°解析：如图2，由(2)得，∠2=∠1十2∠A.又 “∠1=108，∠2=148，∴∠A=2×(∠2-∠1) 号×148-108)=20.设∠ACB=a∠ABF 练习8线段与角的轴对称性(1) 1.5或11解析：过点A作AM⊥BC于点M, ∠A+∠ACB=20°+a..CA'平分∠ACB,BA'平分 则AM=8.:AB=AC,.AM垂直平分BC.又 ∠ABC的外角.∠ACB=,∠A'BF=10+ OB=OC,.点O在直线AM上，.OM=3.如图 1,当点O在△ABC内时，AO=AM-OM=8-3= 1 2a心∠BA'C=∠A'BF-∠A'CB=10+2a 5:如图2，当点O在△ABC外时，AO=AM+OM= 1 8+3=11.综上所述，AO的长为5或11. 2a=10° 练习7轴对称图形的画法 1.B解析：根据尺规作图的痕迹可得，AD平 分∠CAB.又：DE可以理解成是平角∠AEB的平 分线，∴.DE⊥AB.又：∠C=90°，∴.DE=DC, ∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°，∴.∠BDE= 图1 图2 (AD-AD. 2.(1)11垂直平分AB,.BD=AD.同理， ∠BAC.在Rt△AED和Rt△ACD中， DE=DC,AE=CE.:△ADE的周长为10，即AD+DE+ ∴.Rt△AED≌Rt△ACD(HL),∴.AE=AC.,DEAE=10,∴.BC=BD+DE+EC=AD+DE+ 《45 AE=10.(2)点O在边BC的垂直平分线上.理由 (2BC·PG)=AB:BC,故①正确：如图，过点P作 如下：如图，连接OA,OB、OC.l1,l2分别是AB AC的垂直平分线，∴.OA=OB,(OC=OA,∴.OB= PH⊥AC于点H,:CP平分∠ACE,.PH=PG, OC,∴点O在边BC的垂直平分线上， ∴.PF=PH,∴AP平分∠CAF.:BP平分∠ABC, ∴.∠CAF=∠ABC+∠ACB=2∠PAF,∠PAF= 2∠ABC+∠APB,∴.∠ACB=2∠APB.'∠ACB+ ∠ACE=180,2∠ACB+号∠ACE=∠APB+ ∠ACP=90°，故②正确：：PF⊥AB,PG⊥BC, 3.(1)AB=PB解析：如图1，连接BQ.:BC ∴.∠ABC+90°+∠FPG+90°=360°，.∠ABC+ 垂直平分OQ,.BO=BQ,.∠BOQ=∠BQO ∠FPG=180°.在Rt△PAF和Rt△PAH中， :OF平分∠MON,.∠AOB=∠BOQ=∠BQO. ,OA=PQ,∴.△AOB≌△PQB(SAS),∴.AB=PB. PF=PH,R△PAF≌R:△PAH（HL PA=PA. (2)存在.证明如下：如图2，连接BQ.,BC垂直平分 ∴∠APF=∠APH,同理，Rt△PCH≌Rt△PCG OQ,∴.BQ=BO,∴.∠BOQ=∠BQO.:OF平分(HL),∴.∠CPH=∠CPG,∴.∠FPG=∠APF+ ∠MON,∠BOQ=∠FON,.∠AOF=∠FON= ∠APH+∠CPH+∠CPG=2∠APH+2∠CPH= ∠BOQ=∠BQC,.180°-∠BQO=180°-∠AOF, 2∠APC,.∠ABC+2∠APC=180°，故③正确.综上 即∠BQP=∠BOA.又OA=PQ,∴.△AOB≌ 所述，正确的有3个 △PQB(SAS),.AB=PB. M F B CGE ■ 2.OP是∠AOB的平分线.证明如下：如图，过 P C O N 点P分别作PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,则 图1 ∠PCA=∠PDB=90°..∠PAO+∠PBO=180°， 少 ∠PAO+∠PAC=180°，.∠PBO=∠PAC,即 A ∠PBD-∠PAC.在△PCA和△PDB中， ∠PCA=∠PDB, O ∠PAC=∠PBD,.△PCA≌△PDB(AAS), PA=PB. ∴.PC=PD.PC⊥OA,PD⊥OB,∴.OP是∠AOB 图2 的平分线。 练习9线段与角的轴对称性(2) 1.D解析：，BP平分∠ABC,PF⊥BD,PG⊥ BEPF=PG,SAm:Sam=(分AB·PF): DB 46》