2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练第3讲 分式及其运算

第3讲 分式及其运算 考点1 分式的有关概念及性质 2 考点2 分式的基本性质应用 5 考点3 分式的化简 9 考点4 分式的化简求值 14 考点5 分式化简结合方程及不等式（组） 18 真题过关检测 23 一、分式的概念 分式的概念 一般地，用，表示两个整式，就可以表示成的形式.如果中含有字母，那么称为分式.其中称为分式的分子，称为分式的分母. 分式有（无）意义的条件 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0. 分式值为零的条件 分式的分母不为零且分子为零. 分式值为正 分式的分母不为零且分子分母同号. 分式值为负 分式的分母不为零且分子分母异号. 二、分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变. 即，()，其中，，为整式 约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分与最简公分母 通分：把几个异分母的分式化成同分母的分式，且大小不变，叫做分式的通分. 确定最简公分母：(1)公因式的系数——找各因式系数的最小公倍数 (2)公因式的字母——各因式中所有出现的每一项 (3)相同字母指数——取各字母/项指数的最高次幂 三、分式的运算 (1)分式的乘除法运算 乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即 例： 乘方法则 把分子、分母分别乘方.即 例： 除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即 例： (2)分式的加减法运算 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 即 分母互为相反数的加减法： 当分母互为相反数时，可改变分子、分母或分式本身的符号变为同分母，按照同分母分式的加减法法则计算. 用式子表示为： 异分母分式的加减法法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： 分式的混合运算法则 先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的 考点1 分式的有关概念及性质 1．（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：B． 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 4．（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】解：由分式值为0，得 且． 解得， 故选：B． 5．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 6．（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 7．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 考点2 分式的基本性质应用 8．（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可． 【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意； B、不能再化简，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形正确，不符合题意； C、，原式变形错误，符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 10．（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， ∴分式的值扩大1000倍， 故选：D． 11．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 12．（2024·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了乘法公式，分式的基本性质，熟知乘法公式和分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 13．下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分、最简分式 【分析】此题考查了最简分式的判断、分式的化简等知识.把分式化简后根据最简分式的定义进行判断即可. 【详解】A. ，故选项不是最简分式，不合题意； B. ，选项是最简分式，符合题意； C. ，故选项不是最简分式，不合题意； D. ，故选项不是最简分式，不合题意； 故选：B 14．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简公分母、通分 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 15．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 考点3 分式的化简 16．（2024·贵州黔东南·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故选：C． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的除法，掌握先把分式的分子、分母分解因式，转化除法为乘法进行约分是解题的关键． 【详解】解： ， 故选D． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 【详解】 ； 故选：D． 19．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘方、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 20．（2024·贵州贵阳·一模）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选C． 21．（2024·广东·模拟预测）化简： 的结果为（    ） A．1 B．a C． D． 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算．将原式转化为同分母分式相加，再利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后约分即可． 【详解】解： ． 故选：C． 22．（2024·湖北襄阳·一模）计算： ． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将分母统一是解题关键．利用同分母分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把两个分式通分，然后按照同分母的分式相减，再把分子分解因式，进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解：， = 25．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】二，解答过程见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键． 逐一检查每一步，发现错误，根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】第二步出现错误，原因是分子相减时未变号， ． 考点4 分式的化简求值 26．（2024·河北·模拟预测）如图，若，则的值在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的值．把代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， ∵， ∴的值在落在段④， 故选：D． 27．（2024·四川雅安·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了分式的化简求值及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零次幂、绝对值的化简法则化简，再按照实数的加减运算计算即可； （2）先将原式括号内的部分通分、除法变成乘法同时进行因式分解，再约分化简，然后将代入计算即可得出答案． 【详解】（1） ． （2） ， 当时，原式． 28．（2024·甘肃定西·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，得，再运用除法，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 29．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】特殊三角形的三角函数、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据30度角的正弦值为求出，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 30．（2024·安徽·模拟预测）先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 31．（2024·湖南岳阳·模拟预测）化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 【答案】，当，时，原式. 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】此题考查了分式的混合运算—化简求值及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的混合运算法则计算，然后选取适当的值代入，利用二次根式的运算法则计算求解即可； 【详解】解： 当，时， 原式 考点5 分式化简结合方程及不等式（组） 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分式化简求值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 33．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】；7 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算法则化简原式，然后将代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 34．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【知识点】一元二次方程的解、分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 35．（2024·山东泰安·二模）（1）计算：； （2），其中a是使不等式成立的正整数． 【答案】（1） （2）， 【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算乘方与开方，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 36．（2024·江西宜春·模拟预测）（1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）4；（2）；（3）， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求不等式组的解集、分式化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值． （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号合并同类项即可． （3）先求出不等式组的解集，原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，把求出的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） （2） （3）， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解为， ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 37．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，解一元一次不等式组，得出的取值范围，结合分式有意义的条件得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：， ∵，， ∴，0，， ∴当时，原式． 真题过关检测 38．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 39．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 40．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 41．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 43．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． 44．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 45．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2）． 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 46．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）   （2）； 【知识点】分式化简求值、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，解题的关键是： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集． （2）原式 ． 当时，， 原式 47．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【知识点】无理数的大小估算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 49．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 50．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【知识点】求一个数的平方根、分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 分式及其运算 考点1 分式的有关概念及性质 2 考点2 分式的基本性质应用 3 考点3 分式的化简 4 考点4 分式的化简求值 6 考点5 分式化简结合方程及不等式（组） 7 真题过关检测 9 一、分式的概念 分式的概念 一般地，用，表示两个整式，就可以表示成的形式.如果中含有字母，那么称为分式.其中称为分式的分子，称为分式的分母. 分式有（无）意义的条件 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0. 分式值为零的条件 分式的分母不为零且分子为零. 分式值为正 分式的分母不为零且分子分母同号. 分式值为负 分式的分母不为零且分子分母异号. 二、分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变. 即，()，其中，，为整式 约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分与最简公分母 通分：把几个异分母的分式化成同分母的分式，且大小不变，叫做分式的通分. 确定最简公分母：(1)公因式的系数——找各因式系数的最小公倍数 (2)公因式的字母——各因式中所有出现的每一项 (3)相同字母指数——取各字母/项指数的最高次幂 三、分式的运算 (1)分式的乘除法运算 乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即 例： 乘方法则 把分子、分母分别乘方.即 例： 除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即 例： (2)分式的加减法运算 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 即 分母互为相反数的加减法： 当分母互为相反数时，可改变分子、分母或分式本身的符号变为同分母，按照同分母分式的加减法法则计算. 用式子表示为： 异分母分式的加减法法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： 分式的混合运算法则 先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的 考点1 分式的有关概念及性质 1．（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 6．（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 7．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 考点2 分式的基本性质应用 8．（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 11．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 14．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 15．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 考点3 分式的化简 16．（2024·贵州黔东南·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2024·贵州贵阳·一模）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 21．（2024·广东·模拟预测）化简： 的结果为（    ） A．1 B．a C． D． 22．（2024·湖北襄阳·一模）计算： ． 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 24．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 25．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程． 考点4 分式的化简求值 26．（2024·河北·模拟预测）如图，若，则的值在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 27．（2024·四川雅安·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 28．（2024·甘肃定西·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 29．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 30．（2024·安徽·模拟预测）先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 31．（2024·湖南岳阳·模拟预测）化简求值： ，请你自选，的值，其中为负整数，为无理数． 考点5 分式化简结合方程及不等式（组） 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 33．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中a满足． 34．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 35．（2024·山东泰安·二模）（1）计算：； （2），其中a是使不等式成立的正整数． 36．（2024·江西宜春·模拟预测）（1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 37．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 真题过关检测 38．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 40．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 41．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 43．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 44．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 45．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 46．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 47．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 49．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 50．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$