精品解析：江西省赣州市赣县区实验学校高中部2025届高三上学期十月考试数学试卷

赣县区实验学校高中部2024-2025学年上学期十月考试数学卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合，然后由交集的运算求解即可. 【详解】，，则． 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，可能为负数，这是无意义，不可能有，不充分， 若，则，一定有成立，必要性满足， 应为必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键． 3. 若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先判断奇偶性，然后再利用导数判断其极值点即可得答案； 【详解】因为， 所以为偶函数，故排除B项； 由，得， 显然，在区间上，， 所以，在给定区间端点处函数切斜的斜率为0，排除A、C. 故选：D 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得，解出即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且单调递增， 则，即，即， 则，解得（）. 故选：D. 6. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可. 【详解】解：因为函数满足对任意的，都有成立， 所以函数是定义在上的减函数， 所以，解得，所以 故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的判断、利用分段函数的单调性求参数范围，是中档题. 7. 方程在内实数根的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可. 【详解】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 8. 已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子特点，构建函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，则可得结果. 【详解】根据的形式转化可得， 从而构造函数， 则， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，即， 又， 所以，即. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 若幂函数的图像过点，则 D. 函数的零点所在区间可以是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，使用反证法即可证明；对于B，利用函数定义域的性质即可判断；对于C，使用幂函数的定义及已知条件即可验证；对于D，证明在上没有零点即可判断. 【详解】对于A，假设，则，所以，故，矛盾，所以，故A正确； 对于B，由于的定义域为，故的定义域为，所以的定义域为，故B错误； 对于C，由于是幂函数，故可设，而的图像过点，故，所以，即，故C正确； 对于D，由于当时有，所以在上没有零点，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图象求出得解析式，然后利用正弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，，所以， 所以，所以， 又，因为，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 令，解得， 所以在单调递减，而，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D. 【详解】令，得，即，A正确； 令，得， 又，所以对任意恒成立， 因为，所以不恒为0， 所以，即，B错误； 将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象， 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 所以， 又为奇函数， 所以， 所以，所以4为的周期. 由可得，C正确； 因为，，， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式直接求解即可 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4， 故答案为：4 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值. 【详解】由，得，即， . 故答案为： 14. 已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的斜率列方程，化简后利用根与系数关系、判别式等知识求得的取值范围. 【详解】由题意可知的定义域为， 所以，, 由导数的几何意义可得，切点为时，切线斜率为， 切点为时，切线斜率为． 又∵两条切线与直线平行，可得， 即， 所以是关于方程的两根， 由，又， 可得，所以． 故答案为： 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求、的通项公式； （2）记，为的前项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，根据已知条件可得得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列、的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则， 因为，，， 则， ， 所以，，解得， 所以，，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以，，① 可得，② ①②可得 ， 因此，. 16. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求的值； （2）已知，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值； （2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【小问1详解】 由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上. ∴，即解得. 【小问2详解】 由得，令，则， . ∴当，即，时，， 当，即，时，. 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入，对函数求导，根据导数符号与函数单调性的关系即可求解； （2）参变分离，得当时，恒成立，构造函数，求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，， 求导，得． 令，解得（舍去）或， 当时，，即在单调递增； 当时，，即在单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最小值为， 所以，这表明恒成立， 这意味着在时单调递增， 所以的最小值为. 18. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【小问1详解】 （1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 （3）解：因为 ， 所以， ， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得， 因为，则的值为. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】（1） 函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得 函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 因此函数与函数R最多有1个交点， 即函数在上单调， 因为，且， 所以，所以， 即，，即的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣县区实验学校高中部2024-2025学年上学期十月考试数学卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 6. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 方程在内实数根的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 8. 已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 若幂函数的图像过点，则 D. 函数的零点所在区间可以是 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小值为______. 13. 已知，则______. 14. 已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是 __． 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求、的通项公式； （2）记，为的前项和，求. 16. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求的值； （2）已知，求函数的最大值和最小值. 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的最大值． 18. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $