精品解析：广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. [1,4] 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 7. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列圆中与圆相切的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则线段的中点坐标为___________. 13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为，经过点； （2）圆心在直线上，且与轴交于点. 16. 已知向量，，. （1）当时，若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与向量、共面，求实数的值. 17. 已知的三个顶点是. （1）求BC边上的高所在直线的方程; （2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合） （1）求证：的面积为定值; （2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【详解】由，得，所以直线的斜率为， 又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为， 故选：C. 3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线方向向量的夹角余弦的绝对值即可得解. 【详解】设直线所成角为， 所以， 所以. 故选：B 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线经过圆心，可求的值. 【详解】由，得，故圆心为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则. 故选：A 5. 已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. [1,4] 【答案】D 【解析】 【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论． 【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论. 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 7. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线在坐标轴上的截距为0与不为0讨论求解即可. 【详解】当截距为0时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以，即; 当截距不等于0时，设直线的方程为， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：BD 10. 下列圆中与圆相切的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】判断圆心距是否等于两圆的半径之和或差的绝对值． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为4. A选项，的圆心为，半径为2，故， 由于，所以圆与内切，A正确； B选项，的圆心为，半径为1，故， 由于，故圆与外切，B正确； C选项，的圆心为，半径为4，故， 由于，故圆与不相切，C错误; D选项，的圆心为，半径为1，故， 由于，故圆与不相切，D错误. 故选：AB． 11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用判断A，根据向量的夹角公式判断异面直线所成角判断B，利用向量法求点到平面距离判断C，利用向量法确定截面为四边形对角线垂直，求面积判断D. 【详解】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，所以，故A正确； ，则与所成角的余弦值为，故B错误； ，设平面的法向量为， 则令，可得， 则点到平面的距离为，故C正确； 设过点的平面与线段的交点为， 则， 因为共面，则共面， 故存在唯一实数对使得， 即， 所以 解得， 所以，则，因为， 所以， 所以过点的平面截四棱锥的截面面积为 ，故D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：利用坐标的方法，确定D选项中的截面与线段的交点为的坐标，再由此确定确定垂直，是解决四边形面积的关键所在. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则线段的中点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】因为，所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，先求出的值，再利用平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足， 所以与之间的距离， 故答案为：. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面方程求得其一个法向量，再确定直线的一个方向向量，（可根据直线上两点，也可根据直线与两个平面的法向量垂直求解），由法向量与方向向量的夹角可得线面角． 【详解】法一：因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量， 又直线:上有两个点， 所以直线的方向向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：． 法二：由题知两平面与的法向量分别为， 设直线的一个方向向量， 则即，取，则， 又平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为，经过点； （2）圆心在直线上，且与轴交于点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程. 【小问1详解】 由两点间的距离公式可得圆的半径 故圆的标准方程为 【小问2详解】 因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上. 又圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为. 16. 已知向量，，. （1）当时，若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与向量、共面，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求出的值，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值； （2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 因为，所以，解得，即. 由，且， 得，解得. 【小问2详解】 因为向量与向量、共面，所以设， 因此， 即，解得，故的值为. 17. 已知的三个顶点是. （1）求BC边上的高所在直线的方程; （2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程； （2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可. 【小问1详解】 因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上高所在直线为，即. 【小问2详解】 因为点A，B到直线的距离相等， 所以直线与AB平行或过AB的中点， ①当直线与AB平行， 所以， 所以，即. ②当直线过AB的中点， 所以， 所以，即. 综上，直线的方程为或. 18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合） （1）求证：的面积为定值; （2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明：由圆的方程，化简得， 其与轴，轴的交点分别为:， 所以为定值. （2） （3）最小值为，点 【解析】 【分析】（1）求出圆与坐标的交点坐标，然后计算三角形面积可得． （2）由与垂直，斜率乘积为可得； （3）求出关于直线的对称点的坐标，连接，线段与直线的交点为与圆的交点为，此时的长度即为所示最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图①所示，因为，所以. 又OC的斜率，所以，解得（负数舍去）， 【小问3详解】 如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径. 设点关于直线的对称点为， 则中点为，且解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为:，即. 点为直线与直线的交点，则解得即点 【点睛】方法点睛：定直线上的点到定点与定圆上点的距离之和最值问题，首先把定点转化为此定点关于直线的对称点，过对称点与圆心的直线与直线相交的点，与圆相交的点即为取得最值的动点，圆上的交点有两个一个是最小值点，一个是最大值点． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $