精品解析：四川省成都市新津区实验高级中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

新津实验高中2022级高三11月月考数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据以及倍角公式，结合充要条件分析判断即可. 【详解】因为， 则，等价于， 等价于， 所以 “”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D. 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，A错误， 因为，由不等式性质可得，B错误， 因为，所以，，所以，故，C错误， 因为函数在上单调递减，，所以，∴D正确， 故选：D. 4. 据统计，第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（，）（ ） A. 1530只 B. 1636只 C. 1830只 D. 1930只 【答案】B 【解析】 【分析】由求得，进而可求解. 【详解】由题意当， 得：，解得：， 所以时，. 故选：B 5. 若函数在处取得最小值，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为函数， 当且仅当，即时，等号成立， 所以等于3， 故选：C 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 8. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像关于对称 B. 只有一个零点且 C. 若，则 D. 不等式的解集 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：由可得判断，对于B，通过单调性及零点存在性定理可判断，对于C，通过奇偶性可判断，对于D，构造，通过其单调性、奇偶性可判断. 【详解】对于A: ，所以图像关于对称，故A正确； 对于B: ，当且仅当时取等号， 故在定义域内为增函数， 又，， 由零点存在性定理可知 在上不存在零点，故B错误， 对于C：，， 故为偶函数，，所以，正确； 对于D: ，当且仅当时取等号， 故在定义域内为增函数， 构造， ，为奇函数，同时由的单调性可知，在定义域内也为增函数， 由， 可得：， 即， 所以， 解得：，故D正确， 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 若的定义域是，则的定义域为 C. “为锐角”是“”的充分不必要条件 D. 对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由全称量词命题的否定即可判断；对于B，由的定义域是得函数满足，解该不等式即可得函数的定义域；对于C，由诱导公式可知对任意的角满足“”，再结合充分不必要条件的定义即可判断；对于D，由导数与极值的关系即可判断. 【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误； 对于B，若的定义域是，则对于函数有即， 故函数的定义域为，故B错误； 对于C，由诱导公式得对任意的角满足“”， 所以“为锐角”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，对于可导函数，当“”且在处的左右两边导数同号， 则函数在处无极值； 当“”且在处的左右两边导数异号，则函数在处取得极值. 所以对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________． 【答案】3π 【解析】 【分析】化角度为弧度，由弧长求得半径，再由扇形面积公式计算． 【详解】∵120°＝，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若函数在处有极大值，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后验证函数在处取得极大值. 【详解】，又，即，解得或， 当时，，可得，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，不合题意； 当时，，可得，，，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，可得. 故答案为：. 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 （1）若过原点的直线与函数相切，切点的横坐标为，求证：； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义，得到，进而可求解； （2）由，得到，通过平方得到，进而求出即可求解. 【小问1详解】 设切点为，，. ，. 【小问2详解】 将平方得，所以，所以. 所以，从而. 联立，得. 所以，. 故 . 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 17. 已知函数在区间上的最大值为6. （1）求常数的值； （2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 【答案】（1）； （2）2， 【解析】 【分析】（1）化简，由，求得范围，即可求解； （2）由（1），令，求解即可. 【小问1详解】 ， ，，. 所以函数的最大值为，，. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，函数的最小值为2， 此时，解得， 即时取最小值. 18. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）讨论函数的单调性； （3）设，证明：对任意，，. 【答案】（1）证明：要证即证， 令，， 由，得；由，得， 在单调递增，在单调递减， ， 可得成立，即成立； （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）证明： 不妨设，由于，由（1）可得在上单调递减. 所以等价于，即. 令，则. 于是. 从而在上单调递减，故， 即， 故对任意，，. 【解析】 【分析】（1）由得，令，利用导数求出的最小值可得答案； （2）分、、讨论可得的单调性； （3）根据在上单调递减得，即，令，利用导数判断出在上单调性可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 当时，令，解得. 当时，；时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是求解中先构造函数，然后再对函数求导，运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证． 19. 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. （2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； （3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）62， （2）182 （3）. 【解析】 【分析】（1）由平均数、百分位数的计算公式即可求解； （2）由正态分布特殊区间概率及对称性即可求解； （3）由题意构造，求导确定单调性即可求解. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为，则， 所以样本平均数的估计值为62. 因为前三个小矩形的面积依次是，所以第40百分位数在之间， 设第40百分位数为，. 【小问2详解】 因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，. 所以，所以. 所以估计能参加复试的人数为. 【小问3详解】 由该生获一等奖的概率为可知，， 则. 令，， 则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新津实验高中2022级高三11月月考数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 据统计，第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（，）（ ） A. 1530只 B. 1636只 C. 1830只 D. 1930只 5. 若函数在处取得最小值，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像关于对称 B. 只有一个零点且 C. 若，则 D. 不等式的解集 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 若的定义域是，则的定义域为 C. “为锐角”是“”的充分不必要条件 D. 对于可导函数，“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________． 13. 若函数在处有极大值，则实数的值为______. 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 （1）若过原点的直线与函数相切，切点的横坐标为，求证：； （2）若，，求的值. 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 17. 已知函数在区间上的最大值为6. （1）求常数的值； （2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 18. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）讨论函数的单调性； （3）设，证明：对任意，，. 19. 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. （2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； （3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $